Будем считать, что $\mathbf < \textit < D >> $ — неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке $P$ равной $\mu (P)$. В механике $\mu (P)$ определяется так. Точка $P$ окружается малой областью $\mathbf < \textit < S >> $, находится масса $\mathbf < \textit < m >> (\mathbf < \textit < S >> )$ и площадь этой области < площадь тоже будем обозначать буквой $\mathbf < \textit < S >> $ > и $\mu (P)=\mathop < \lim >\limits_ < diam(S)\to 0 >\frac < m(S) > < S >$.
Для нахождения массы по заданной плотности мы решим обратную задачу. Разобьём $\mathbf < \textit < D >> $ на малые подобласти $\mathbf < \textit < D >> _ < 1 >$, $\mathbf < \textit < D >> _ < 2 >$,$\mathbf < \textit < D >> _ < 3 >, < \ldots >, \mathbf < \textit < D >> _ < n >$, в каждой из подобластей $\mathbf < \textit < D >> _ < i >$ выберем произвольную точку $\mathbf < \textit < P >> _ < i >$, и, считая что в пределах $\mathbf < \textit < D >> _ < i >$ плотность постоянна и равна $\mu (P_i )$, получим, что масса $\mathbf < \textit < D >> _ < i >$ приближённо есть $\mu (P_i )\cdot s(D_i )$, а масса всей пластины $\sum\limits_ < i=1 >^n < \mu (P_i )\cdot s(D_i ) >$.
где электрический заряд распределен по области (R) и его плотность в точке ( < \left( < x,y >\right) > ) равна ( < \sigma \left( < x,y >\right) > ).
Среднее значение функции
(\mu = \large\frac < 1 > < S >\iint\limits_R\normalsize < f\left( < x,y >\right)dA > ,\;) где (S = \large\iint\limits_R\normalsize < dA >).
Найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми
$D:\left[ < \begin < l >y=x^2, \\ y=4; \\ \end >\right.$ если плотность $\mu (x,y)=y+1$.
Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (x + y = 1,) (x = 0,) (y = 0) и имеющего плотность $\rho \left( < x,y >\right) = xy.$
Электрический заряд распределен по площади диска ( < x^2 >+ < y^2 >= 1) таким образом, что его поверхностная плотность равна $\sigma \left( < x,y >\right) = 1 + < x^2 >+ < y^2 >\;\left( < \text < Кл/м >^2 >\right)$ Вычислить полный заряд диска.
В полярных координатах область, занятая диском, описывается множеством (\left[< \left( < r,\theta >\right)|\;0 \le r \le 1,0 \le \theta \le 2\pi >\right].)
Далее:
Несобственные интегралы от неограниченной функции
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Определение двойного интеграла
Класс M. Теорема о замкнутости класса M
Булевы функции от $n$ переменных
Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$
Примеры применения цилиндрических и сферических координат
Несобственные интегралы по неограниченной области
Логические операции над высказываниями
Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе
Поток жидкости через поверхность
Механические приложения тройного интеграла
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
Здравствуйте. Мне в задании необходимо найти массу пластинки, ограниченной кривыми: x^2+y^2 =x. И дана плотность p=x^2+y^2 Проблема в том, что я не могу никак определить области изменения x и у по графику. А график получается такой: []http://cs619916****/v619916603/6700/FnbxK7Ui-oI.jpg[/] Я перешёл к полярным координатам, но на самом деле только запутался. Может, кто представляет, как найти область для интеграла? []http://cs619916****/v619916603/6700/FnbxK7Ui-oI.jpg[/]
Комментарий модератора
Правила форума
Правила, 5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.
Задания набирать ручками. Один вопрос — одна тема. Для формул есть редактор.
Найти массу пластинки, ограниченной данными кривыми. Не получается решить. первый раз пишу в этой теме, так что надеюсь поможете.
Найти массу пластинки , ограниченной кривыми с поверхностной плотностью p Помогите пожалуйста решить!
Найти массу тела (тройной интеграл) Здравствуйте. нужно найти массу ОДНОРОДНОГО тела , ограниченного поверхностями 1) x^2+y^2+z^2=2z.
Во 2-й части урока мы отработаем технику решения произвольных тройных интегралов , у которых подынтегральная функция трёх переменных в общем случае отлична от константы и непрерывна в области ; а также познакомимся с физическими приложениями тройного интеграла
Вновь прибывшим посетителям рекомендую начать с 1-й части, где мы рассмотрели основные понятия и задачу нахождения объема тела с помощью тройного интеграла. Остальным же предлагаю немного повторить производные функции трёх переменных, поскольку в примерах данной статьи мы будем использовать обратную операцию – частное интегрирование функции .
Кроме того, есть ещё один немаловажный момент: если у Вас неважное самочувствие, то прочтение этой странички по возможности лучше отложить. И дело не только в том, что сейчас возрастёт сложность вычислений – у большинства тройных интегралов нет надёжных способов ручной проверки, поэтому к их решению крайне нежелательно приступать в утомлённом состоянии. При пониженном тонусе целесообразно порешать что-нибудь попроще либо просто отдохнуть (я терпелив, подожду =)), чтобы в другой раз со свежей головой продолжить расправу над тройными интегралами:
Вычислить тройной интеграл
На практике тело также обозначают буквой , но это не очень хороший вариант, ввиду того, «вэ» «зарезервировано» под обозначение объёма.
Сразу скажу, чего делать НЕ НАДО. Не нужно пользоваться свойствами линейности и представлять интеграл в виде . Хотя если очень хочется, то можно. В конце концов, есть и небольшой плюс – запись будет хоть и длинной, но зато менее загромождённой. Но такой подход всё-таки не стандартен.
В алгоритме решения новизны будет немного. Сначала нужно разобраться с областью интегрирования. Проекция тела на плоскость представляет собой до боли знакомый треугольник:
Сверху тело ограничено плоскостью , которая проходит через начало координат. Предварительно, к слову, нужно обязательно проверить(мысленно либо на черновике), не «срезает» ли эта плоскость часть треугольника. Для этого находим её линию пересечения с координатной плоскостью , т.е. решаем простейшую систему: – нет, данная прямая(на чертеже отсутствует) «проходит мимо», и проекция тела на плоскость действительно представляет собой треугольник.
Не сложен здесь и пространственный чертёж:
В действительности можно было ограничиться только им, поскольку проекция очень простая. …Ну, или только чертежом проекции, так как тело тоже простое =) Однако совсем ничего не чертить, напоминаю – плохой выбор.
Выберем следующий порядок обхода тела:
И перейдём к повторным интегралам:
Актуализируем следующее элементарное правило:
Когда функция интегрируется по какой-либо переменной, то два других аргумента считаются константами. То есть принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных от функции трёх переменных, что естественно.
Разбираемся с интегралами:
1)
(1) При интегрировании по «зет» и считаются константами. В данном случае присутствует только «игрек», но это не меняет дела. Советую всегда мысленно либо на черновике выполнять проверку. Найдём частную производную по «зет»: , что и требовалось проверить.
(2) Теперь используем формулу Ньютона-Лейбница: сначала ВМЕСТО «зет» подставляем верхний предел интегрирования , затем – нижний предел (ноль). В результате буквы «зет» остаться не должно!
Сносим трофей в следующий интеграл. По существу, решение свелось к двум переменным и к двойному интегралу:
(1) Используем свойства линейности интеграла, принимая во внимание тот факт, что «игрек» считается константой. Следует отметить, что не возбраняется оставить интеграл единым, раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но это менее рациональный способ (можете попробовать).
(2) Используем метод подведения под знак дифференциала. Если рассуждения воспринимаются совсем тяжело, мысленно замените «игрек» каким-нибудь конкретным числом, например, «пятёркой».
(3) Интегрируем по «икс» и выполняем проверку:
(4) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала ВМЕСТО «икс» (переменной, по которой проводилось интегрирование) подставляем , затем – ноль. После подстановок буквы «икс» остаться не должно!
Причёсываем результат и сносим его в последний интеграл, не теряя находящуюся там константу:
Ответ:
Результат безразмерен – просто число и всё.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Вычислить тройной интеграл
Примерный образец оформления задачи в конце урока.
До сих пор мы рассматривали два способа решения – это проецирование на плоскость и выбор порядка обхода проекции. Но на самом деле комбинаций больше – тело можно спроецировать на любую из 3 координатных плоскостей и каждую проекцию обойти 2 путями. Таким образом, получается 6 способов решения. И логично предположить, что в общем случае некоторые из них проще, а некоторые – труднее.
Наверняка многие обратили внимание, что в Примере № 13 я выбрал более редкий порядок обхода проекции, хотя ничто не мешало пойти «обычным» путём. Это не случайность. В результате нахождения интеграла получена сумма , в которой чуть выгоднее считать константой именно «игрек», что при прочих равных условиях (из уравнения прямой одинаково легко выразить ) упрощает решение. А в некоторых задачах выбор порядка интегрирования и вовсе становится ОЧЕНЬ важным:
Вычислить тройной интеграл
Решение: область интегрирования ограничена шестью плоскостями и представляет собой прямоугольный параллелепипед:
У незамысловатых областей можно не обращать внимания на проекцию и придерживаться следующего правила: обход тела осуществляется в направлениях координатных осей. Пределы интегрирования здесь очевидны
Но вот с порядком обхода не всё так просто. Если выбрать традиционный путь и сначала интегрировать по «зет», то получается неприятный интеграл , который нужно брать по частям. Аналогичная история, если интегрировать по «игрек»: , тут даже дважды по частям.
Наиболее выгодным путём является первоочередное интегрирование по «икс», в этом случае переменные , а значит, и множитель считаются константами:
Перед тем, как подставить пределы интегрирования, не помешает проверка: – получена исходная подынтегральная функция.
Буква «икс» испарилась, как оно и должно быть.
Осталось 2 направления обхода , и следующий интеграл рациональнее взять по «зет» чтобы множитель считался константой:
Промежуточная проверка:
Гуд.
В качестве дополнительного контроля снова смотрим, исчезла ли после подстановки переменная, по которой интегрировали («зет»).
И, наконец, оставшееся направление обхода и оставшийся интеграл:
Проверка:
При подстановках следует проявлять повышенное внимание, так, например, при подстановке нуля в выражение второе слагаемое можно машинально счесть за ноль.
На чистовике, конечно же, не нужно всё расписывать так подробно, анализ порядка интегрирования и промежуточные проверки осуществляются мысленно либо на черновике. Решение оформляется стандартно в 3 пункта, но читатели с хорошим уровнем подготовки могут записать его и «одной строкой»:
Ответ:
Наверное, это понятно, но на всякий случай закомментирую: буквенные множители-константы следует перемещать справа налево последовательно и без «перескоков» – до тех пор, пока каждая буква «не встретит свой интеграл». Условный пример:
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Вычислить тройной интеграл
Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Чем дальше, тем интереснее:
Физические приложения тройного интеграла
Но сначала разомнёмся физически, тело – в дело =) Пожалуйста, встаньте и найдите какой-нибудь пакет или мешок. Можно коробку. Теперь походим по квартире, ну или по улице и наведём порядок. А именно, наполним тару мусором. …Очень хорошо, молодцы. В результате ваших трудов получено ограниченное тело неоднородной плотности. Как говорится, есть бумажка, а есть жестяная крышка. Воздух, кстати, тоже обладает вполне определённой плотностью. Напоминаю, что физическая плотность – есть отношение массы к объёму, например, 100 грамм на кубический метр.
Ставим мешок рядышком и читаем дальше. Рассмотрим неоднородное (переменной плотности) тело . Если известна непрерывная в области функция плотности тела, то его масса равна следующему тройному интегралу:
Возможно, не всем понятен смысл функции плотности. Поясняю: если взять произвольную точку , принадлежащую телу , то значение функции будет равно плотности тела в данной точке.
Только не стОит находить функцию для пакета с мусором, иначе шнобелевская премия обеспечена =) …Хотя, с другой стороны нашлись же энтузиасты оценить суммарную площадь поверхности индийских слонов и создать математическую модель пивной пены.
Однако разрядились, и хватит. Разберём несколько тематических задач:
Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями , если известна функция его плотности .
Решение: искомое тело ограничено цилиндром сбоку, эллиптическим параболоидом – сверху и плоскостью – снизу. Дополнительные условия «загоняют нас» в 1-й октант, и проекция тела на плоскость представляет собой соответствующую «четвертинку» единичного круга:
Аналитическим методом уточним высоту, на которой параболоид пересекает цилиндр: и выполним пространственный чертёж:
Проекция сразу же наводит на мысль о переходе к цилиндрической системе координат:
Порядок обхода тела очевиден:
Таким образом:
Вычисления элементарны:
Ответ:
Следующий пример для самостоятельного решения:
Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями , если известна функция его плотности .
Краткое решение в конце урока
Центр тяжести тела
Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры вычислялась с помощью двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным способом с помощью тройного интеграла.
Что такое центр тяжести тела, довольно удачно объяснил ещё Архимед. Если тело подвесить на нить за центр тяжести, то оно будет сохранять равновесие в любом положении (как бы мы его предварительно ни повернули). В известной степени не реализуемо (таки центр тяжести внутри тела), но зато очень понятно. И вполне в стиле древнегреческого учёного, который просил дать ему точку опоры, чтобы с помощью рычага перевернуть Землю.
Центр тяжести неоднородного тела рассчитывается по формулам:
, где – функция плотности тела, а – масса тела.
Если тело однородно (золотое, серебряное, платиновое и т.д.), то формулы упрощаются. Так как плотность постоянна, и масса – есть произведение плотности на объём, получаем: , а объём тела рассчитывается (ещё не забыли? =)) с помощью тройного интеграла .
Для центра тяжести однородного тела справедливы следующие утверждения:
– если у тела есть центр симметрии, то он является центром тяжести (простейший пример – центр шара);
– если у тела существует линия симметрии, то центр тяжести обязательно принадлежит данной линии;
– если у тела есть плоскость симметрии, то центр тяжести непременно лежит в этой плоскости.
Как видите, практически полная аналогия с центром тяжести плоской фигуры.
Ну и, само собой, не могу не порадовать вас заключительной задачей:
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями , . Выполнить чертежи данного тела и его проекции на плоскость .
Решение: искомое тело ограничено координатными плоскостями и плоскостью , которую в целях последующего построения удобно представить в отрезках: . Выберем «а» за единицу масштаба и выполним трёхмерный чертёж:
На чертеже уже поставлена готовая точка центра тяжести, однако, пока мы её не знаем.
Проекция тела на плоскость очевидна, но, тем не менее, напомню, как её найти аналитически – ведь такие простые случаи встречаются далеко не всегда. Чтобы найти прямую, по которой пересекаются плоскости нужно решить систему:
Подставляем значение в 1-е уравнение: и получаем уравнение «плоской» прямой:
Координаты центра тяжести тела вычислим по формулам , где – объём тела.
Выберем «классический» порядок обхода:
1) Сначала вычислим объём тела. Его, кстати, можно узнать заранее, пользуясь известной задачей геометрии об объёме тетраэдра. Объём тетраэдра равен 1/6-й объёма прямоугольного параллелепипеда, построенного на его трёх смежных рёбрах. В нашем случае параллелепипед представляет собой куб с ребром «а», и соответственно:
Осталось аккуратно провести чистовые вычисления (желающие могут потренироваться и выполнить их самостоятельно). В примерах с громоздкими преобразованиями рекомендую записывать решение столбиком – меньше шансов запутаться:
Дело за тремя тройными интегралами. . А вы, наверное, не так давно и представить себе не могли, что окажетесь в эпицентре такого кошмара =)
2) Вычислим «иксовый» интеграл:
Таким образом, «иксовая» координата центра тяжести:
Ну что же, выглядит правдоподобно, по крайне мере, мы «попали внутрь тела».
Ввиду симметрии тетраэдра две другие координаты должны получиться такими же. Теперь ошибочный ответ практически исключён!
В результате:
4) И заключительный, более короткий интеграл:
Отмечаем на чертеже найденную точку центра тяжести и её же записываем в ответ:
Осталось взять мешок с мусором и чувством глубокого морального удовлетворения выбросить его… нет, в окно не надо =)
Что осталось за кадром? В сетку урока не попала редко встречающая на практике сферическая система координат, в которой положение любой точки пространства однозначно определяется одним расстоянием и двумя углами. И до сферических координат у меня таки дошли пальцы в статье Дивергенция векторного поля.
Вы постоянно сетовали на простоту примеров, и поэтому я просто не мог вам не рассказать о криволинейных и поверхностных интегралах, а также основах векторного анализа.
Пример 14: Решение: изобразим проекцию данного тела на плоскость :
Сверху тело ограничено эллиптическим параболоидом . Выберем следующий порядок обхода:
Таким образом:
Примечание: в «зетовом» интеграле сумма считается константой, поэтому её удобно сразу вынести в следующий интеграл. Ответ:
Пример 16: Решение: выполним чертёж:
Выберем следующий порядок обхода тела:
Таким образом:
Ответ:
Пример 18: Решение: искомое тело ограничено эллиптическим параболоидом снизу и конической поверхностью – сверху; параболоид и конус пересекаются в плоскости по окружности (выкладки и чертёж – см. в Примере № 9 страницы Тройные интегралы). Поскольку , то речь идёт о правом (относительно плоскости ) полупространстве, и проекцией тела на плоскость является верхний полукруг единичного радиуса:
Массу тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат:
Порядок обхода тела:
Таким образом:
Ответ:
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5