В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1

Содержание

В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1
В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1
В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1
В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1
В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1

В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1

а) Докажите, что расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдите угол между плоскостями KBA₁ и BCC₁.

а) Пусть AB = a, тогда и

В треугольнике A_{1 BK по теореме косинусов}

Опустим перпендикуляр A_{1 H из вершины A₁ на прямую BK Отрезок A_{1 H — высота треугольника A_{1 BK.}}}

Следовательно, расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдём площадь треугольника A₁BK.

Проекцией этого треугольника на плоскость BCC₁ является треугольник BB₁C₁.

Площадь этого треугольника Отношение площадей треугольников BB₁C₁ и A_{1 BK. является косинусом угла между плоскостями и Следовательно,}

Тогда искомый угол

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1

а) Докажите, что расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдите угол между плоскостями KBA₁ и ADD₁.

а) Пусть AB = a, тогда и

В треугольнике A_{1 BK по теореме косинусов}

Опустим перпендикуляр A_{1 H из вершины A₁ на прямую BK. Отрезок A_{1 H — высота треугольника A_{1 BK.}}}

Следовательно, расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдём площадь треугольника A₁BK.

Проекцией этого треугольника на плоскость ADD₁ является треугольник AA₁D₁.

Площадь этого треугольника Отношение площадей треугольников AA₁D₁ и A_{1 BK. является косинусом угла между плоскостями и Следовательно,}

Тогда искомый угол

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1

а) Докажите, что расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдите угол между плоскостями KBA₁ и BCC₁.

а) Пусть AB = a, тогда и

В треугольнике A_{1 BK по теореме косинусов}

Опустим перпендикуляр A_{1 H из вершины A₁ на прямую BK Отрезок A_{1 H — высота треугольника A_{1 BK.}}}

Следовательно, расстояние от вершины A₁ до прямой BK равно ребру куба.

б) Найдём площадь треугольника A₁BK.

Проекцией этого треугольника на плоскость BCC₁ является треугольник BB₁C₁.

Тогда искомый угол

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1

а) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.

б) Найдите расстояния от точки A до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.

а) Так как плоскость KLM пересекает рёбра AB, B₁C₁ и DD₁, она должна также пересекать рёбра C₁D₁, AD и BB₁. Назовём точки пересечения Q, R, P соответственно. Таким образом, в сечении получаем шестиугольник KPLQMR. Пусть плоскость сечения пересекает ребро AA₁ в точке S, тогда через неё проходят прямые KP и MR. Так как грани куба параллельны, то прямые KP и MQ также параллельны, следовательно, так как AK = KB = MD₁, треугольники KSA, KPB и MQD₁ равны.

Далее, с одной стороны, углы MQD, SKD и PKB равны как углы между парами параллельных прямых, с другой стороны, углы MQD и KPB равны как углы, лежащие напротив равных сторон. Следовательно, углы PKB и KPB равны, и указанные треугольники равнобедренные: BK = BP, D₁M = D₁Q, P — середина BB₁, Q — середина C₁D₁, R — середина AD. Таким образом, KP = PL = LQ = QM = MR = RK.

Заметим теперь, что KL = PQ = LM = QR = MK = RP, поэтому равнобедренные треугольники KPL, PLQ, LQM, QMR, MRK, RKP и углы шестиугольника равны. Следовательно, KPLQMR — правильный шестиугольник.

б) Рассмотрим пирамиду SAKR и запишем её объём двумя способами:

где h_A — искомое расстояние, AS = AK = AR = 1, Далее,

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В кубе abcdaa1b1c1d1 точка k середина ребра aa1

а) Докажите, что B₁KLM — правильная пирамида.

а) Рассмотрим правильный тетраэдр B₁AD₁C. В нём B₁K = B₁L = B₁M — апофемы боковых граней — равных равносторонних треугольников. Следовательно, боковые ребра пирамиды B₁KLM равны. Кроме того, в основании этой пирамиды лежит равносторонний треугольник KLM. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.