Теорема виета для куба

Теорема Виета

Теорема Виета — это теорема, которая используется для решения квадратных уравнений.

• сумма корней равна его второму коэффициенту p, но знак меняется на противоположный (x1+x2 = −p);
• произведение корней равно его свободному члену q, знак не меняется (x1.x2 = q).

Пример 1

p- это второй коэффициент с противоположным знаком

Надо подобрать корни x1 и x2 таким образом, чтобы их сумма равнялась −5, но и их произведение равнялось −6 (обычно это делается в уме).

Единственные числа, которые сюда подходят — это 1 и -6, значит x1 = 1 и x2 = -6.

Пример 2

Надо подобрать корни x1 и x2 таким образом, чтобы их сумма равнялась 4,5, но и произведение равнялось бы 2.

Единственные числа, которые сюда подходят — это 4 и 0,5, значит x1 = 4 и x2 = 0,5.

Обратная теорема Виета

Если числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения вида x² + px + q = 0, то известно, что x1+x2 = −p и x1. x2 = q.

Известны x1 = 4 и x2 = 3, корни квадратного уравнения. Требуется составить это уравнение.

Искомое уравнение имеет вид x² + px + q = 0

p = −(x1+x2) = −(4+3) = −7 (не забудьте про минус)

Уже есть все значения, можно составить искомое уравнение: x² − 7x + 12 = 0.

Теорема Виета для кубического уравнения

Имеется уравнение вида ax³ + bx² + cx + d = 0

В этом случае будут подбираться корни, удовлетворяющие эти условия:

Где x1, x2, x3 — корни уравнения.

Как превратить неприведённое квадратное уравнение в приведённое

Если уравнение выглядит так: ax² + bx + c = 0 (вместе с x² стоит число), то это уравнение является неприведённым, с ним ещё нельзя работать. Чтобы сделать его приведённым, нужно всего лишь разделить всё уравнение на это число a.

1. 2x² + 4x + 6 = 0 (неприведённое, делим всё на 2, т. к. вместе с x² стоит 2)
2. 2x²/2 + 4x/2 + 6/2 = 0
3. x² + 2x + 3 =0 (теперь оно стало приведённым, т. к. старший коэффициент с x² равен 1)

Если вам неизвестны коэффициенты, это деление можно показать так:

Источник

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i	Коэффициенты многочлена
2	— 11	12	9
— 0 . 5	2	— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12	12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18	9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Источник

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Теорема Виета для уравнений третьей степени» ученицей 8 класса школы была поставлена и реализована цель, создать электронное пособие, которое может быть использовано как при классно–урочной, так при дистанционной системе обучения, которое расширит знания учащихся о теореме Виета и ее применении для решения уравнений третьей степени.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Теорема Виета для уравнений третьей степени» автор выполняет практические задания по решению уравнений третей степени прибегая к применению теоремы Виета, подробно описывает их. Также в работе рассмотрены нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета. Данная работа рассчитана заинтересовать учащихся изучить принцип использования теоремы Виета в решении уравнений третей степени и сложных математических задач, чтобы расширить их знания и умения в области математики.

Оглавление

Введение
1. Виет Франсуа.
2. Теорема Виета для квадратных уравнений.
3. Теорема Виета для кубических уравнений
Заключение
Литература

Введение

Цель работы: создание электронного пособия, которое может быть использовано как при классно – урочной, так при дистанционной системе обучения, которое расширит знания учащихся по данной теме за пределы страниц школьного учебника, путём обобщения теоремы Виета для уравнений третьей степени и применения специальных методов решения задач.

1. на примере биографии великого ученого показать движущие силы научной мысли;
2. сформулировать, доказать и научить использовать теорему Виета в стандартных математических задачах;
3. исследовать возможность обобщения теоремы для уравнений третьей степени;
4. рассмотреть нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета;
5. вызвать активный познавательный интерес, который позволит глубже изучить проблему.

Виет Франсуа

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением.

Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику, и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка.

Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.

Не случайно за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики.

Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x.

Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам.

Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию).

Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали.

Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны.

Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась.

Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету.

Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки — Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

В конце 16 столетия голландский математик Андриан ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что вычислил число Пи с восемнадцатью верными знаками, решил бросить вызов всем математикам мира.

Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени:

французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно.

Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV. — И все же у меня есть математик! — воскликнул король. — Позовите Виета! В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле.

Король ликовал, все поздравляли придворного советника.

На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его.

В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «. 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер . в Париже. Ему было более шестидесяти лет». Подозревают, что Виет был убит.

Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу, которую назвал “Искусство анализа, или Новая алгебра”.

Виет всё же не завершил. Но главное было написано.

И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Теорема Виета для квадратных уравнений

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Рассмотрим квадратное уравнение вида ax2 + bx + c =0, где а ≠ 0. Приведём его к приведённому квадратному уравнении, путём деления на первый коэффициент а:

ax2 + bx + c = 0 |: а x^2+b/a x+c/a=0.

Введём обозначения: p=b/a, q=c/a. Тогда уравнение примет вид x2+px +q=0. Найдём дискриминант данного уравнения по формуле D = b2 – 4ac, т.е. D = p2 – 4q.

Источник