Сумма ряда обратных кубов
1. В связи с рядами величин, обратных степеням натуральных чисел, уже было проделано столько работы, что кажется невозможным открыть здесь что-нибудь новое. Ведь почти все, кто размышлял над суммами рядов, исследовали и суммы этого вида — будучи, однако, не в состоянии выразить их в доступной форме. Я тоже, несмотря на неоднократные усилия, испытывая для суммирования этих рядов различные методы, смог сделать не больше чем приблизить значения их сумм или свести эти суммы к квадратурам трансцендентных кривых; первое описывается в следующей статье , а второе я изложил в предыдущих. Имею в виду ряды дробей с числителем 1, чьи знаменатели будут квадратами, кубами или другими степенями натуральных чисел; к этому типу принадлежат ряды 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + etc., затем 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + etc. и точно так же для высших степеней — их общий член содержится в выражении 1/Х^n.
2. Недавно я нашёл — совершенно неожиданно — изящное выражение для суммы ряда 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + etc., зависящее от квадратуры круга, так что если получена истинная сумма этого ряда, из неё сразу следует квадратура круга. А именно, я нашёл шестикратную сумму этого ряда равной квадрату периметра круга, диаметр которого 1; или, если положить сумму ряда = s, тогда SQRT(6s) будет к числу 1 в отношении периметра к диаметру. В самом деле, недавно я показал, что сумма этого ряда есть приблизительно 1.644934066842264364; умножив это число на 6 и затем взяв квадратный корень, находим то самое число 3.141592653589793238, выражающее периметр круга с диаметром 1. Вновь следуя тем же путём, каким пришёл к этой сумме, я обнаружил, что сумма ряда 1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + etc. тоже зависит от квадратуры круга. А именно, его сумма, умноженная на 90, даёт биквадрат периметра круга, имеющего диаметр 1. Рассуждая так же, я смог определить и суммы последующих рядов, показатели которых чётны.
3. Поэтому хочу во всех подробностях объяснить, как я выполнил это, представить всё в той последовательности, в какой я этим распорядился. В круге ABMNA с центром С, имеющем радиус АС или ВС = 1, я рассмотрел дугу АМ, синус которой есть МР, а косинус СР. Если положить дугу АМ = s, синус РМ = y, косинус СР = х, тогда согласно хорошо известному методу синус у, как и косинус х, определяется (бесконечным) рядом исходя из данной дуги s, поскольку можно видеть, что у = s — s3/(1*2*3) + s5/(1*2*3*4*5) — s7/(1*2*3*4*5*6*7) + etc., а также х = 1 — s2/(1*2) + s4/(1*2*3*4) — s6/(1*2*3*4*5*6) + etc. Рассмотрение именно этих уравнений привело меня к вышеназванным суммам рядов обратных величин; причём оба уравнения могут быть использованы с одинаковым успехом, приводя к одним и тем же результатам, поэтому достаточно рассмотреть лишь одно из них — что я и изложу.
4. Итак, первое уравнение у = s — s3/(1*2*3) + s5/(1*2*3*4*5) — s7/(1*2*3*4*5*6*7) + etc. выражает отношение между дугой и синусом. Из него по данной дуге можно найти её синус, и подобным же образом по данному синусу его дугу. Сейчас мне нужно рассматривать синус как данный, и я буду исследовать возникновение дуги. Здесь следует отметить, что поскольку одному и тому же синусу у соответствует бесчисленное множество дуг, то все они удовлетворяют данному уравнению. Понятно, что если в этом уравнении s является неизвестным, то оно будет иметь бесконечно много степеней, и никого не удивит, что уравнение это будет содержать бесконечное число простых сомножителей, которые, если брать их равными нулю, дадут нам соответствующие значения s.
5. Более того, если бы все сомножители этого уравнения были известны, то и все корни его, или значения s, тоже были бы известны; с другой стороны, располагая всеми значениями s, мы получаем и все сомножители этого уравнения. Поскольку для меня легче определить сомножители, чем корни, я преобразую данное уравнение к такому виду: 0 = 1 — s/y + s3/(1*2*3*y) — s5/(1*2*3*4*5*y) — etc. Если теперь все корни уравнения, то есть все дуги с одним и тем же синусом y, будут A,B,C,D,E, etc., то его сомножителями будут такие количества: 1 — s/A, 1 — s/B, 1 — s/C, 1 — s/D, etc. Откуда получается 1 — s/y + s3/(1*2*3*y) — s5/(1*2*3*4*5*y) + etc. = (1 — s/A)*(1 — s/B)*(1 — s/C)*(1 — s/D) etc.
6. Но из самой природы решения уравнений ясно, что коэффициент члена, в котором появляется s, то есть 1/у, равен сумме всех коэффициентов при s в сомножителях, а значит, 1/у = 1/A + 1/B + 1/C + 1/D + etc. Далее, коэффициент при s2, который = 0, поскольку этот член не появляется в уравнении, равен сумме произведений из двух членов ряда 1/A, 1/B, 1/C, 1/D, etc. В свою очередь, -1/(1*2*3*у) будет равно сумме произведений из трёх членов ряда 1/A, 1/B, 1/C, 1/D, etc. И тем же образом окажется, что 0 = сумме произведений из четырёх членов этого ряда, а +1/(1*2*3*4*5*у) = сумме произведений из пяти членов того же ряда, и так далее.
7. Но, если положить, что AM = A есть наименьшая дуга, чей синус РМ = у, а полупериметр круга = p, тогда A, p-A, 2p+A, 3p-A, 4p+A, 5p-A, 6p+A etc. и подобно им -p-A, -2p+A, -3p-A, 4p+A, -5p-A etc. будут всеми дугами с одинаковым синусом у. Поскольку тем самым мы предположили, что ряд 1/A, 1/B, 1/C, 1/D, etc. переходит в такой: 1/A, 1/(p-A), 1/(-p-A), 1/(2p+A), 1/(-2p+A), 1/(3р-А), 1/(-3р-А), 1/(4р+а), 1/(-4р+А), etc., постольку сумма этих членов = 1/у ; далее, сумма произведений, составленных из двух членов этого ряда, равна 0; сумма произведений, составленных из трёх членов = -1/(1*2*3*у) ; сумма произведений из четырёх членов = 0; сумма произведений из пяти = +1/(1*2*3*4*5*у) ; сумма произведений из шести = 0, и так далее.
8. С другой стороны, если рассматривается произвольный ряд a + b + c + d + e + f + etc., сумма которого есть alpha, сумма произведений из двух членов = beta, сумма произведений из трёх членов = gamma, сумма произведений из четырёх членов = delta, etc., то сумма квадратов всех членов будет a2 + b2 + c2 + d2 + etc. = alpha2 — 2*beta; сумма кубов a3 + b3 + c3 + d3 + etc. = alpha3 — 3*alpha*beta + 3*gamma; сумма биквадратов = alpha4 — 4*alpha2*beta + 4*alpha*gamma + 2*beta2 — 4*delta. Чтобы сделать понятным возникновение этих формул, мы положим сумму членов a, b, c, d, etc. = P, сумму квадратов членов = Q, сумму кубов = R, сумму биквадратов = S, сумму пятых степеней = T, сумму шестых степеней = V, etc. При этом у нас будет: P = alpha; Q = P*alpha — 2*beta; R = Q*alpha — P*beta + 3*gamma; S = R*alpha — Q*beta + P*gamma — 4*delta; T = S*alpha — R*beta + Q*gamma — P*delta + 5*epsilon; и так далее.
9. Поскольку у нас в случае ряда 1/A, 1/(p-A), 1/(-p-A), 1/(2p+A), 1/(-2p+A), 1/(3p-A), 1/(-3p-A), etc. сумма всех членов, то есть alpha, будет = 1/у, сумма произведений из двух, то есть beta = 0, и затем, для большего числа членов, gamma = -1/(1*2*3*y); delta = 0, epsilon = +1/(1*2*3*4*5*y), dzeta = 0; etc., тогда сумма всех членов этого ряда будет P = 1/y; сумма квадратов этих членов Q = P/y = 1/y2; сумма кубов этих членов R = Q/y — 1/(1*2*y); сумма всех биквадратов S = R/y — 1/(1*2*3*y). И затем чередою: T = S/y — Q/(1*2*3*y) + 1/(1*2*3*4*y); V = T/y — R/(1*2*3*y) + P/(1*2*3*4*5*y); W = V/y — S/(1*2*3*y) + Q/(1*2*3*4*5*y) — 1/(1*2*3*4*5*6*y). С помощью этого правила легко определятся суммы остальных высших степеней.
10. Мы теперь положим синус РМ = у равным радиусу, так что у = 1. Наименьшая дуга А, синус которой есть 1, будет четвёртой частью периметра, = (1/2)*р, или же, если обозначить как q четвёртую часть периметра, будет A = q и p = 2q. Вышенаписанный ряд поэтому обратится в такой: 1/q, 1/q, -1/3q, -1/3q, +1/5q, +1/5q, -1/7q, -1/7q, +1/9q, +1/9q, etc., где члены возникают равными парами. Итак, сумма этих членов, которая есть (р/2)*[1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — 1/11 + etc.], составляет Р = 1. Отсюда следует, что выражение 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — 1/11 + etc. = q/2 = p/4. При учетверении этот ряд равен полупериметру круга с диаметром 1. Действительно, это тот самый ряд, открытый некоторое время назад Л е й б н и ц е м , через который он определил квадратуру круга. Благодаря этому — если наш метод покажется кому-то не вполне надёжным — здесь приходит сильное подтверждение; потому не должно уже быть сомнений во всём остальном, что будет получено этим методом.
11. Теперь мы соберём квадраты членов, возникающих в случае у = 1, и появится ряд 1/q2 + 1/q2 + 1/9q2 + 1/9q2 + 1/25q2 + 1/25q2 + etc., сумма которого (2/q2)*[1/1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + etc.] и который будет тогда равен Q = P = 1. Из этого следует, что сумма ряда 1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + etc. = q2/2 = p2/8, где р означает полный периметр круга с диаметром = 1. Но сумма ряда 1 + 1/9 + 1/25 + etc. определяет и сумму ряда 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + etc., потому что последний ряд минус четверть самого себя даёт предыдущий ряд, так что сумма предыдущего ряда плюс треть её равна сумме последнего ряда. Откуда будет 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49 + etc. = p2/6. Действительно, сумма этого ряда, умноженная на 6, равна квадрату периметра круга с диаметром 1; это как раз то утверждение, о котором я упомянул в самом начале.
12. И поскольку в случае у = 1 оказывается P = 1 и Q = 1, значения других букв будут следующими: R = 1/2; S = 1/3; T = 5/24; V = 2/15; W = 61/720; X = 17/335; etc. Затем, так как сумма кубов равна R = 1/2, будет (2/q3)*[1 — (1/3)3 + (1/5)3 — (1/7)3 + (1/9)3 — etc.] = 1/2. Отсюда получается 1 — (1/3)3 + (1/5)3 — (1/7)3 + (1/9)3 — etc. = p3/32. То есть сумма этого ряда, умноженная на 32, даёт куб периметра круга с диаметром 1. Подобным же образом сумма биквадратов, которая есть (2/q4)*[1 + (1/3)4 + 1/5)4 + (1/7)4 + (1/9)4 + etc.], должна равняться 1/3, и оттого будет 1 + (1/3)4 + (1/5)4 + (1/7)4 + (1/9)4 + etc. = q4/6 = p4/96. Но этот ряд, умноженный на 16/15, равен памятному ряду 1 + (1/2)4 + (1/3)4 + (1/4)4 + (1/5)4 + (1/6)4 + etc., исходя из чего это равняется р4/90; можно сказать, что сумма ряда 1 + (1/2)4 + (1/3)4 + (1/4)4 + etc., умноженная на 90, даёт биквадрат периметра круга с диаметром 1.
13. Суммы более высоких степеней можно найти таким же путём; если последовать далее, то окажется, что 1 — (1/3)5 + (1/5)5 — (1/7)5 + (1/9)5 — etc. = 5q5/48 = 5p5/1536, а также 1 + (1/3)6 + (1/5)6 + (1/7)6 + (1/9)6 + etc. = q6/15 = p6/960. Затем для седьмых степеней будет 1 — (1/3)7 + (1/5)7 — (1/7)7 + (1/9)7 — etc. = 61q7/1440 = 61p7/184320, а для восьмых 1 + (1/3)8 + (1/5)8 + (1/7)8 + (1/9)8 + etc. = 17q8/630 = 17p8/161280, откуда выводим, что 1 + (1/2)8 + (1/3)8 + (1/4)8 + (1/5)8 + (1/6)8 + etc. = p8/9450. Следует обратить внимание на то, что в этих рядах степеней знаки членов с нечётными показателями чередуются, в то время как для чётных степеней они одинаковы; по этой причине сумма общего ряда 1 + (1/2)n + (1/3)n + (1/4)n + etc. может быть представлена только в случаях, когда n есть чётное число. Кроме того, нужно заметить, что если бы общий член ряда 1, 1, 1/2, 1/3, 5/24, 2/15, 61/720, 17/315, etc. мог быть определён (его частные значения мы искали как буквы P, Q, R, S, etc.), то одновременно была бы дана и квадратура круга.
14. При этом мы всё время принимали синус РМ равным радиусу. Мы можем также посмотреть, какого вида ряды получаются, если за у принимать другие величины. Так, еcли у = 1/(sqrt2), то наименьшая дуга, отвечающая этому синусу, есть (1/4)*р. Поэтому, если положить А = (1/4)*р, то ряд простых членов, или первых степеней, будет 4/р + 4/3р — 4/5р — 4/7р +4/9р + 4/11р — etc. Сумма Р этого ряда равна 1/у = sqrt2. Следовательно, получается, что р/(2*sqrt2) = 1 + 1/3 — 1/5 — 1/7 + 1/9 + 1 /11 — 1/13 — 1/15 + etc.; правило знаков этого ряда отличается от Лейбницева и уже было прежде сообщено Н ь ю т о н о м. Сумма квадратов этих членов, именно (16/р2)*[1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + etc.] , равна Q = 2. Поэтому будет 1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + etc. = p2/8, как это и было найдено раньше.
15. Если берётся у = (sqrt3)/2, тогда наименьшая дуга, отвечающая этому синусу, будет 60 градусов, и тогда A = (1/3)*p. В этом случае появится следующий ряд членов: 3/р + 3/2р — 3/4р — 3/5р + 3/7р + 3/8р — etc., а сама сумма этих членов равна 1/у = 2/sqrt3. Поэтому у нас будет 2р/(3*sqrt3) = 1 — 1/2 — 1/4 — 1/5 + 1/7 + 1/8 — 1/10 — 1/11 + etc. Сумма же квадратов этих членов = 1/у2 = 4/3, откуда следует, что 4р2/27 = 1 + 1/4 + 1/16 + 1/25 + 1/49 + 1/64 + etc., так что внутри этого ряда третий член всегда пропускается. По существу этот ряд зависим от ряда 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + etc. (cумма которого ранее была найдена как = р2/6), ибо последний, уменьшенный на свою девятую часть, равен вышеуказанному ряду, — чья сумма и будет поэтому = (р2/6)*(1 — 1/9) = 4рр/27. Подобным же образом, когда берутся другие синусы, то возникают новые ряды для простых членов, для их квадратов и для более высоких степеней, по-прежнему заключающие в себе квадратуру круга.
16. Однако, если положить у = 0, то рядом этого типа пользоваться уже нельзя, потому что у стоит в знаменателе, — ведь первоначальное уравнение было разделено на у. Хотя, с другой стороны, в этих условиях можно построить иной ряд, который даст нам ряды вида 1 + (1/2)n + (1/3)n + (1/4)n + etc., где n — чётное число; а что касается сумм, которые будут найдены, я уже умею их выводить отдельно от случая у = 0. Теперь, если мы возьмём у = 0, основным уравнением становится 0 = s — s3/(1*2*3) + s5/(1*2*3*4*5) — s7/(1*2*3*4*5*6*7) + etc., и корни этого уравнения представляют собою все дуги, синус которых = 0. Имеется один минимальный корень s = 0, так что если поделить уравнение на s, оно даст нам все остальные дуги, синус которых = 0, причём эти дуги суть все корни уравнения 0 = 1 — s2/(1*2*3) + s4/(1*2*3*4*5) — s6/(1*2*3*4*5*6*7) + etc. Само собою, дуги с синусом = 0 будут р, -р, 2р, -2р, 3р, -3р, etc., из которых вторая в каждой паре отрицательна, о чём говорит нам и само уравнение, поскольку измерения s чётны. Значит, делителями этого уравнения будут 1 — s/p, 1 + s/p, 1 — s/2p, 1 + s/2p, etc., и при соединении каждой пары делителей вместе получится: 1 — s2/(1*2*3) + s4/(1*2*3*4*5) — s6/(1*2*3*4*5*6*7) + etc. = (1 — s2/p2)*(1 — s2/4p2)*(1 — s2/9p2)*(1 — s2/16p2) etc.
17. Из природы уравнений ясно, что коэффициент при ss, то есть 1/(1*2*3), равен 1/р2 + 1/4р2 + 1/9р2 + 1/16р2 + etc. Сумма же произведений из двух членов этого ряда будет = 1/(1*2*3*4*5); сумма произведений из трёх = 1/(1*2*3*4*5*6*7), etc. В связи с этим всё будет как в параграфе 8: alpha = 1/(1*2*3), beta = 1/(1*2*3*4*5), gamma = 1/(1*2*3*4*5*6*7), etc. Полагая также сумму членов 1/p2 + 1/4p2 + 1/9p2 + 1/16p2 + etc. = P, а сумму квадратов этих членов = Q, сумму кубов = R, сумму биквадратов = S, etc., согласно параграфу 8 найдём: P = alpha = 1/(1*2*3) = 1/6; Q = P*alpha — 2*beta = 1/90; R = Q*alpha — P*beta + 3*gamma = 1/945; S = R*alpha — Q*beta + P*gamma — 4*delta = 1/9450; T = S*alpha — R*beta + Q*gamma — P*delta + 5*epsilon = 1/93555; V = T*alpha — S*beta + R*gamma — Q*delta + P*epsilon — 6*dzeta = 691/(6825*93555), etc.
18. Из этих наблюдений происходят следующие суммы:
1 + (1/2)2 + (1/3)2 + (1/4)2 + (1/5)2 + etc. = p2/6 = P
1 + (1/2)4 + (1/3)4 + (1/4)4 + (1/5)4 + etc. = p4/90 = Q
1 + (1/2)6 + (1/3)6 + (1/4)6 + (1/5)6 + etc. = p6/945 = R
1 + (1/2)8 + (1/3)8 + (1/4)8 + (1/5)8 + etc. = p8/9450 = S
1 + (1/2)10 + (1/3)10 + (1/4)10 + (1/5)10 + etc. = p10/93555 = T
1 + (1/2)12 + (1/3)12 + (1/4)12 + (1/5)12 + etc. = 691p12/(6825*93555) = V;
эти ряды суммируются по данному правилу, при изрядном количестве труда для высших степеней. Также, деля каждый из этих рядов на предыдущий, мы получаем следующие равенства: р2 = 6P = 15Q/P = 21R/2Q = 10S/R = 99T/10S = 6825V/691T, etc., где каждое выражение равно квадрату периметра круга с диаметром 1.
19. Хотя приближённые суммы данных рядов могут быть установлены легко, они мало помогают нам для выражения приблизительного периметра круга — из-за наличия квадратных корней, которые приходится вычислять. Из более ранних рядов, которые мы здесь нашли, можно извлечь некоторые выражения, равные самому периметру р. Они таковы:
p = 4*(1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — 1/11 + etc.)