Сумма кубов примеры с решением 7 класс

Сумма кубов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – сумма кубов, с помощью которой выполняется раскладывание выражения на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Формула суммы кубов

Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Полный квадрат разности выглядит так: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.

Формула справедлива и справа-налево:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Примечание: a 3 + b 3 ≠ (a + b) 3

Доказательство формулы

Убедиться в правильности выражения можно, просто перемножив скобки, соблюдая правила арифметики при их раскрытии. Давайте так и сделаем:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + a 2 b – ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Примеры задач

Задание 1
Разложите на множители выражение: 6 3 + (4x) 3 .

Решение
6 3 + (4x) 3 = (6 + 4x)(6 2 – 6 ⋅ 4x + (4x) 2 ) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16x 2 )

Задание 2
Разложите выражение на произведение множителей: (7x) 3 + (3y 2 ) 3 .

Решение
(7x) 3 + (3y 2 ) 3 = (7x + 3y 2 )((7x) 2 – 7x ⋅ 3y 2 + (3y) 2 ) = (7x + 3y 2 )(49x 2 – 21xy 2 + 9y 2 )

Задание 3
Представьте выражение 64x 3 + 125 в виде суммы кубов и разложите его на множители.

Решение
64x 3 + 125 = (4x) 3 + 5 3 = (4x + 5)((4x) 2 – 4x ⋅ 5 + 5 2 ) = (4x + 5)(16x 2 – 20x + 25)

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Сумма кубов, разность кубов.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Формулы сокращённого умножения.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 +b 3 = a 3 + b 3

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 – ba 2 – ab 2 – b 3 = a 3 – b 3

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

Выражения (a 2 + ab + b 2 ) и (a 2 – ab + b 2 ) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a 3 + b 3 и a 3 – b 3 на два множителя:

(a + b)(a 2 – a b+ b 2 ) и (a – b)(a 2 + ab + b 2 ).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Выполните умножение многочленов:

1. ( x + 3)(x 2 –3x +9) = x 3 + 3 3 = x 3 + 27.
2. (2x – 3y)(4x 2 +6xy + 9y 2 ) = (2x) 3 – (3y) 3 = 8x 3 –27y 3 .

Разложите многочлен на множители:

1. x 3 – 8 y 3 = x 3 – (2y) 3 = (x – 2y) (x 2 +2xy + 4y 2 )
2. 64 a 3 – 27c 3 = (4a) 3 – (3c) 3 = (4a – 3c)(16a 2 +12 ac + 9c 2 ).

x 3 + 2 3 – x(x 2 – 9) = x 3 + 8 – x 3 + 9x = 8 + 9x.

Доказать, что выражение 123 3 + 27 3 кратно 50.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ),

получим: (123 + 27)(123 2 –123 · 27 + 27 2 ) =150 · (123 2 –123 · 27 + 27 2 ).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

Источник

Сумма и разность кубов двух выражений

Формула суммы кубов

Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):

и найдём из неё сумму двух кубов:

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.

Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $

Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формула разности кубов

Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):

и найдём из неё разность двух кубов:

$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$

Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.

Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$

Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $

г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$

Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8

Что и требовалось доказать.

Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).

Рассмотрим куб со стороной (a+b), в противоположные углы которого вписаны кубы со сторонами a и b.
Объемы кубов: $V_ = (a+b)^3, V_a = a^3, V_b = b^3$
Объём фигуры, закрашенной оранжевым: $V_ <ор>= a(a+b)^2-V_a = a(a^2+2ab+b^2 )-a^3$ $= 2a^2 b+ab^2$
Объём фигуры, закрашенной синим: $V_ <син>= b(a+b)^2-V_b = b(a^2+2ab+b^2 )-b^3$ $= a^2 b+2ab^2$

$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

Источник

Куб суммы и разности двух выражений

Формула куба суммы

$$ = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = $$

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

$$ = a(a^2-2ab+b^2 )-b(a^2-2ab+b^2 ) = a^3-2a^2 b+ab^2-a^2 b+2ab^2-b^3 = $$

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Не забывайте о втором и третьем слагаемом в формулах куба двучленов!

Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

а) $ (x+5)^3 = x^3+3\cdot x^2\cdot5+3\cdot x\cdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125$

б) $ (9-z)^3 = 9^3-3\cdot9^2\cdot z+3\cdot9\cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3 $

в) $(5b-3c)^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 =$

г) $(2mk+1)^3 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 =$

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3-(a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot2^2-2^3 )= $

б) $(x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2\cdot3y+3x\cdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 =$

в) $(x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) =$

$= x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3$

$-(k^3+3k^2\cdot3m+3k\cdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- $

$-k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3 $

Пример 3. Найдите значение выражения:

a) $a^3-b^3-3ab(a-b)$ при a = -7 и b = -17

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

Подставляем: $(-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000$

б) $3ab(a+b)+a^3+b^3$ при a = -3 и b = 13

$ 3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = $

Подставляем: $(-3+13)^3 = 10^3 = 1000$

Пример 4. Решите уравнение:

$1-3\cdot4x+3\cdot(4x)^2-(4x)^3+48\cdot \frac<4> <3>x^3-48x^2 = 0 $

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

Рассмотрим куб со стороной (a+b) и вписанный в один из его углов куб со стороной b.

Объемы кубов $V_ = (a+b)^3,V_b = b^3$ Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного оранжевым цветом: $V_ <ор>= a(a+b)^2$

Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного синим: $V_ <син>= b(a+b)^2$

Источник

Куб суммы: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, позволяющую разложить куб суммы на множители, а также, подробно разберем пример решения задачи.

Формула куба суммы

Куб суммы слагаемых a и b равняется кубу a плюс утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a плюс куб b .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Формула равносильна и в обратном порядке:

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3

Доказательство формулы

Куб числа/выражения – это его возведение в третью степень. Давайте представим наше выражение в виде куба:
(a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) .

Перемножаем скобки с учетом арифметических правил:
(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата суммы:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Пример

Чему равен куб суммы (5x + 7y) 3 ?

Решение
Используем формулу сокращенного умножения:
(5x + 7y) 3 = (5x) 3 + 3 ⋅ (5x) 2 ⋅ 7y + 3 ⋅ 5x ⋅ (7y) 2 + (7y) 3 = 125x 3 + 525x 2 y + 735xy 2 + 343y 3

Проверка
Выполним перемножение трех одинаковых скобок:
(5x + 7y) 3 = (5x + 7y)(5x + 7y)(5x + 7y) = (5x + 7y)(5x + 7y) 2 = (5x + 7y)(25x 2 + 70xy + 49y 2 ) = 125x 3 + 350x 2 y + 245xy 2 + 175x 2 y + 490xy 2 + 343y 3 = 125x 3 + 525x 2 y + 735xy 2 + 343y 3

Источник

Разность квадратов, сумма и разность кубов — справочник студента

В алгебре разность кубов, как и любая другая формула сокращенного умножения, является тождеством, то есть может быть использована как для перехода из левой части к правой, так и для перехода в обратном направлении.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности квадратов этих выражений. Соответственно, получаем правило для разложения разности кубов на множители.

• Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
• Формула разности кубов:
• 
• С помощью схемы разность кубов можно представить так:

1. Например,
2. 
3. 

На практике, однако, условие подробно не расписывают. Значит, прежде чем применить формулу разности кубов, надо сначала ее увидеть.

• Например, чтобы разложить по формуле разность
• 
• надо сначала увидеть, что 125 — это куб 5, а 8a — куб (2a):
• 
• и только после этого расписать выражение как разность кубов:
• 
• 
• На первых шагах работы с формулой помочь в работе может схема:

1. Таблица кубов от 1 до 10 поможет нам увидеть куб числа:
2. Свойства степеней
3. 
4. помогут нам представить степень и произведение степеней в виде куба.
5. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители с помощью разности кубов.

Чтобы найти, сколько знаков нужно поставить после запятой, если известен куб числа, надо количество знаков после запятой в кубе числа разделить на 3.

У 0,008 после запятой стоит три знака, значит, у числа, которое возвели в куб, знаков после запятой в три раза меньше — один. У 0,000000001 — 9 знаков после запятой. Делим девять на 3.

У числа, которое возводят в куб, после запятой — три знака:

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

При изучении формул сокращенного умножения мы уже изучили:

Выведем формулу разности кубов.

Наша задача – доказать, что при раскрытии скобок в правой части и приведении подобных слагаемых мы придем в результате к левой части.

Выполняем умножение многочленов:

• .
• Что и требовалось доказать.
• Выражение называется неполным квадратом суммы, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.
• Определение
• Разность кубов двух выражений есть произведение разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
• Выведем формулу суммы кубов.

Выполняем умножение многочленов:

1. .
2. Что и требовалось доказать.
3. Выражение называется неполным квадратом разности, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.
4. Определение
5. Сумма кубов двух выражений есть произведение суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
6. Пример 1 – упростить выражение:

• Это изучаемая формула – разности кубов:
• .
• Пример 2 – упростить выражение:
• .
• Пусть и , имеем:
• .
• Это изучаемая формула – суммы кубов:
• .
• Пример 3 – разложить на множители:
• .
• Несложно заметить формулу разности кубов:
• .
• Применяем изучаемую формулу:
• .
• Пример 4 – разложить на множители:
• .
• Несложно заметить формулу разности кубов:
• .
• Применяем изучаемую формулу:
• .
• Пример 5 – решить уравнение:
• .
• Пусть и , имеем:
• .
• Это изучаемая формула – разности кубов:
• .
• Пример 6 – решить уравнение:
• .
• Пусть и , имеем:
• .
• Это изучаемая формула – суммы кубов:

z3 = -13

1. Пример 7 – вычислить при :
2. .
3. Пусть и , имеем:
4. .
5. Это изучаемая формула – разности кубов:
6. .
7. Подставим значение переменной:
8. .
9. Пример 8: докажите, что .
10. Доказательство.
11. Применим формулу разности кубов и разложим заданное выражение на множители:
12. .

Вторую скобку оставим без изменений, выполним вычисления в первой скобке:

.

Получили произведение чисел, содержащее множитель 25, очевидно, что данное выражение кратно 25.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели формулы разности и суммы кубов и их применение для различных типов задач.

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

   Домашнее задание

   1. Задание 1 – упростить выражения:а) ; б) .
   2. Задание 2 – разложить на множители:a) ; б) .
   3. Задание 3 – № 882, 883 – Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7.

   Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

   Сумма и разность кубов

   

   Выражение отличается от правой части формулы квадрата разности только коэффициентом при Поэтому это выражение называют неполным квадратом разности.

   Читают: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

   • Формулу суммы кубов можно получить из формулы куба суммы:
   • 
   • Выразим отсюда :
   • 
   • 

   Разность кубов

   Заменив в формуле суммы кубов на получим формулу разности кубов:

   

   Выражение называют неполным квадратом суммы.

   Читают: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполных квадрат их суммы.

   Пример 1. Разложить на множители многочлен

   Решение. Заметим, что а Поэтому по формуле разности кубов получаем

   

   Формулы сокращенного умножения и другие полезные алгебраические тождества

   • 1) Разность квадратов
   • 2) Квадрат суммы
   • 3) Квадрат разности
   • 4) Сумма кубов
   • 5) Разность кубов

   Комментарий репетитора по математике:
   Перед вами базовый школьный комплект формул, изучаемый в 7 классе по всем программам. Наибольшая доля задач в учебниках приходится на применение первых трех формул.

   Трехчлены и называются неполными квадратами суммы и разности соответственно

   Из методики репетитора по заучиванию названий: Примите к сведению, что названия всех формул даются по самой короткой их части.

   Например, в формуле разность квадратов это левая часть, а в формуле квадрат суммы — правая. В начале названия формулы указывается последнее действие в этой короткой части.

   Например, в формуле разность квадратов -это разность, а в формуле квадрат суммы — это квадрат.

   Дополнительные формулы, изучаемые в математических классах:

   1. 6) Куб суммы
   2. 7) Куб разности
   3. 8) Квадрат суммы трех чисел
   4. Комментарий репетитора по математике: Если в последней формуле поставить знак минус, например перед b или c (или сразу оба знака), то в правой части знак минус появится перед тем удвоенным произведением, которое эту букву содержит (или два минуса дадут снова плюс).

   Другие полезные алгебраические тождества:

   выражение суммы квадратов двух чисел через их сумму

   выражение суммы квадратов двух чисел через их разность

   Комментарий репетитора по математике: Эти тождества часто используются составителями конкурсных задач по математике (в том числе и на ЕГЭ) для того, чтобы замаскировать в уравнениях и неравенствах замену переменной. Если в вашем задании присутствует сумма квадратов двух выражений попробуйте перейти к сумме или к разности.

   • Бином Ньютона
   • Разность n-ных степеней
   • Сумма нечетных степеней
   • Колпаков Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике Москва, Строгино.

   Формулы сокращённого умножения

   При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

   Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

   Разность квадратов

   Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

   • 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
   • 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

   Квадрат суммы

   Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

   Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

   • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним. 112 = 100 + 1
   • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат. 1122 = (100 + 12)2
   • Воспользуемся формулой квадрата суммы: 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

   Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

   Предостережение!

   Квадрат разности

   Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

   Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

   Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

   (a − b)2 = a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2 Запомните!

   Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

   (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

   Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

   • Выучите, что в начале идёт «a3».
   • Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
   • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a» и увеличение степени «b». В этом можно убедиться: (a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

   Предостережение!

   Куб разности

   Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

   (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

   Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом «a3 » стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.

   (a − b)3 = + a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

   Сумма кубов

   Не путать с кубом суммы!

   Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

   Сумма кубов — это произведение двух скобок.

   • Первая скобка — сумма двух чисел.
   • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение: (a2− ab + b2) Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

   Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

   Будьте внимательны при записи знаков.

   Применение формул сокращенного умножения

   • Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
   • Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
   • Примеры:
   • a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
   • (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

   Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

   Формулы сокращенного умножения

   Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или, скажем, квадрата суммы, просто невозможно.

   Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,162 — 2 • 3,16 • 1,16 + 1,162.

   Если вы начнете считать это «в лоб», получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!

   Итак, семь формул «школьной» алгебры, которые должны знать все:

   Название	Формула
   Квадрат суммы	(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
   Квадрат разности	(A — B)2 = A2 — 2AB + B2
   Разность квадратов	(A — B)(A + B) = A2 — B2
   Куб суммы	(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2+ B3
   Куб разности	(A — B)3 = A3 — 3A2B + 3AB2 — B3
   Сумма кубов	A3 + B3 = (A + B)(A2 — AB + B2)
   Разность кубов	A3 — B3 = (A — B)(A2 + AB + B2)

   Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.

   Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы — на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).

   Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.

   Любознательным школьникам будет, вероятно, интересно обобщить приведенные факты. Вот, скажем, существуют формулы квадрата и куба суммы. А что, если рассмотреть выражения типа (A + B)4, (A + B)5 и даже (A + B)n, где n — произвольное натуральное число? Можно ли увидеть здесь какую — либо закономерность?

   Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B)n называется биномом Ньютона.

   Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B)4 и (A + B)5, а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:

   (A + B)n = An + Cn1An-1B + Cn2An-2B2 + … + CnkAn-kBk + … + Bn.

   Напоминаю, что n! — это 1 • 2 • … • n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n. Например, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!

   А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для An — Bn?

   An — Bn = (A — В)(An-1 + An-2B + An-3B2 + … + Bn-1).

   Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:

   An + Bn = (A + В)(An-1 — An-2B + An-3B2 — … + Bn-1).

   Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.

   Урок 30. сумма кубов. разность кубов — Алгебра — 7 класс — Российская электронная школа

   • Алгебра
   • 7 класс
   • Урок № 30
   • Сумма кубов. Разность кубов
   • Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
   • Формулы сокращённого умножения.
   • Сумма кубов, разность кубов.
   • Разложение многочлена на множители.
   • Тождественные преобразования.
   • Вычисление значения числовых выражений.
   1. Тезаурус:
   2. Формулы сокращённого умножения.
   3. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
   4. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
   5. (a + b)(a – b) = a2 – b2
   6. a3 + b3= (a + b)(a 2– ab + b2)
   7. a3 – b3= (a – b)(a2 + ab + b2)
   8. Применение:
   • упрощение умножения многочленов;
   • разложение многочлена на множители;
   • вычисление значения числового выражения;
   • тождественные преобразования.

   1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

   1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

   2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

   3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

   • Теоретический материал для самостоятельного изучения.
   • Формула суммы кубов.
   • Рассмотрим произведение;
   • (a + b)(a2 – ab + b2).
   • Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
   • (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 +b3 = a3 + b3
   • a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
   • Равенство называют формулой суммы кубов.
   • Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».
   • Формула разности кубов.
   • Аналогично докажем формулу разности кубов.
   • (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3= a3 – b3
   • Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».
   • a3 – b3= (a – b)(a2+ ab + b2)
   • Выражения (a2+ ab + b2) и (a2– ab + b2) называют неполным квадратом суммы или разности.
   • Формула задаёт разложение многочленов:
   • a3 + b3 и a3 – b3 на два множителя:
   • (a + b)(a2 – a b+ b2) и (a – b)(a2+ ab + b2).
   • Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.
   • Разбор решения заданий тренировочного модуля.
   • Задача 1.
   • Выполните умножение многочленов:
   1. ( x + 3)(x2 –3x +9) = x3 + 33 = x3 + 27.
   2. (2x – 3y)(4×2 +6xy + 9y2) = (2x)3 – (3y)3 = 8×3 –27y3.

   Разложите многочлен на множители:

   1. x3 – 8 y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y) (x2 +2xy + 4y2 )
   2. 64 a3 – 27c3 = (4a)3 – (3c)3 = (4a – 3c)(16a2 +12 ac + 9c2).
   1. Задача 3.
   2. Упростите выражение:
   3. (x +2)(x2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).
   4. Решение:
   5. x3 + 23 – x(x2 – 9) = x3 + 8 – x3 + 9x = 8 + 9x.
   6. Ответ: 8 + 9x.
   7. Задача 4.
   8. Доказать, что выражение 1233 + 273 кратно 50.
   9. Используем формулу:
   10. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2),
   11. получим: (123 + 27)(1232 –123 · 27 + 272) =150 · (1232 –123 · 27 + 272).

   Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

   Источник