Сколько вершин у куба с отпиленными вершинами

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Изначально у треугольной призмы 5 граней и 6 вершин. Когда от призмы отпилили все вершины количество вершин стало равно

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Изначально у пятиугольной призмы 7 граней и 10 вершин. Когда от призмы отпилили все вершины количество вершин стало равно 3 · 10 = 30

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Изначально у деревянного кубика 8 вершин. Когда от кубика отпилили все вершины, количество вершин стало равно 8 · 3 = 24.

Плоскость, проходящая через три точки A, B и C, разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у многогранника, у которого меньше граней?

В сечении получается четырёхугольник. У одной отсечённой фигуры 8 вершин и 6 граней, у второй — 6 вершин и 5 граней. Следовательно, у искомой фигуры 6 вершин.

Плоскость, проходящая через точки A, B и C, рассекает тетраэдр на два многогранника (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

У многогранника с большим числом граней количество вершин равно 6.

Аналоги к заданию № 514887: 509778 Все

На рисунке изображён многогранник (все двугранные углы прямые). Сколько вершин у этого многогранника?

Из рисунка видно, что у данного многогранника 12 вершин.

На рисунке изображён многогранник (все двугранные углы прямые). Сколько вершин у этого многогранника?

Из рисунка видно, что у данного многогранника 16 вершин.

Аналоги к заданию № 511597: 511637 511717 511737 Все

На рисунке изображён многогранник (все двугранные углы прямые). Сколько вершин у этого многогранника?

Из рисунка видно, что у данного многогранника 12 вершин.

Аналоги к заданию № 511597: 511637 511717 511737 Все

На рисунке изображён многогранник (все двугранные углы прямые). Сколько вершин у этого многогранника?

Из рисунка видно, что у данного многогранника 12 вершин.

Аналоги к заданию № 511597: 511637 511717 511737 Все

Плоскость, проходящая через три точки A, B и С, разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у многогранника, у которого больше вершин?

Плоскость сечения пересекает параллельные основания по параллельным прямым. Проведём через точку С прямую, параллельную AB, она пересечёт ребро призмы в точке D. Тем самым, трапеция ABCD — искомое сечение. Оно делит призму на две призмы: треугольную, имеющую 6 вершин и четырёхугольную, имеющую 8 вершин. Четырёхугольная призма имеет по 4 ребра в каждом из оснований и 4 боковых ребра, всего 12 рёбер.

Источник

Сколько вершин у куба с отпиленными вершинами

От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Изначально у пятиугольной призмы 7 граней и 10 вершин. Когда от призмы отпилили все вершины количество граней стало равно 7 + 10 = 17.

Плоскость, проходящая через три точки A, B и C, разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у многогранника, у которого больше граней?

В сечении получается четырёхугольник. У одной отсечённой фигуры 15 рёбер и 7 граней, у второй — 9 рёбер и 5 граней. Следовательно, у искомой фигуры 7 граней.

К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Изначально у четырёхугольной пирамиды 5 граней, а у куба — 6 граней. Когда четырёхугольную пирамиду приклеили к кубу, количество граней стало равно 5 − 1 + 6 − 1 = 9.

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда где S – площадь одной из граней, а L – длина ребра, составляющего с этой гранью угол Площадь ромба с острым углом в равна двум площадям равностороннего треугольника. Вычислим объем:

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда где S – площадь одной из граней, а L – длина ребра, составляющего с этой гранью угол Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними. Вычислим объем:

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не обозначены)?

У кубика 6 граней. В результате отпиливания 8 вершин появились 8 граней. Всего 14 граней.

К правильной треугольной призме со стороной основания 1 приклеили правильную треугольную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не обозначены)?

Зная, что в треугольной призме 5 граней, а в треугольной пирамиде 4 граней, но так как две грани совпадают получаем: 5 + 4 − 2 = 7.

Ящик, имеющий форму куба с ребром 10 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь одной грани равна 10 · 10 = 100 см 2 . В кубе шесть граней, но нас просят найти только площадь пяти граней, следовательно, 100 · 5 = 500 см 2 .

К правильной шестиугольной призме с ребром основания 1 приклеили правильную шестиугольную пирамиду с ребром основания 1 так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Зная, что в шестиугольной пирамиде 7 граней, а в шестиугольной призме 8 граней, но так как две грани в основании совпадают получаем: 7 + 8 − 2 = 13.

К правильной треугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную треугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Изначально у треугольной пирамиды 4 грани, а у треугольной призмы — 5 граней. Когда четырёхугольную пирамиду приклеили к кубу, количество граней стало равно 4 − 1 + 5 − 1 = 7.

К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Изначально у шестиугольной пирамиды 7 граней, а у шестиугольной призмы — 8 граней. Когда шестиугольную пирамиду приклеили к шестиугольной призме, количество граней стало равно 7 − 1 + 8 − 1 = 13.

Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь одной грани равна 20 · 20 = 400 см 2 . В кубе шесть граней, но нас просят найти только площадь пяти граней, следовательно, 400 · 5 = 2000 см 2 .

Аналоги к заданию № 509658: 510139 514620 Все

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен где S – площадь грани, а h — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен где S – площадь грани, а h – высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда площадь грани

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен где S — площадь грани, а h — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Поскольку боковые грани SAB, SDC и SBC наклонены к основани. под углом углы A и D в треугольнике ASD и угол G в треугольнике SGH равны

Поэтому треугольник ASD — равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой откуда

Из прямоугольного треугольника SHG находим:

Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон:

Источник

Задание №13 ЕГЭ по математике базового уровня

Наглядная стереометрия

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры – например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии – они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 13МБ1

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения:

Записать формулу объема цилиндра.
Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
Полученное уравнение решить относительно второй высоты h₂.
Подставить данные и вычислить искомую величину.

Решение:

Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π • r 2 .

Следовательно, объем цилиндра равен π • r 2 • h

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h₂.

h₂ – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r₂ = 4 r₁ . Подставим r₂ = 4 r₁ в выражение для h_1. Получим: h₂ =( π r₁ 2 h₁)/ π (4 r₁) 2 Полученную дробь

Сократимость — способность мышечных волокон укорачиваться или изменять степень напряжения при возбуждении.

Вариант 13МБ2

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
Найти отношение объемов.
Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы. По условию c₁ = 4,5 c₂ (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй), b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой). Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁ Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй. Ответ: 2.

Вариант 13МБ3

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
Найти отношение объемов.
Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c₁ = 1,5 c₂ (первая коробка в полтора раза выше второй), b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

Сократим получившуюся дробь на a₁ · b₁ · c₂. Получим:

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй. Ответ: 6.

Вариант 13МБ4

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового “куба”. Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

Вариант 13МБ5

Алгоритм выполнения

Луб — это сложная проводящая ткань, по которой продукты фотосинтеза (органические вещества) транспортируются из листьев ко всем органам растения (к корневищам, плодам, семенам и т. д.).

Решение:

Подставляем в полученное отношение числовые данные:

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

Вариант 13МБ6

Алгоритм выполнения

Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V₁ и V₂.
Фиксируем значение для V₁. Выражаем V₂ через V₁. Находим значение V₂.
Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.

Решение:

Вариант 13МБ7

Алгоритм выполнения

Записываем ф-лу для расчета объема цилиндра.
На основании этой формулы записываем 2 уравнения – для вычисления объема воды в 1-м и 2-м сосудах. Для этого используем в формуле соответствующие индексы 1 и 2.
Поскольку воду просто переливают их одного сосуда в другой, то ее объем не изменяется. Поэтому приравниваем полученные уравнения. Из полученного единственного уравнения находим уровень воды во 2-м сосуде, выраженный высотой h₂.

Решение:

Вариант 13МБ8

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Алгоритм выполнения

Определяем количество вершин у треугольной призмы.
Анализируем изменения, которые произойдут при отпиливании всех вершин. Подсчитываем кол-во вершин у нового многогранника.

Решение:

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

Вариант 13МБ9

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

Алгоритм выполнения

Вводим обозначения для линейных параметров коробок и их объемов.
Определяем зависимость линейных параметров согласно условию.
Записываем формулу для вычисления объема призмы.
Адаптируем эту формулу для объемов коробок.
Находим отношение объемов.

Решение:

Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а₁, а для второй а₂. Высоты коробок обозначим соответственно h₁ и h₂. Объемы – V₁ и V₂.

Согласно условию, h₂=4,5h₁, а₁=3а₂. Объем призмы равен: V=S_оснh. Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то S_осн=а 2 . Отсюда: V=a 2 h. Для 1-й коробки имеем: V₁=a₁ 2 h₁. Для 2-й коробки: V₂=a₂ 2 h₂. Тогда получаем отношение: Ответ: 2

Вариант 13МБ10

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Алгоритм выполнения

Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
Определяем коэффициент подобия.
Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.

Решение:

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V₁, малого – V₂. Получим:

Поскольку по условию V₁=1600 мл, то V₂=1600/8=200 мл.

Вариант 13МБ11

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для вычисления объема шара.
Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2.
Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия.

Решение:

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

Вариант 13МБ12

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра.
Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.

Решение:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

Вариант 13МБ13

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем.
Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара (через его радиус).
Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).
Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.

Решение:

Вычисляем m₂:

Вариант 13МБ14

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Алгоритм выполнения

Определяем часть призмы, соответствующую объему погруженной детали.
Вычисляем объем детали на основании формулы для определения объема прямой призмы с квадратом в основании.

Решение:

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Источник