Сколько граней прямоугольника у куба

Геометрические фигуры. Куб.

Куб или правильный гексаэдр – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты.

Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных

шестиугольников — это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям.

В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов. То есть,

сумма плоских углов у каждой вершины = 270º.

Число рёбер примыкающих к вершине – 3;

Предположим, что а – длина стороны куба, а d — диагональ, тогда:

Диагональ куба – это отрезок, который соединяет 2 вершины, которые симметричны относительно центра

Свойства куба.

• 4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — они проходят сквозь центр куба

перпендикулярно четырём его главным диагоналям.

• В куб вписывают тетраэдр 2-мя способами. В любом из них 4-ре вершины тетраэдра всегда

совмещены с 4-мя вершинами куба и каждое из шести ребер тетраэдра принадлежат граням куба. В 1-м

случае каждая вершина тетраэдра принадлежит граням трехгранного угла, вершиной совпадающего с одной

из вершин куба. Во 2-м случае ребра тетраэдра, которые попарно скрещиваются принадлежат попарно

противоположным граням куба. Такой тетраэдр будет правильным, а его объём будет составлять треть от

• В куб вписывают октаэдр, при этом все 6 вершин октаэдра совмещаются с центрами 6-ти граней

• Куб вписывают в октаэдр, при этом все 8 вершин куба располагаются в центрах 8-ми граней

• В куб вписывают икосаэдр, притом 6 взаимно параллельных рёбер икосаэдра располагаются на

6-ти гранях куба, следующие 24 ребра располагаются внутри куба. Каждая из 12 вершин икосаэдра

располагается на 6-ти гранях куба.

Элементы симметрии куба.

Ось симметрии куба может пролегать или сквозь середины ребер, которые

параллельны, не принадлежащих одной из граней, или сквозь точку

пересечения диагоналей противолежащих граней. Центром симметрии

куба будет точка пересечения диагоналей куба.

Сквозь центр симметрии куба проходят 9 осей симметрии.

Плоскостей симметрии у куба тоже 9, они пролегают или

через противолежащие ребра (таких плоскостей 6), или

через середины противолежащих ребер (таких 3).

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник

Математика. 4 класс

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Как распознавать и называть куб, его грани, ребра, вершины.?

Куб — это многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.

Грани куба – это стороны куба, которые представляют собой квадрат.

Ребра куба – это стороны граней куба.

Вершина куба— это точка, где сходятся три грани или точка, в которой сходятся три ребра куба.

Площадь фигуры – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией.

Периметр фигуры — это сумма длин всех сторон фигуры.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 110
2. Математика: Рабочая тетрадь для 4 класса/ О.А. Рыдзе, К.А. Краснянская. – М.; СПб.: Просвещение, 2012. – с. 26-32

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Подумайте, на какие две группы можно разделить фигуры?

Верно, на плоские и объемные.

Назовите плоские геометрические фигуры.

Верно, квадрат, треугольник, прямоугольник.

Объемные фигуры называются – геометрическими телами.

Вы видите геометрическое тело «шар» и геометрическое тело «куб».

Внимательно посмотрите и скажите, из какой фигуры состоит поверхность куба?

Верно, поверхность куба состоит из квадратов, их называют гранями куба.

Посчитайте, сколько граней у куба.

Правильно, у куба 6 граней.

Стороны граней (квадратов) называют ребрами куба.

Посчитайте, сколько ребер у куба?

Вершины граней – это вершины куба.

Посчитайте, сколько вершин у куба.

Правильно, у куба 8 (восемь) вершин.

Таким образом, у куба 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.

Для того чтобы изготовить модель куба необходимо построить развертку куба.

И какого бы куб ни был роста, сшить костюм для него очень просто. Для начала же, сделав разметку, изготовьте раскройку – развертку. Шесть квадратов! Нехитрое дело. Но расклеить их надо умело.

Где можно встретить куб? Здания чаше всего имеют кубическую форму, так что можно просто выглянуть в окно, и вы сразу увидите куб.

Самая знаменитая игрушка-головоломка «кубик-рубик».

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

Выполним несколько тренировочных заданий.

1. Найдите и напишите номер того куба, который сделан из данной развёртки.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов): 4

2. Выберите правильное утверждение.

а) площадь круга больше площади квадрата;

б) площадь круга меньше площади квадрата;

Правильные варианты: б) площадь круга меньше площади квадрата.

Источник

Урок математики в 3-м классе «Куб. Элементы куба: грани, ребра, вершины. Развертка куба»

Цели.

• Познакомить с кубом, его элементами, разверткой, применением в жизни. Совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки, умения решать задачи и преобразовывать величины.
• Развивать мыслительные операции, анализ, синтез, классификацию, сравнение, математическую речь, внимание, общий кругозор, творческое воображение, конструкторские способности.
• Воспитывать усидчивость, аккуратность, взаимопомощь, выручку, умения работать в коллективе.

ОБОРУДОВАНИЕ: мультимедийный проектор, экран, набор карточек для дифференцированной работы, листы самооценки, геопланы, магнитная доска с геометрическим материалом, цветная бумага, ножницы, клей, виды кубов, конверты с домашним заданием, электрифицированный стенд, презентация — сопровождение урока.

Доброе утро, ребята и гости,
Всех на урок милости просим,
Сегодня урок интересный и сложный,
Но для тех, кто работает нет невозможного.
У нас не английский и не грамматика
Урок — МАТЕМАТИКИ .

2. Актуализация опорных знаний

Появляется на экране мультимедийная презентация.

Рассмотрите геометрические фигуры. В них записаны математические выражения. Вычислите значение числового выражения, которое находится:

а) на пересечении круга и прямоугольника?

— Какое правило применили? (Деление числа на произведение)

б) Выражение, которое находится в большом квадрате, но не содержится в маленьком квадрате ?

в) Выражение, которое находится на пересечении квадрата и прямоугольника?

г) Выражение, которое находится в левом полукруге?

— Каким правилом пользовались?

(Умножение числа на произведение)

д) Выражение, которое содержится в ромбе, но не содержится в квадрате.

8 дм 4 см * 3= 84 см *3= 252см= 25 дм 2 см

— У каких этих фигур мы можем найти периметр?

— У каких фигур можем определить периметр несколькими способами?

На экране появляются слайд с формулами.

— Как найти периметр квадрата?

— А как найти площадь у прямоугольника?

— Как найти площадь у квадрата?

Обобщение: Вы хорошо знаете геометрические фигуры и вычисляете выражения. Знаете правила нахождения площади и периметра. Это нам необходимо для решения задач.

3. Постановка учебной задачи.

— Что общего у этих фигур (Плоские)

— Какие еще могут быть фигуры, кроме плоских? (Объемные)

— С каким геометрическим телом уже знакомы? (Параллелепипедом)

— Кто сформулирует тему сегодняшнего урока? ( Мы познакомимся с новым объемным геометрическим телом — кубом.)

А сейчас решим задачу из учебника.

— Можем сразу найти площадь квадрата? (Нет)

— Почему? (Не знаем сторону квадрата)

— Какой формулой мы будем пользоваться для нахождения площади квадрата?

— Решим эту задачу с комментированием?

1) 36:4 = 9 (мм) — длина 1 стороны

Ответ: 81 мм 2 — площадь квадрата.

— Что вы знаете о прямоугольнике?

*Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые.

*Противоположные стороны равны.

*Диагонали прямоугольника равны.

*Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

— Решите задачу следующую задачу.

— Можем сразу ответить на вопрос? (Да)

— Как? ( площадь разделить на ширину)

Ответ: 86 м — длина участка.

Д/в. Что вы знаете о квадрате?

*Квадрат — четырехугольник, у которого все углы прямые, а стороны равны.

*Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

*Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

— Составьте обратные задачи данной.

Площадь участка прямоугольной формы 3440 м 2 . Длина участка 86 м. Найдите ширину?

— Можем сразу ответить на требование задачи? (Да)

— Как? (площадь разделить на длину)

— Эту задачу решит 1 вариант.

Кто выполнит задачу, решит дополнительно. Задание по своим силам, по выбору?

Длина участка прямоугольной формы 86 метров, ширина 40 м. Найдите площадь участка?

— Какой формулой будем пользоваться?( S квадрата = a * b)

— Дополнительно решите еще карточку по выбору

На каждой парте лежат дифференцированные задания.

Красный кармашек — задание для сильных учащихся.

Зеленый кармашек — средней сложности

Синий кармашек — для слабоуспевающих.

Проверка самостоятельной работы.

В момент ответа учеников на экране появляются названные фигуры.

*Это четырехугольник, у которого параллельны только 2 стороны.

* Это четырехугольник, у которого все противоположные стороны равны и параллельны.

6. Физминутка.

Немного отдохнем, поработаем устно с геопланами. (У каждого ученика на парте) Нужно узнать фигуру по описанию. Прежде, чем начнем работать, используя таблицу, оцените свои знания, выберите круг нужного цвета. Будьте внимательны, мы учимся самоконтролю!

(На экране появляется таблица )

(Один ученик работает на магнитной доске, остальные с геопланами)

— Покажите мне данную фигуру на геоплане.

1. У этой фигуры все стороны равны, противолежащие углы равны. (Ромб)
2. Все углы равны 90 градусам, противолежащие стороны равны. (Прямоугольник)
3. Фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки? (Угол)
4. Фигура, которая получается при проведении диагоналей в прямоугольнике, квадрате? (Треугольник)
5. «Раздавленный» прямоугольник? (Параллелограмм)
6. Ромб, у которого все углы прямые? (Квадрат)

Проверка на магнитной доске

— Какая фигура здесь лишняя. не относится к многоугольникам? (Угол)

— Какие бывают углы? (Остроугольные, тупоугольные, прямоугольные)

— У кого сошлась самооценка?

ВЫВОД: Будьте внимательны, мы учимся самоконтролю.

Новые понятия появляются на экране.

— Сейчас мы выполним графический диктант и узнаем с каким геометрическим телом мы познакомимся на уроке.

— Поставьте точку, обозначьте ее латинской буквой А, затем отсчитайте 5 клеточек вправо, обозначьте буквой B, от В пять клеточек вверх, обозначьте буквой С, от этой точки 5 клеточек влево, обозначьте буквой Д; от А 3 клеточки по диагонали вправо вверх обозначьте Е; от В по диагонали вправо вверх 3 клеточки, обозначьте F, от Д вправо вверх 3 клеточки по диагонали обозначьте К, от С вправо вверх по диагонали 3 клеточки, обозначьте М.

— Как называется это геометрическое тело? (КУБ)

*Это слово иностранное, иначе его называют шестигранник.

— Где вы встречали куб? (игра «Кубик Рубика», кубики для игры, кубики конструктора.)

Вот каркас куба из проволоки

— Возьмите куб. положите его на левую руку.

1) Куб — это геометрическое тело?

Какой фигурой является грань куба? (Квадрат)

Поверхность каждого куба состоит из квадратов, которые называются ГРАНЬ.

— Почему он называется правильным шестиугольником?

— Сосчитайте грани куба. Сколько их? (6)

— Две соседние грани квадрата (многогранника) называются РЕБРОМ.

— Покажите ручкой (указкой) ребро

— Сосчитайте сколько у куба ребер? (12)

— Равны ли ребра по длине? (да)

— Сколько ребер пересекается (сходится) к одной вершине? (3)

— Сосчитайте сколько вершин у куба? (8)

Работа в тетради на печатной основе (стр. 8, зад. 12,13)

Изготовление развертки куба по технологической инструкции.

— Сейчас мы сами изготовим развертку куба. Что такое развертка?

*Это как бы разрезанный куб на бумаге. (Показать)

НАПОМНИТЬ об осторожном обращении с ножницами, клеем, экономии бумаги.

— Покажите на кубе его вершины, ребра, грани.

— Можно ли сказать, что куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого длина, ширина и высота равны между собой (ДА)

Конструирование из кубов группами

Давайте вспомним правила работы в группах (внимательно слушай товарища, говори по очереди, не перебивай друга, помоги товарищу.

— Как вы думаете от кого зависит успех нашего урока? (От работы каждого из нас)

— У вас у каждого получился куб. А сейчас, работая в группах попробуйте сконструировать что — то из кубов.

10. Итог урока (на электрифицированном стенде)

а) — Сколько у куба граней? (6)

— Как называется правильный шестигранник? (куб)

— Что является гранью куба? (квадрат)

б) Рефлексивно-оценочная деятельность

Оцените свою работу на уроке. (Лесенка успеха)

Выполнить задание по карточкам по выбору,

Раскрасить ту фигуру, которая является разверткой куба.

Источник