Скобка в кубе пример

Как использовать куб суммы (a + b) 3

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители — применение формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула куба суммы.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Формула куб суммы не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3

Как возвести в куб многочлен

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен.

Используем формулу куба суммы. Только вместо « a » у нас будет « x », а вместо « b » будет « 2y ».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Применение куба суммы для разложения многочлена на множители

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба суммы.

Обратите внимание, что многочлен « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 », только вместо « a » стоит « m », а на месте « b » стоит « n ».

Используем для многочлена « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » формулу куба суммы.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Представим многочлен « 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » в виде « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Обратим внимание, что « 27x 3 » — это « (3x) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 3x ».

Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 8 ». Вспомним, что « 8 » — это « 2 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 2 ».

Рассмотрим одночлены посередине « 54x 2 » и « 36x ». При сравнении многочлена с кубом суммы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.

Преобразуем одночлены « 54x 2 » и « 36x » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 3x », а « b » — это « 2 ».

Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.

Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 54x 2 » и « 36x ».

• 54x 2 = 3 · (3x) 2 · 2 = 3 · 9x 2 · 2 = 27x 2 · 2 = 54x 2 (верно)
• 36x = 3 · 3x · (2) 2 = 3 · 3x · 4 = 9x · 4 = 36x (верно)

После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » является правой частью формулы куба суммы
« (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Используем формулу куба суммы и решим пример до конца.

Источник

Как использовать куб разности

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула куба разности.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Формула куб разности не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3

Как возвести в куб разность

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен, который содержит разность.

Используем формулу куба разности. Только вместо « a » у нас будет « 2y », а вместо « b » будет « x ».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Применение куба разности для разложения многочлена на множители

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба разности.

Обратите внимание, что многочлен « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « y ».

Используем для многочлена « x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 » формулу куба разности.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Представим многочлен « 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » в виде « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».

Обратим внимание, что « 8y 3 » — это « (2y) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 2y ».

Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 27 ». Вспомним, что « 27 » — это « 3 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 3 ».

Рассмотрим одночлены посередине « 36y 2 » и « 54y ». При сравнении многочлена с кубом разности « a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.

Преобразуем одночлены « 36y 2 » и « 54y » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 2y », а « b » — это « 3 ».

Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.

Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 36y 2 » и « 54y ».

• 36y 2 = 3 · (2y) 2 · 3 = 3 · 4y 2 · 3 = 12y 2 · 3 = 36y 2 (верно)
• 54y = 3 · 2y · (3) 2 = 3 · 2y · 9 = 6y · 9 = 54y (верно)

После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 8y 3 − 36y 2 + 54y − 27 » является правой частью формулы куба разности
« (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ».

Используем формулу куба разности и решим пример до конца.

Источник

Формулы сокращенного умножения с примерами

Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями ), решении уравнений и неравенств , при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Квадрат суммы

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь , и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду .

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.

…и приведем подобные слагаемые.

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.

Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

Вот теперь вычислять гораздо приятнее!

Квадрат разности

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).

Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки .

Теперь приведем подобные слагаемые.

Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.

Разность квадратов

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями .

Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.

Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.

Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^\) и \(a^n b^n=(ab)^n\).

Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).

Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).

Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.

Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.

И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.

Источник