Сечение кубов 10 класс задачи

Постройте сечение куба, проходящее через точки M, N и P. Определите вид треугольника, являющегося сечением.

Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, тогда соединяем M и N сплошной линией. Аналогично строим прямую NP. Точки P и M лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок PM. Он невидимый, тогда соединяем P и N штрихом. Треугольник MNP — искомое сечение.

Так как это куб, то треугольник, являющийся сечением — равносторонний.

Постройте сечение куба, проходящее через точки M, N и P. Определите вид треугольника, являющегося сечением.

Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он невидимый, тогда соединяем M и N штрихом. Аналогично строим прямую MP. Точки P и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок PN. Он видимый, тогда соединяем P и N сплошной линией. Треугольник MNP — искомое сечение.

Так как это куб, то треугольник, являющийся сечением — равнобедренный остроугольный.

Источник

Урок геометрии по теме: «Построение сечений в многогранниках методом следов». 10-й класс

Девиз: “Мы одна семья, мы учимся все вместе”

Цели урока:

Формирование у учащихся навыков решения задач на построение сечений методом следов.
Формирование и развитие у учащихся пространственного воображения.
Развитие графической культуры и математической речи.

Обучающая цель: формирование умений и навыков построения сечений методом следов.

Воспитывающая цель: воспитывать чувство сплоченности, взаимопомощи, воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний.

Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная, коллективная.

Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, набор геометрических тел (куб, параллелепипед, пирамида).

Организационный момент: Рассаживаемся на 3 группы по 5 человек. На каждом столе – набор тел, памятки-опоры, карточки для индивидуальной работы по построению сечений.

Слово учителя: Вы изучили аксиомы стереометрии, следствия из аксиом, теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью. Существует несколько методов построения сечений многогранника плоскостью: метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод.

1) Ребята, я предлагаю вам повторить и вспомнить некоторые геометрические понятия и определения.

Основное понятие геометрии – место пересечения двух прямых, не имеющее измерения.
Геометрическая фигура, состоящая из шести квадратных граней.
Отдельный предмет в пространстве.
Способ изображения пространственных фигур на плоскость.
Плоская фигура, образуемая пересечением тела плоскостью.
Сторона грани многогранника.
Многогранник, поверхность которого состоит из четырех треугольников.

2) Ребята, перед вами пример неправильного построения сечения куба АС1 плоскостью, проходящей через заданные точки N, C, D1.

А рядом сечение построено верно.

На уроках черчения вы пользовались определением: Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

Вот таким определением мы и будем пользоваться сегодня на уроке.

В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники, а в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.

Метод следов включает три важных пункта:

Строится линия пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.
Находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.
Строим и заштриховываем сечение.

Рассмотрим пример (мультимедийный проектор).

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L.

Алгоритм построения

Источник

Задачи для работы в классе для учащихся 10 класса по теме «Построение сечений»

Работа расчитана для совместной работы в классе учителя и учащихся по теме «Построение сечений».

Просмотр содержимого документа
«Задачи для работы в классе для учащихся 10 класса по теме «Построение сечений»»

Построить сечения многогранников плоскостью, проходящей через три выделенные точки.

Задачи на построение сечений.

Задача 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B₁C₁ и N ∈ DD₁ и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

Задача 2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A₁B₁; N ∈ B₁C₁ и K ∈ DD₁.

Задача 3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D₁C₁, N ∈ CC₁ и K ∈ AA₁.

Задача 4. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A₁B₁C₁D₁; N ∈ DD₁ и K ∈ AD.

3aдача 5. Построить сечение треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC₁; K ∈ BB₁ .

Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA₁; N ∈ B₁C₁; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах).

Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA₁D₁D; N ∈ A₁B₁C₁D₁; K ∈ DDC₁C.

Задача 8. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение:
а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ;
б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ.

Задача 9. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через данные точки: а) С₁, К, D; б) С₁, К, С, где точка К – середина А₁В₁. Определите, какая фигура образуется в сечении.

Задача 10. Точка Х делит ребро АВ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ в отношении АХ : ХВ = 2 : 3. Постройте сечение этого куба плоскостью, которая параллельна плоскости АА₁С₁ и проходит через точку X. Найдите периметр сечения, если АВ = а.

Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B₁C₁ и N ∈ DD₁ и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

Задача 6. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A₁B₁; N ∈ B₁C₁ и K ∈ DD₁.

Задача 7. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D₁C₁, N ∈ CC₁ и K ∈ AA₁.

Задача 8. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ грани A₁B₁C₁D₁; N ∈ DD₁ и K ∈ AD.

Зaдача 9. Построить сечение треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AC; N ∈ CC₁; K ∈ BB₁.

Задача 10. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA₁; N ∈ B₁C₁; K ∈ DC. (Точки М, N и К лежат на скрещивающихся ребрах).

Задача 11. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ AA₁D₁D; N ∈ A₁B₁C₁D₁; K ∈ DDC₁C.

Задача 12. В треугольной пирамиде SАВС провести сечение:
а) через середину ребра АС параллельно грани SСВ;
б) через середину ребра SС параллельно грани SАВ.

Задача 13. Ответ:
а) равнобедренная трапеция; б) прямоугольник.
Задача 14. Ответ:

Построить сечения многогранника плоскостью, проходящей через три выделенные точки

Источник

Стереометрия. Задачи на построение сечений

В задачах на построение сечений мы применяем все те определения, теоремы, свойства и признаки, которые изучаем и доказываем на уроках в школе.

Например, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Это значит, что плоскость сечения и, например, плоскость грани пирамиды будут пересекаться по прямой, и на чертеже будет показана часть этой прямой – отрезок.

Как вы думаете — может ли восьмиугольник быть сечением куба?

И может ли правильный пятиугольник быть сечением куба?

Чтобы соединить какие-либо две точки на чертеже, нам нужна плоскость, в которой эти точки лежат. Иногда это грань объемного тела. Иногда – вспомогательная плоскость.

А вообще сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении объемного тела плоскостью и граница которой лежит на поверхности этого объемного тела.

Конечно, восьмиугольник сечением куба быть не может. Ведь у куба 6 граней, и поэтому сечение куба не может иметь больше 6 сторон.

При построении сечений мы часто используем следующие теоремы:

1. Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Именно поэтому правильный пятиугольник не может быть сечением куба. Ведь 4 из 5 сторон этого пятиугольника лежат в параллельных гранях куба и поэтому параллельны. А у правильного пятиугольника параллельных сторон нет.

2. Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости α. Если плоскость β проходит через прямую m и пересекает плоскость α по прямой c, то c параллельна m.

Эта теорема помогает, например, при построении сечений пирамиды.

Разберем несколько задач на построение сечений.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка М лежит на ребре AD, N — на ребре DC, К — на ребре АВ.

Проведем МК в плоскости грани ABD и MN в плоскости грани ADC.

Проведем РК в плоскости нижней грани; четырехугольник — искомое сечение.

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка N лежит на ребре

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной МК.

Прямая МК параллельна АВ, лежащей в плоскости основания АВС. Значит,

Плоскость сечения проходит прямую МК, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости АВС параллельна прямой МК. Трапеция MKNT — искомое сечение.

3. Постройте сечение куба проходящее через вершину и середины ребер и

Пусть М — середина АВ, N — середина ВС, Продолжим прямую MN до пересечения с продолжениями ребер DC и AD;

Треугольники АМР и KCN — прямоугольные равнобедренные, причем

Проведем — в плоскости задней грани и — в плоскости левой грани куба;

Пятиугольник — искомое сечение. В нем есть параллельные стороны: так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

4. Постройте сечение куба проходящее через вершину В и середины ребер и

Пусть М — середина ребра , N — середина ребра

Поскольку линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, плоскость сечения пересекает заднюю грань по прямой, параллельной ВМ, а левую грань — по прямой, параллельной BN. Тогда искомое сечение — ромб

5. Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, точку М, делящую ребро АS в отношении , и точку N — середину апофемы грани SBC.

Пусть SH — апофема грани SBC; N—середина SH.

Проведем MN в плоскости ASH;

Четырехугольник KMEF — искомое сечение.

Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, и точки М и Т — центры граней АSС и SBC.

Пусть SЕ и SH — апофемы граней ASC и SBC; точки М и Т делят отрезки SЕ и SH в отношении 2:1, считая от точки S.

Из подобия треугольников SMT и SEH получим, что Значит

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и нижней грани параллельна прямой МТ. Это значит, что плоскость сечения пересекает грань АВС по прямой АВ. Достроим сечение.

7. Постройте сечение куба , проходящее через точку М, лежащую на ребре и точки Т и К, принадлежащие граням АВС и .

Точки М и К лежат в плоскости задней грани . Соединив М и К, получим, что

Соединив точки Р и Т в нижней грани, получим FN — линию пересечения плоскости сечения с нижней гранью;

. Трапеция FMEN — искомое сечение.

8. И самый сложный случай. Построим сечение куба плоскостью МNK, где , причем расстояния от точек М и N до плоскости АВС различны.

Пусть точки и — проекции точек M и N на плоскость нижней грани

Плоскость проходит через параллельные прямые и .

Проведем в этой плоскости MN и

Точки Р и К лежат в нижней грани куба, следовательно, плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой РК. Дальнейшее построение — очевидно.

Источник

Сечение кубов 10 класс задачи

Похожие презентации