Ребро куба равно а найдите d1k

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

190. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите следующие двугранные углы: а) АВВ1С;б) ADD1B; в) А1ВВ1К, где К — середина ребра A1D1.

* В задачах этого параграфа двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D, для краткости будем называть так: двугранный угол CABD.

б) Надо найти угол между плоскостями

∠ADB — линейный угол двугранного угла ADD₁B;

в) Проведем B₁K; проведем KE || AA₁; проведем диагональ квадрата ВЕ. Требуется найти линейную меру двугранного угла между

Таким образом, ∠А₁В₁K — линейный угол двугранного угла ABB₁K.

Пусть ребро куба равно а, тогда

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №190
к главе «Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.».

Источник

Ребро куба равно а найдите d1k

Все ребра куба равны

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AB, BC, CC₁.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунок 1.

Пусть M – середина ребра AB, N — середина BC, P — середина CC₁. И пусть ребро куба равно Тогда: Составим уравнение секущей плоскости.

Из первых двух уравнений системы:

Искомое уравнение имеет вид:

Найдем ординату Q, точки пересечения секущей плоскости αи ребра D₁C₁.

При абсцисса R, точки пересечения α и ребра A₁D₁, при аппликата S, точки пересечения α и ребра A₁A, при

Шестиугольник MNPQRS — искомое сечение.

б) Найдем косинус угла φ между плоскостью α и нижним основанием куба. (уравнение последнего имеет вид: z = 0).

Нормальный вектор плоскости α: нормальный вектор нижнего основания куба

Проекция сечения на нижнее основание куба — шестиугольник M₁N₁CQ₁R₁A, площадь которого равен

Ответ: б)

В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ точка N — середина ребра BC, точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плоскость, проходящая через точки M и N параллельно прямой ВD₁, пересекает ребро DD₁ в точке K.

б) Найдите расстояние от точки D₁ до прямой MN, если известно, что ребро куба равно 12.

а) Обозначим за F точку пересечения MN и BD. Очевидно, BF — биссектриса угла MBN. Пусть ребро куба равно 6x, тогда тогда Тогда откуда Кроме того,

По теореме косинусов в треугольнике BNF получаем

откуда

Рассмотрим теперь треугольник Проведем в нем через точку F прямую, параллельную (очевидно, она лежит в данной плоскости). Пусть она пересечет сторону в точке K. Тогда

б) Вычисления пункта а) остаются в силе, Опустим перпендикуляры на MN из точек D и Очевидно, они упадут в одну точку, по теореме о трех перпендикулярах. Обозначим эту точку за T. Тогда Найдем DT. Очевидно,

Значит,

Ответ:

При поиске BF можно было воспользоваться формулой нахождения биссектрисы треугольника.

На ребрах NN₁ и KN куба KLMNK₁L₁M₁N₁ отмечены такие точки P и Q, что Через точки M₁, P, Q проведена плоскость.

а) Докажите, что плоскость делит объем куба в отношении 61 : 89

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости сечения, если ребро куба равно 3.

а) Очевидно поэтому сечение — трапеция Пусть ребро куба равно Вычислим объем одной из частей.

по формуле объема усеченной пирамиды. Значит,

откуда и следует нужный ответ.

б)

В трапеции высота равна Это заодно равно высоте треугольника

Тогда получаем

Ответ: б)

б) Найдите расстояние между прямыми A₁O₁ и B₁O₂ , если ребро куба равно 1.

а) Заметим, что прямая A₁O₁ лежит в плоскости ACA₁C₁, при этом точки B₁ и O₂ не лежат в этой плоскости, то есть прямая B₁O₂ не лежит в плоскости ACC₁A₁ и не параллельна ей (B₁ и O₂ лежат в разных полупространствах относительно этой плоскости). Следовательно, прямая B₁O₂ пересекает плоскость ACC₁A₁. Покажем, что точка их пересечения не лежит на прямой A₁O₁, из этого будет следовать, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ — скрещивающиеся.

б) Введём систему координат с центром в точке A₁ так, что ось абсцисс направлена вдоль A₁D₁, ось ординат — вдоль A₁B₁, ось аппликат — вдоль A₁A (см. рис.). В этой системе координат: A₁(0; 0; 0), B₁(0; 1; 0), Пусть вектор

с концами на прямых O₁A₁ и B₁O₂ перпендикулярен обеим этим прямым. Тогда длина MN равна расстоянию между ними. Запишем условия перпендикулярности в виде и Имеем:

Ответ:

Укажем идею решения пункта а) методом координат, примененным при решении пункта б). Примем ребро куба за 1 (или за а), введем систему координат, найдем координаты точек А₁, В₁, О₁ и О₂, найдем уравнение плоскости А₁В₁О₁, подставим в это уравнение координаты точки О₂ и убедимся, что эта точка не лежит в данной плоскости.

Приведем решение пункта б) Андрея Белобородова без использования координат.

Рассмотрим плоскость СB₁D₁. Эта плоскость проходит через прямую B₁O₂ и параллельна прямой A₁O₁, поскольку прямая A₁O₁ параллельна прямой CO₃, лежащей в этой плоскости. Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми B₁O₂ и A₁O₁ равно расстоянию от любой из точек прямой A₁O₁ до плоскости СB₁D₁.

Проведем в треугольнике O₃O₁C высоту O₁M. Заметим, что O₁M перпендикулярна B₁D₁, поскольку ее проекция O₃С₁ перпендикулярна B₁D₁. Таким образом, O₁M перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB₁D₁, следовательно, она перпендикулярна этой плоскости, и O₁M — искомое расстояние.

Здорово, что вы показываете метод координат, но можно найти расстояние между прямыми, исходя из данных, полученных в пункте а).

Прямая СО₃ параллельна А₁О₁. (При этом В₁О₂ лежит в одной плоскости с СО₃). Следовательно, расстояние между параллельным прямыми А₁О₁ и СО₃ будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми. Пусть Н середина А₁С₁. Рассмотрим треугольник А₁НО₁ и найдём высоту, проведённую из точки Н к стороне А₁О₁.

Правильно понимаем, что у вас точки O₃ и Н совпадают?

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из них до плоскости, в которой лежит другая. Но в вашем решении ищется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до некоторой параллельной ей прямой, лежащей в одной плоскости с другой из скрещивающихся прямых. Это разные расстояния.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью KLM является правильным многоугольником.

б) Найдите расстояния от точки A до плоскости KLM, если ребро куба равно 2.

а) Так как плоскость KLM пересекает рёбра AB, B₁C₁ и DD₁, она должна также пересекать рёбра C₁D₁, AD и BB₁. Назовём точки пересечения Q, R, P соответственно. Таким образом, в сечении получаем шестиугольник KPLQMR. Пусть плоскость сечения пересекает ребро AA₁ в точке S, тогда через неё проходят прямые KP и MR. Так как грани куба параллельны, то прямые KP и MQ также параллельны, следовательно, так как AK = KB = MD₁, треугольники KSA, KPB и MQD₁ равны.

Далее, с одной стороны, углы MQD, SKD и PKB равны как углы между парами параллельных прямых, с другой стороны, углы MQD и KPB равны как углы, лежащие напротив равных сторон. Следовательно, углы PKB и KPB равны, и указанные треугольники равнобедренные: BK = BP, D₁M = D₁Q, P — середина BB₁, Q — середина C₁D₁, R — середина AD. Таким образом, KP = PL = LQ = QM = MR = RK.

Заметим теперь, что KL = PQ = LM = QR = MK = RP, поэтому равнобедренные треугольники KPL, PLQ, LQM, QMR, MRK, RKP и углы шестиугольника равны. Следовательно, KPLQMR — правильный шестиугольник.

б) Рассмотрим пирамиду SAKR и запишем её объём двумя способами:

где h_A — искомое расстояние, AS = AK = AR = 1, Далее,

Ответ: б)

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость проходит через прямую A₁B₁ и середину ребра DD₁. Найти расстояние от середины ребра DC до плоскости, если ребро куба равно 4.

Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунке. Пусть М — середина ребра DD₁, K — середина ребра DC. Тогда: A₁ (4; 0; 4), B₁ (0; 0; 4), M (4; 4; 2), K (2; 4; 0).

Уравнение секущей плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0. Плоскость проходит через точки М, A₁, B₁, не лежащие на одной прямой, поэтому координаты этих точек удовлетворяют уравнению плоскости. Составим и решим систему уравнений:

Из первого и второго уравнений получим, что a = 0. Из второго: Подставив полученные результаты в третье уравнение, получим значение b:

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:

Расстояние d от точки до плоскости y + 2z − 8 = 0 ищем по формуле где x₀, y₀, z₀ — координаты точки K (2; 4; 0):

Ответ:

а) Докажите, что сечение куба плоскостью A₁BE − это равнобокая трапеция.

б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 2.

а) Прямая BE пересекает прямую в точке Прямая пересекает ребро в его середине — точке — сечение куба плоскостью

Равнобедренный треугольник подобен треугольнику KFE,

поэтому , то есть — равнобокая трапеция.

б) Вычислим стороны треугольника : и высота

Поскольку EF — средняя линия треугольника получаем:

а) Докажите, что сечение куба плоскостью D₁AE есть равнобокая трапеция.

б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.

а) Прямая AE пересекает прямую в точке Прямая пересекает ребро в его середине — точке — сечение куба плоскостью Треугольник равнобедренный, а EF его средняя линия, поэтому . Значит, − равнобокая трапеция.

б) В треугольнике имеем и высота

Поскольку EF — средняя линия треугольника получаем:

Ответ:

Аналоги к заданию № 500193: 500474 Все

Шар проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба.

а) Докажите, что сфера касается ребер в их серединах.

б) Найдите объем шара, если ребро куба равно 1.

Нетрудно решить задачу чисто геометрически (сделайте это). Мы укажем аналитический путь.

Заметим, что сфера касается ребер в их серединах. Введем обозначения так, как показано на рисунке, введем прямоугольную систему координат с центром в вершине куба А, оси направим вдоль ребер (см. рис.), и пусть центр сферы имеет координаты (x₀, y₀, z₀), а радиус сферы равен R. Тогда уравнение сферы будет

а лежащие на сфере точки A, B, D и точка касания сферы с серединой ребра удовлетворяют соответственно уравнениям:

откуда то есть

Ответ:

Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.

а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.

б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

а) Центр шара равноудален от трех плоскостей граней куба. Множество точек, равноудаленных от двух плоскостей — плоскость (биссектор двугранного угла). (на самом деле есть две такие плоскости, но нас сейчас интересуют только точки внутри куба). Поэтому нужное нам множество потенциальных центров — пересечение трех биссекторов, поэтому оно не может быть больше, чем прямая. Очевидно все точки диагонали куба подходят.

б) Пусть центры шаров лежат на а радиусы шаров Тогда откуда и

Ответ: б)

Дан куб

а) Докажите, что плоскость делит диагональ куба в отношении 1 : 2.

Б) Найдите объем пирамиды если известно, что ребро куба равно 2.

а) Возьмем плоскости и параллельные им плоскости (они сами параллельны, поскольку прямая параллельна прямой и прямая параллельна прямой AC), проходящие через вершины и Отрезки равны, параллельны и лежат своими концами на этих плоскостях, поэтому расстояния между соседними плоскостями одинаковы (и равны длине умноженной на синус угла, образуемого с этими плоскостями), а тогда любой отрезок с концами на крайних плоскостях остальные две разбивают на три равные части. В частности это относится к

Ответ:

Комментарий. Возможны и другие решения, например в пункте а легко ввести координаты, а в пункте б) достроить пирамиду до куба четырьмя пирамидами вроде объем которых легко считается.

Точки P и Q — середины рёбер AD и куба соответственно.

а) Докажите, что прямые и QB перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 4.

а) Проведём отрезок параллельный Пусть M — точка пересечения отрезков и Треугольник BMR прямоугольный с прямым углом при вершине Это следует из равенства треугольников и Значит, прямые QB и перпендикулярны. Прямые QB и PR перпендикулярны, так как прямая PR перпендикулярна плоскости Поэтому прямая QB перпендикулярна плоскости и, следовательно, прямая QB перпендикулярна прямой

б) Указанное сечение — прямоугольник Его площадь равна

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 516275: 516256 Все

Проведем прямую B1Q1 параллельно BQ. Пусть ребро куба равно a. Тогда

Покажем, что PQ1^2=PB1^2+B1Q1^2: PB1^2+B1Q1^2=2,25a^2+1,25a^2=3,5a^2=PQ1^2, следовательно, треугольник PB1Q1 прямоугольный. Тогда где прямая PB1 перпендикулярна прямой B1Q1, а значит, прямая PB1 перпендикулярна и прямой BQ. Что и требовалось доказать.

а) Докажите, что прямые B₁P и QB перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.

а) Проведём отрезок параллельный Пусть M — точка пересечения отрезков и Треугольник BMR прямоугольный с прямым углом при вершине Это следует из равенства треугольников и Значит, прямые QB и перпендикулярны. Прямые QB и PR перпендикулярны, так как прямая PR перпендикулярна плоскости Поэтому прямая QB перпендикулярна плоскости и, следовательно, прямая QB перпендикулярна прямой

б) Указанное сечение — прямоугольник Его площадь равна

Ответ: б)

б) Найдите расстояние между прямыми А₁О₁ и В₁О₂, если ребро куба равно 2.

а) Допустим, это не так. Тогда точки лежат в одной плоскости. Тогда в ней же лежат прямые, проходящие через и параллельные или, что то же самое, параллельные В частности, там лежат середины ребер AD и Они вместе с задают плоскость грани куба в которой не лежит Противоречие.

б) Введем координаты с началом в точке A и с осями направленными вдоль прямых соответственно. Тогда координаты точек будут такими: Если отложить вектор от точки то его конец T будет иметь координаты Написав уравнение плоскости, проходящей через получим Тогда расстояние от точки до этой плоскости составит

Ответ: б)

Источник