- Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
- Формула площади правильной призмы
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной призмы
- 3. Площадь правильной четырехугольной призмы
- 4. Площадь правильной шестиугольной призмы
- Примеры задач
- Ребро куба равно 3 см найдите площадь полной поверхности призмы
- Найди площадь полной поверхности куба, ребро которого равно 3 см ??
- Другие вопросы из категории
- Читайте также
- Задачи по теме «Прямая и правильная призмы»
- Основные моменты, которые стоит запомнить
- Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» — залог вашего успеха!
Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.
Формула площади правильной призмы
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.
Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.
2. Площадь правильной треугольной призмы
Основание: равносторонний треугольник.
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
«> 
«> 3. Площадь правильной четырехугольной призмы
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .
4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
| Площадь | Формула |
| основание | |
| боковая поверхность | |
| полная |
«> 
«> Примеры задач
Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:
Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.
Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:
Ребро куба равно 3 см найдите площадь полной поверхности призмы
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 
воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см 3 .
Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 2/25 исходного объёма:
По логике должно быть так: 1 см уровня жидкости содержит 94 см3 воды, следственно 27 см жидкости равно 2538 см3, разница между ними и равна обьему детали = 238.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту и выражается через сторону основания а и высоту Н формулой 
Поэтому 
а значит, при увеличении стороны а в 4 раза знаменатель увеличится в 16 раз, то есть высота уменьшится в 16 раз и будет равна 5 см.
Найди площадь полной поверхности куба, ребро которого равно 3 см ??
площадь полной поверхности куба равна 6·а²=6·9=54см²
Другие вопросы из категории
Ответ должен получится 8.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!
Читайте также
2.) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом Q. Величина угла, образованного меньшей диагональю параллелепипеда с плоскостью его основания, равна 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности этого параллелепипеда.
3.) Основанием пирамиды служит правильный треугольник со стороной 6 см; две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскостью основания; угол, образованной третьей гранью с основанием пирамиды, равен 60 градусам. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Пожалуйста, напишите все задания с подробными решениями. Заранее спасибо!
2)В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10см а сторона основания 12см.Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3)Сторона квадрата равна 4см.Точка, не принадлежащая плоскости квадрата удалена от каждой из его вершин на расстоянии 6см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости квадрата.
ндра. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большого катета.
диагонального сечения равна 10 см (ответ : 120 см2), №2 Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 24 и 10 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда,если его меньшая диагональ равна 26 ссм.(Ответ: 1248см2) №3 Диагональ боковой грани прямого параллелепипеда равна 13 см, а сторона квадрата,лежащего в основании,равна 5 см.Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.(Ответ:290 см2) ПАСИП БОЛЬШОЕ)
Основа прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник с катетом 5см и гипотенузой 13 см. Высота призмы — 8см . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Задачи по теме «Прямая и правильная призмы»
\(\blacktriangleright\) Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Тогда:
1) боковые грани представляют собой прямоугольники;
2) боковое ребро является высотой призмы.
\(\blacktriangleright\) Призма называется правильной, если она прямая и ее основания – правильные многоугольники.
Тогда:
боковые грани представляют собой равные прямоугольники.
Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна \(15\) , а диагональ основания равна \(10\sqrt2\) . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Пусть \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит квадрат и она является прямой. Тогда \(\triangle BB_1D\) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \[BB_1=\sqrt<15^2-(10\sqrt2)^2>=5.\] Так как диагональ квадрата в \(\sqrt2\) раз больше его стороны, то \[AB=\dfrac
Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция \(ABCD\) с боковой стороной, равной \(5\) , и высотой, равной \(3\) . Боковое ребро призмы равно \(2\) . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Пусть \(AB=CD=5\) . Так как трапеция описанная, то суммы противоположных сторон равны, следовательно, \(AD+BC=AB+CD=10\) . Следовательно, ее площадь равна \[S_
\(ABCA_1B_1C_1\) – правильная треугольная призма, \(AB = \sqrt[4]<3>\) , \(AA_1 = \sqrt[4]<27>\) . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac
Таким образом, площадь полной поверхности \(ABCA_1B_1C_1\) равна \[2\cdot\dfrac<3> <4>+ 3\cdot 3 = 10,5.\]
В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной \(10\sqrt3\) . Найдите объем призмы.
У квадрата все стороны равны \(\Rightarrow\) в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами, равными \(10\sqrt3\) .
Тогда площадь основания:
\(\displaystyle S_<\text<осн.>> = \frac<1><2>\cdot10\sqrt3\cdot10\sqrt3\cdot\sin 60^\circ = \frac<1><2>\cdot10\sqrt3\cdot10\sqrt3\cdot\frac<\sqrt3> <2>= 75\sqrt3\) . Высота призмы равна стороне квадрата, тогда объем призмы: \[10\sqrt3\cdot75\sqrt3 = 2250.\]
Дана правильная треугольная призма. Площадь основания равна площади одной из боковых граней и равна \(4\sqrt3\) . Найдите объем призмы.
Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники, поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим высоту призмы за \(h\) , а сторону правильного треугольника за \(x\) . Тогда найдем площадь основания:
\(\displaystyle S_<\text<осн.>> = \frac<1><2>\cdot x^2\cdot\sin 60^\circ = \frac<1><2>\cdot x^2\cdot\frac<\sqrt3> <2>= \frac<\sqrt3><4>\cdot x^2 = 4\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 16\) \(\Rightarrow\) \(x = 4\) . Высоту выразим из формулы для площади боковой грани: \(S = 4\sqrt3 = x\cdot h = 4\cdot h\) \(\Rightarrow\) \(h = \sqrt3\) . Наконец, найдем объем призмы: \[V = h\cdot S_<\text<осн.>> = \sqrt3\cdot4\sqrt3 = 12.\]
В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(DB_1=2CD\) . Найдите угол между диагоналями \(AC_1\) и \(B_1D\) . Ответ дайте в градусах.
Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат и она прямая. Следовательно, \(AD=CD\) и \(DB_1=2AD\) .
Диагонали призмы пересекаются и точкой пересечения \(O\) делятся пополам, следовательно, \(OD=\frac12DB_1=AD\) . Так как призма правильная, то диагонали равны, значит, \(AO=OD=AD\) . Следовательно, \(\triangle AOD\) правильный и \(\angle AOD=60^\circ\) . Это и есть угол между \(DB_1\) и \(AC_1\) .
В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) , все ребра которой равны \(1\) , найдите угол между прямыми \(AA_1\) и \(CB_1\) . Ответ дайте в градусах.
Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что \(BB_1\parallel AA_1\) . Следовательно, угол между \(AA_1\) и \(CB_1\) равен углу между прямыми \(BB_1\) и \(CB_1\) .
Так как все ребра призмы равны, то грань \(BCC_1B_1\) представляет собой квадрат, где \(CB_1\) – диагональ. Следовательно, \(\angle BB_1C=45^\circ\) .
Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.
При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Основные моменты, которые стоит запомнить
- Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
- Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры — равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.
Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» — залог вашего успеха!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или площадь боковой поверхности призмы прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.