Производная тангенс в кубе икс

Производная тангенса

Что такое производная тангенса

Производная тангенса рассчитывается, как отношение единицы к квадрату косинуса аналогичного аргумента.

Формула для данного определения будет записана, таким образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Вывод данной закономерности достаточно просто представить, зная смысл тригонометрического уравнения следующего порядка:

Производные геометрических определений синуса и косинуса соответствуют значениям:

Исходя из правила производной дроби, можно определить, что:

Следует принять во внимание тождество:

Далее можно упростить числитель с учетом вышеуказанного уравнения:

Таким образом, записано доказательство определения.

Производная от тангенса в квадрате

Сформулируем выражение производной тангенса угла, обратного котангенсу:

Исходя из составного правила, применим: \(u ^<2>\) получим \(2u\)

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

Можно упростить полученное выражение и записать ответ:

Производная от тангенса в кубе

Первая производная степени будет записана таким образом:

Исходя из правила, применим: \(u ^<3>\) получим \(3u^<2>\)

Действие, обратное возведению числа в степень, является извлечением корня.

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

Плюс нужно переписать функции, чтобы выполнить дифференцирование:

Согласно правилу производной частного:

С целью определения \(\frac f(x)\) необходимо записать, что производная синуса равна косинусу:

Найти \(\frac g(x)\) можно, если вспомнить, что производная косинуса является отрицательным синусом:

Далее следует использовать правило производной деления:

С помощью применения последовательности правил можно записать уравнение:

После упрощения получим ответ:

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»

Дана сложная функция: \(y = tg 2x\)

Необходимо определить производную тангенса этой функции.

Учитывая, что по определению производная тангенса представляет собой единицу, деленную на косинус в квадрате одного и того же аргумента. В связи с тем, что в условии записана сложная функция, следует дополнительно выполнить умножение на производную аргумента тангенса. В результате получим выражение: \(y’ = (tg 2x)’ = \frac<1> <\cos 2x>\cdot (2x)’ = \frac<1> <\cos 2x>\cdot 2 = \frac<2> <\cos 2x>\) .

Дана функция: y = tg^2 x. Необходимо найти производную от тангенса в квадрате.

Тангенс в данном случае представляет собой степенную функцию. Исходя из этого условия, следует взять производную по правилу:

Далее можно умножить выражение на производную тангенса: \(y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x \cdot (tg x)’ =2tg x \cdot \frac<1> <\cos^2 x>= 2\frac <\cos^2 x>= 2 \frac <\cos^3 x>\) .

Источник

Производная по-шагам

Результат

Примеры производных

• Производные от степенных функций
• Производные от сложных функций
• Производные от показательных функций
• Производные от логарифмов
• Производные от обратных тригонометрических функций
• Производная неявной функции
• Частная производная функции

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Источник

Производная тангенса: (tg x)′

Производная по переменной x от тангенса x равна единице, деленной на косинус в квадрате от x:
( tg x )′ = .

Вывод формулы производной тангенса

Применяем эти формулы и правила к производной тангенса.

.

Формула производной тангенса доказана.

Производные синуса и косинуса определены для всех значений переменной x . Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x , в которых существуют производные функций и и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
.
Таким образом, производная тангенса справедлива для всех x , кроме точек, в которых . То есть кроме точек
,
где – целое число.
С другой стороны, сама функция y = tg x определена для всех x , кроме точек
.
Поэтому производная тангенса определена на всей области определения тангенса.

Пример

Найти производные от tg 2 x , tg 3 x и tg nx .

Найдем производную от функции tg nx .
Представим эту функцию как сложную, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Заменим :
.

Подставляя вместо n значения и , получаем производные функций tg 2 x и tg 3 x :
;
.

Производные высших порядков

К сожалению, простой формулы, для производной n-го порядка от функции y = tg x , нет. Однако, если требуется найти производные высшего порядка, то процесс дифференцирования можно упростить и свести его к дифференцированию многочлена.

Для этого заметим, что производную от тангенса можно выразить через сам тангенс (через саму функцию):
.
Тем самым мы нашли дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет тангенс:
(6) .

Найдем производную второго порядка, дифференцируя уравнение (6) и применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Подставим (6):
(7) .

Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7) и применяем правило дифференцирования сложной функции. Также используем выражение (6) для первой производной:
.

Аналогичным способом находим производные четвертого и пятого порядков:

;

.

В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции тангенс, , можно представить в виде многочлена по степеням тангенса:
.
Коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:
,
где
; ;
.

Общая формула

Процесс дифференцирования можно представить одной формулой. Для этого заметим, что
.
Тогда n-я производная тангенса имеет следующий вид:
,
где .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-03-2017

Источник

Решение производных

Данный онлайн калькулятор вычисляет производную функции. Программа не только вычисляет ответ, она производит пошаговое решение. Выбирается порядок дифференцирования.
Как пользоваться калькулятором для нахождения производных онлайн:
1. Введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции: + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции.
2. Выберите порядок дифференцирования (решения производных от первого до пятого порядка включительно).
3. Нажмите кнопку — Вычислить производную.
4. Через несколько секунд внизу отобразится пошаговое решение производной с подробными комментариями.

При помощи нашего калькулятора вы можете найти производную онлайн как от элементарной функции, так и от сложной, не имеющей решения в аналитическом виде.
Калькулятор поможет найти производную функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

• : x^a

• : Sqrt[x]
• : x^(1/n)
• : a^x
• : Log[a, x]
• : Log[x]
• : cos[x] или Cos[x]
• : sin[x] или Sin[x]
• : tan[x] или Tan[x]
• : cot[x] или Cot[x]
• : sec[x] или Sec[x]
• : csc[x] или Csc[x]
• : ArcCos[x]
• : ArcSin[x]
• : ArcTan[x]
• : ArcCot[x]
• : ArcSec[x]
• : ArcCsc[x]
• : cosh[x] или Cosh[x]
• : sinh[x] или Sinh[x]
• : tanh[x] или Tanh[x]
• : coth[x] или Coth[x]
• : sech[x] или Sech[x]
• : csch[x] или Csch[е]
• : ArcCosh[x]
• : ArcSinh[x]
• : ArcTanh[x]
• : ArcCoth[x]
• : ArcSech[x]
• : ArcCsch[x]
• [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Производные

Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], . В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], , где означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Источник

Сложная функция. Производная сложной функции

Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а \(x\), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции .

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса :

В результате получим, ясное дело, \(\cos⁡x\). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» — запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» — «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс . Получим:

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус , а потом в котангенс :

Напиши теперь сам функции, где икс:
— сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\);
— сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
— сначала в логарифм по основанию \(4\) , затем в степень \(-2\).

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше — у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x )\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

Еще пример: \(y=\cos⁡<(x^3 )>\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos⁡<(x^3 )>\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos⁡<(x·x·x)>)\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin⁡<(2x+5)>\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin⁡<(2x+5)>\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, \(x^7\) – простая функция и \(ctg x\) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

\(x^7+ ctg x\) — простая,
\(x^7· ctg x\) – простая,
\(\frac\) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:
\(y=cos<⁡(sin⁡x)>\)
\(y=5^\)
\(y=arctg⁡<11^x>\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция — это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: \(y=tg⁡(log_2⁡x )\), функция \(\log_2⁡x\) – внутренняя, а — внешняя.

А в этом: \(y=\cos⁡<(x^3+2x+1)>\), \(x^3+2x+1\) — внутренняя, а — внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось — будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора «по словам» чтобы понимать, что к чему относится:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» — мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция \(y=\sin⁡(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!): \((<\sin⁡>)’=\cos⁡\).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos⁡(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от \(x^3\).

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции \(y=(\sin⁡x )^3\).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: \(x → \sin⁡x → (\sin⁡x )^3\). Значит, в данном примере внутренняя функция это \(\sin⁡x\), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» \(\sin⁡x\), то производная внешней будет \(3(\sin⁡x)^2\). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x → x^2-x → \ln⁡(x^2-x)\).
Внутренняя: \(x^2-x\). Внешняя: .
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: \(\ln⁡(x^2-x)’=\) \(\frac<1>\) .
Производная внутренней: \((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1\).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sin⁡<(\cos⁡x)>\).
Вложенность функций: \(x → \cos⁡x → \sin⁡<(\cos⁡x)>\)
Внутренняя: \(\cos⁡x\) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sin<⁡(\cos⁡x )>‘=\cos⁡<\cos⁡x>\)
Производная внутренней: \((\cos⁡x )’= -\sin⁡x\)
Имеем: \(y’=(\sin⁡<(\cos⁡x)>)’=\cos⁡<\cos⁡x>·(-\sin⁡x )=-\cos⁡ <\cos⁡x>·\sin⁡x\)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись \(\cos⁡<\cos⁡x>\) на \(\cos^2⁡x\) НЕЛЬЗЯ, так как \(\cos^2⁡x\) — это комбинация простых функций \(\cos^ 2⁡x=\cos⁡x·\cos⁡x\), а \(\cos⁡<\cos⁡x>\) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt \)
Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt\)
Внутренняя: \(x^6\) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sqrt‘=\) \(\frac<1><2\sqrt>\)
Производная внутренней: \((x^6)’= 6x^5\)
Имеем: \((\sqrt)’=\) \(\frac<1><2\sqrt>\) \(·6x^5\)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b] =x^<\frac>\). Тогда \(\sqrt=x^<\frac<6><2>>=x^3\). С учетом этого получаем:

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln⁡(x^3)\).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln⁡(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a⁡=c·\log_a<⁡b>\). И тогда функция получается \(y=\ln⁡(x^3 )=3\ln⁡x\). Отлично! Берем производную:

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^<\sin⁡(x^4+1)>\).
Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin⁡(x^4+1) → 3^<\sin⁡(x^4+1)>\)
Внутренняя: \(x^4+1\) Средняя: Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет \(3^<\sin⁡(x^4+1)>·\ln⁡3\).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, \(\sin⁡(x^4+1)’=\cos⁡(x^4+1)\).
И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3\).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg⁡(7^x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x \: → \:7^x \: → \:tg⁡(7^x)\).
Внутренняя: \(7^x\) Внешняя: \(tg⁡(7^x)\).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет: \(\frac<1><\cos^2⁡(7^x)>\) .
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: \((7^x)’=7^x·\ln⁡7\).
И перемножаем результаты:

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>\).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b] =x^<\frac>\) и преобразуем нашу функцию к виду:

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^<\frac<2><3>>\)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\). Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: . Получаем: . Тогда в нашем случае будет: \(\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>\).
Производная внутренней: \((x^5+2x-5)’=5x^4+2\).
Общий результат: \(y ‘=(\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>)’=((x^5+2x-5)^<\frac<2><3>> )’=\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>·(5x^4+2)\).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени \(a^<-n>=\) \(\frac<1>\) . Получаем:

Найти производные функций:

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

\(x → 1+x → \log_2⁡ <(1+x)>\)
\(x → 11^x → arctg⁡(11^x) \)
\(x → x^7 → 5^\)
\(x → \sin⁡x → \cos⁡(\sin⁡x)\)

Источник