Поворот куба вокруг оси

Симметрии куба, как и симметрии тетраэдра делятся на два типа — самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа мы, как и в случае тетраэдра, будем называть вращениями. Все вращения, очевидно, образуют группу, которая называется группой вращений куба. Опишем сначала строение этой группы.

Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.

В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 28). Для каждой из 6 возможностей — когда указано, какая именно грань расположена внизу, — имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы

Таким образом, получаем вращений куба. Укажем их в явном биде.

Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.

а) Оси симметрии четвертого порядка — это оси проходящие через центры противоположных граней: Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а именно вращения на углы . Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически и согласовано. Например, перестановки

отвечают поворотам вокруг оси .

б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей [1, 7], [2, 8], [3, 5], [4, 6] имеется по два нетождественных вращения на углы . Например, вращения вокруг диагонали [1, 7] определяют такие перестановки вершин куба:

Всего получаем 8 таких вращений.

в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, [1, 2], [7, 8]), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего — 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9 + 8 + 6 + 1 = 24 различных вращения. Итак, все вращения куба указаны. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей.

Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей. Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на множестве диагоналей (проверьте!). Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диагоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестановок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причемразным перестановкам соответствуют разные вращения.

Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.

Источник

Поворот куба вокруг оси Ох

Помогите! Второй день голову ломаю
Вот код. Поворачивает, но точки вычисляются не правильно, т.е. это не куб.
Посмотрите мб я проектирую неправильно, функции NewX, NewY

Поворот куба вокруг оси координат
АНАЛИЗ ТА РОЗРОБКА ПРОГРАМи ДЛЯ РИШЕНИЭ ЗАДАЧИ ОБЕРТАННЯ КУБА ВАКРУГ ОСИ ОРДИНАТ (Оли X) .

Поворот фигуры вокруг оси
Здравствуйте.Снова нужна помощь.Вот отрисовал треугольник.Нужно четыре цикла repeat чтобы полностью.

Поворот куба сначала вокруг оси y с.к. экрана потом вокруг оси x с.к. экрана
Предыстория: Я пишу 3D игру и там соответственно нужно производить поворот тела в пространстве.

Поворот вокруг оси
Верчу вокруг оси X отрезок на 45 градусов (

0.78539816339744830961566084581988 радиан) f =.

Матрицы поворота вокруг оси(ребра) куба
Здравствуйте, не могу понять как использовать матрицы поворота. Хотел сделать поворот вокруг одного.

Кватернион и поворот вокруг оси
Помогите пожалуйста, не могу понять как с кватернионом работа, чтобы совершать повороты. Голова уже.

Поворот объекта вокруг оси
Доброго времени суток, есть объект в виде круга,на нем две прозрачных области левая и правая при.

Поворот вокруг произвольной оси
Здравствуйте, пытаюсь реализовать функции поворота базиса вокруг произвольной оси, но почему-то.

Источник

Вращение фигуры в 3-х мерном пространстве

Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота равен единице.
Обычно считают, что, в отличие от матрицы перехода при повороте системы координат (базиса), при умножении на матрицу поворота вектора-столбца координаты вектора преобразуются в соответствии с поворотом самого вектора (а не поворотом координатных осей; то есть при этом координаты повернутого вектора получаются в той же, неподвижной системе координат). Однако отличие той и другой матрицы лишь в знаке угла поворота, и одна может быть получена из другой заменой угла поворота на противоположный; та и другая взаимно обратны и могут быть получены друг из друга транспонированием.

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Любое вращение в трехмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трех ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трех матриц поворота.
Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:
Вращение вокруг оси x:

Вращение вокруг оси y:

Вращение вокруг оси z:

После преобразований мы получаем формулы:
По оси Х
x’=x;
y’:=y*cos(L)+z*sin(L) ;
z’:=-y*sin(L)+z*cos(L) ;

По оси Y
x’=x*cos(L)+z*sin(L);
y’=y;
z’=-x*sin(L)+z*cos(L);

По оси Z
x’=x*cos(L)-y*sin(L);
y’=-x*sin(L)+y*cos(L);
z’=z;

Все три поворота делаются независимо друг от друга, т.е. если надо повернуть вокруг осей Ox и Oy, вначале делается поворот вокруг оси Ox, потом применительно к полученной точки делается поворот вокруг оси Oy.

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть против направления соответствующей оси. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).

Источник

Оси вращения куба ⁠

Какие повороты переводят куб в себя, и сколько их? Какими осями определяются эти повороты?

Самая очевидная ось проходит через центры противоположных граней куба. При повороте на $90^\circ$ куб переходит в себя, а после четырёх таких поворотов оказывается в исходном положении. Осей четвёртого порядка у куба $3$: столько же, сколько пар противоположных граней.

Менее очевидно, что у куба есть ось второго порядка — ось, проходящая через середины противоположных рёбер куба. Таких осей всего $6$.

Ну и совсем уже неочевидно на первый взгляд, что у куба есть оси вращения третьего порядка. Это диагонали куба.

Существование таких осей становится очевидным, если вспомнить, что в куб ⁠ ⁠ можно ⁠ ⁠ вписать правильный тетраэдр.

Каждый тип поворота можно представить как отдельную модель с закреплённой в плоскости осью (под соответствующим углом) и кубом, вращающимся на соответствующие этой оси углы.

Перечислены все вращения, переводящие куб в себя, — других нет. А совокупность всех поворотов многогранника образует группу: любые два последовательно сделанные поворота являются каким-то из уже представленных поворотов. Попробуйте понять, что будет композицией двух поворотов относительно каких-то несовпадающих осей, поворотом вокруг какой оси и на какой угол. Количество различных поворотов, переводящих куб в себя — порядок группы — равно $24.$

Вместе с тождественным это $3$ поворота на $90^\circ$ вокруг каждой из $3$ осей четвёртого порядка (а четвёртый поворот — уже тождественное преобразование), по $2$ поворота на $120^\circ$ вокруг $4$ осей третьего порядка и повороты на $180^\circ$ вокруг $6$ осей второго порядка: $1+3\cdot3+4\cdot 2+6\cdot1=24$. Заметим, что $24=4!$ — количество перестановок четырёх предметов, так как каждому повороту куба соответствует перестановка на множестве его диагоналей.

Источник

Поворот куба сначала вокруг оси y с.к. экрана потом вокруг оси x с.к. экрана

Предыстория:
Я пишу 3D игру и там соответственно нужно производить поворот тела в пространстве. нужно делать 2 поворота по горизонтали и по вертикали. Вот так должно быть , а сейчас у меня происходит вот так т.е. вращение происходит по углам Эйлера, а не так как я хочу.
Это происходит потому что я произвожу 2 поворота

Код
Matrix.rotateM(mMVPMatrix, 0, yAngle, 0, 1, 0);
Matrix.rotateM(mMVPMatrix, 0, xAngle, 1, 0, 0);
Это код на java opengl es 2.0 . суть в том что я сначала поворачиваю на угол yAngle вокруг оси <0 1 0>а потом вокруг на угол xAngle вокруг оси

Вопрос как сделать так чтобы оба поворота были вокруг осей неподвижной системы координат экрана, а не так что один вокруг неподвижной а второй вокруг с.к. объекта ?

Прямоугольник, вращающийся на плоскости экрана вокруг своей оси
Изобразить на экране прямоугольник, вращающийся в плоскости экрана вокруг своего центра

Изобразить равнобедренный треугольник, вращающийся вокруг своей высоты, расположенной параллельно вертикальной оси экрана
Доброго времени суток, уважаемые пользователи нашего форума! Никак не могу сообразить, сделать.

Поворот вокруг оси
Верчу вокруг оси X отрезок на 45 градусов (

0.78539816339744830961566084581988 радиан) f =.

Источник

О геометрических преобразованиях и его приложениях (самосовмещения многогранников)

Дата публикации: 10.02.2016 2016-02-10

Статья просмотрена: 582 раза

Библиографическое описание:

Устаджалилова, Х. А. О геометрических преобразованиях и его приложениях (самосовмещения многогранников) / Х. А. Устаджалилова, Наргиза Акбарова, Дилшод Султанов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 3.1 (107.1). — С. 16-18. — URL: https://moluch.ru/archive/107/26023/ (дата обращения: 25.02.2022).

Как практическое применение вопроса о геометрических преобразованиях и совершенствование знаний, умений и навыков учащихся применять теоретические знания мы предлагаем рассмотреть материал о поворотах правильных многогранников.

Построение правильных многогранников на чертеже развивает не только конструктивные умения и навыки, но и развивает пространственное воображение, умение пропорционально откладывать на чертеже соответствующие элементы многогранника, а также научиться описывать все повороты и другие преобразования многогранников.

Рассмотрим построение всех правильных многогранников и описание всех поворотов, при которых многогранник совмещается со своим первоначальным положением.

Правильный n-угольник на плоскости- n-угольник, у которого равны все стороны и все углы- существует для любого n: если указать на плоскости точку О (центр) и А1 (одну из вершин), то поворотами на углы кратные 180º/ n вокруг точки О из А1 получатся все остальные вершины А2,…,Аn правильного n-угольника с центром О. Но в пространстве существует лишь конечное число различных правильных многогранников.

Со времен Платона и Евклида хорошо известно, что существует ровно пять типов правильных многогранников, докажем этот факт. Пусть все грани некоторого многогранника — правильные n-угольники и k-число граней, примыкающих к вершине (оно одинаково для всех вершин). Рассмотрим вершину А нашего многогранника. Пусть М1,М2,…,Мk— концы k выходящих из нее ребер; поскольку