Полный куб суммы формула

Как использовать куб суммы (a + b) 3

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители — применение формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула куба суммы.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Формула куб суммы не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3

Как возвести в куб многочлен

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен.

Используем формулу куба суммы. Только вместо « a » у нас будет « x », а вместо « b » будет « 2y ».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Применение куба суммы для разложения многочлена на множители

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба суммы.

Обратите внимание, что многочлен « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 », только вместо « a » стоит « m », а на месте « b » стоит « n ».

Используем для многочлена « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » формулу куба суммы.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Представим многочлен « 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » в виде « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Обратим внимание, что « 27x 3 » — это « (3x) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 3x ».

Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 8 ». Вспомним, что « 8 » — это « 2 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 2 ».

Рассмотрим одночлены посередине « 54x 2 » и « 36x ». При сравнении многочлена с кубом суммы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.

Преобразуем одночлены « 54x 2 » и « 36x » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 3x », а « b » — это « 2 ».

Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.

Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 54x 2 » и « 36x ».

• 54x 2 = 3 · (3x) 2 · 2 = 3 · 9x 2 · 2 = 27x 2 · 2 = 54x 2 (верно)
• 36x = 3 · 3x · (2) 2 = 3 · 3x · 4 = 9x · 4 = 36x (верно)

После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » является правой частью формулы куба суммы
« (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Используем формулу куба суммы и решим пример до конца.

Источник

Куб суммы и разности двух выражений

Формула куба суммы

$$ = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = $$

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

$$ = a(a^2-2ab+b^2 )-b(a^2-2ab+b^2 ) = a^3-2a^2 b+ab^2-a^2 b+2ab^2-b^3 = $$

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Не забывайте о втором и третьем слагаемом в формулах куба двучленов!

Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

а) $ (x+5)^3 = x^3+3\cdot x^2\cdot5+3\cdot x\cdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125$

б) $ (9-z)^3 = 9^3-3\cdot9^2\cdot z+3\cdot9\cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3 $

в) $(5b-3c)^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 =$

г) $(2mk+1)^3 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 =$

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3-(a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot2^2-2^3 )= $

б) $(x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2\cdot3y+3x\cdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 =$

в) $(x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) =$

$= x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3$

$-(k^3+3k^2\cdot3m+3k\cdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- $

$-k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3 $

Пример 3. Найдите значение выражения:

a) $a^3-b^3-3ab(a-b)$ при a = -7 и b = -17

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

Подставляем: $(-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000$

б) $3ab(a+b)+a^3+b^3$ при a = -3 и b = 13

$ 3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = $

Подставляем: $(-3+13)^3 = 10^3 = 1000$

Пример 4. Решите уравнение:

$1-3\cdot4x+3\cdot(4x)^2-(4x)^3+48\cdot \frac<4> <3>x^3-48x^2 = 0 $

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

Рассмотрим куб со стороной (a+b) и вписанный в один из его углов куб со стороной b.

Объемы кубов $V_ = (a+b)^3,V_b = b^3$ Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного оранжевым цветом: $V_ <ор>= a(a+b)^2$

Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного синим: $V_ <син>= b(a+b)^2$

Источник

Сумма кубов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – сумма кубов, с помощью которой выполняется раскладывание выражения на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Формула суммы кубов

Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Полный квадрат разности выглядит так: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.

Формула справедлива и справа-налево:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Примечание: a 3 + b 3 ≠ (a + b) 3

Доказательство формулы

Убедиться в правильности выражения можно, просто перемножив скобки, соблюдая правила арифметики при их раскрытии. Давайте так и сделаем:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + a 2 b – ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Примеры задач

Задание 1
Разложите на множители выражение: 6 3 + (4x) 3 .

Решение
6 3 + (4x) 3 = (6 + 4x)(6 2 – 6 ⋅ 4x + (4x) 2 ) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16x 2 )

Задание 2
Разложите выражение на произведение множителей: (7x) 3 + (3y 2 ) 3 .

Решение
(7x) 3 + (3y 2 ) 3 = (7x + 3y 2 )((7x) 2 – 7x ⋅ 3y 2 + (3y) 2 ) = (7x + 3y 2 )(49x 2 – 21xy 2 + 9y 2 )

Задание 3
Представьте выражение 64x 3 + 125 в виде суммы кубов и разложите его на множители.

Решение
64x 3 + 125 = (4x) 3 + 5 3 = (4x + 5)((4x) 2 – 4x ⋅ 5 + 5 2 ) = (4x + 5)(16x 2 – 20x + 25)

Источник

Куб суммы: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, позволяющую разложить куб суммы на множители, а также, подробно разберем пример решения задачи.

Формула куба суммы

Куб суммы слагаемых a и b равняется кубу a плюс утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a плюс куб b .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Формула равносильна и в обратном порядке:

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3

Доказательство формулы

Куб числа/выражения – это его возведение в третью степень. Давайте представим наше выражение в виде куба:
(a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) .

Перемножаем скобки с учетом арифметических правил:
(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата суммы:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Пример

Чему равен куб суммы (5x + 7y) 3 ?

Решение
Используем формулу сокращенного умножения:
(5x + 7y) 3 = (5x) 3 + 3 ⋅ (5x) 2 ⋅ 7y + 3 ⋅ 5x ⋅ (7y) 2 + (7y) 3 = 125x 3 + 525x 2 y + 735xy 2 + 343y 3

Проверка
Выполним перемножение трех одинаковых скобок:
(5x + 7y) 3 = (5x + 7y)(5x + 7y)(5x + 7y) = (5x + 7y)(5x + 7y) 2 = (5x + 7y)(25x 2 + 70xy + 49y 2 ) = 125x 3 + 350x 2 y + 245xy 2 + 175x 2 y + 490xy 2 + 343y 3 = 125x 3 + 525x 2 y + 735xy 2 + 343y 3

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Куб суммы. Куб разности.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Формулы сокращённого умножения.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

(a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

a 3 + 2a 2 b + b 2 a + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».

Аналогично докажем формулу «куб разности».

(a – b) 3 = (a – b) 2 (a – b) =(a 2 – 2ab + b 2 )(a – b)

Применив правило умножения многочленов, получим:

a 3 – 2a 2 b + b 2 a – a 2 b + 2ab 2 – b 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Доказано равенство, которое называют «куб разности»:

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».

Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

(a + 3) 3 = a 3 + 3a 2 · 3 + 3a · 3 2 + 3 3 = a 3 + 9a 2 + 27a + 27.

(10 – a) 3 =10 3 – 3 · 10 2 a + 3 · 10 · a 2 – a 3 = 1000 – 300a + 30a 2 – a 3 .

Упростите: x 3 + 3x(x + 4) – (x + 2) 3

x 3 + 3x 2 + 12x – (x 3 + 6x 2 + 12x + 8) =

Источник

Формулы сокращённого умножения

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

Неполный квадрат суммы

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Источник