Пирамиду по математике куб

Конспект урока математики «Куб, пирамида. Вершины, грани, ребра» (УМК «Школа России» ,4 класс)
план-конспект урока по математике (4 класс)

Цели деятельности учителя: ознакомление с новым геометрическим телом «пирамида»; ознакомление с вершинами, гранями и ребрами пирамиды.

Планируемые результаты:

· знать: определение понятия «пирамида» ; количество вершин, граней, ребер.

· уметь: показывать на рисунках вершины, грани, ребра.

· способствовать развитию интереса к письму, формированию мотивационной основы учебной деятельности;

· проводить самооценку своих действий;

· развивать умение наблюдать, сравнивать, делать выводы.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Дата: 21 .04.2020 г. ФИО учителя: Шабалина М.Г.

Школа: МОУ Уйско-Чебаркульская СОШ ФИ студента: Бобровникова А.,45гр.

Класс: 4 ФИО методиста: Андреева Т.С.

Конспект урока по математике

Тема урока: «Куб. Пирамида. Вершины, грани, ребра.»

Цели деятельности учителя : ознакомление с новым геометрическим телом «пирамида»; ознакомление с вершинами, гранями и ребрами пирамиды.

• знать: определение понятия «пирамида» ; количество вершин, граней, ребер.
• уметь: показывать на рисунках вершины, грани, ребра.

• способствовать развитию интереса к письму, формированию мотивационной основы учебной деятельности;
• проводить самооценку своих действий;
• развивать умение наблюдать, сравнивать, делать выводы.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Оборудование: учебная презентация; раздаточный материал.

I.Этап самоопределения к деятельности

— Здравствуйте, ребята. Садитесь правильно. Сейчас у нас будет урок математики.

— Запишите в тетрадях сегодняшнее число, классная работа.

И решай всё так как нужно:

Быстро, правильно и дружно!

Готовят рабочее место. Настраиваются на работу.

К: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

II. Актуализация знаний и фиксирование затруднений

— Сегодня на уроке нас с вами ожидает интересное открытие в мире геометрических пространственных фигур.

— Можете назвать многогранники? Какие фигуры не являются многогранниками? Почему?

— Назовите известные вам многогранники

-Сколько граней имеют куб и параллелепипед?

-Какую форму имеет каждая грань?

-Сколько ребер выходит из каждой его вершины?

Отвечают на вопросы учителя

Куб, прямоугольный параллелепипед

К: умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

III. Постановка учебной задачи, целей урока

— Уточните, какое задание мы выполняли на прошлом уроке?

-У нас все получилось? Почему?

— Поставим перед собой цель на сегодняшний урок.

Пытались изготовить модели геометрических фигур

Нет, потому что некоторые фигуры мы не знали

Изучить новую геометрическую фигуру.

П.: рассуждение по теме урока в соответствии с возрастными нормами.

Р.: определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата.

IV. Открытие нового знания

-Сейчас вам нужно будет решить правильно примеры и расположить ответы в порядке возрастания.

-Если у вас все получится, то вы узнаете , о какой фигуре мы сегодня будем говорить.

“Пирамида” — слово греческого происхождения, означает “костер”, “огонь”.

-Важным и интересным семейством многогранником являются пирамиды.

— Кто из вас встречал или видел подобные фигуры?

У пирамиды различают боковые грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине и основание — многоугольник, противолежащий этой вершине. В основании пирамиды может лежать многоугольник с любым количеством сторон. Называют пирамиду по числу сторон ее основания: треугольная, четырехугольная, шестиугольная и т.д.

П — 6 И — 20 000 Р — 140 А — 640 М — 1000 И — 514 Д — 89500 А – 80

На уроках истории (пирамида Хеопса), в архитектуре; различные сувениры.

Р.: саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию и преодолению препятствий.

П.: поиск и выделение необходимой информации.

V. Первичное закрепление во внешней речи

Наглядный: учебник, учебная презентация.

-Сейчас перед вами представлена модель простейшей пирамиды и мы будем работать с ней.

-Какую форму имеют грани простейшей пирамиды? (показываю грани)

— Сколько граней у этой пирамиды?

-Сколько ребер у пирамиды? (я показываю, дети считают)

-Сколько боковых ребер у пирамиды?

-Сколько вершин? (я показываю)

-Сколько ребер выходит из каждой вершины?

-Каждую грань можно считать основанием. Ни у одного многогранника не может быть меньшего числа граней, вершин или ребер, чем у треугольной пирамиды.

-Посмотрите на рисунки и скажите, чем отличается пирамида от прямоугольного параллелепипеда.

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни вершиной вниз.

И вновь глазами ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води.

Теперь следи горизонтально,

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась. Ты молодец!

Записывают в тетрадь в таблицу сходства и отличия.

К.: высказывать суждения с помощью математических терминов и понятий.

VI. Этап самостоятельной работы и с проверкой по эталону

Практический: работа в тетради.

-Выполните самостоятельно №211,212 в рабочей тетради.

-Проверьте по эталону на слайде и оцените себя.

Р.: определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата.

П.: структурирование знаний.

VII. Включение в систему знаний

-Сейчас я вам раздам листочки с заданием.

-После выполнения задания дежурный соберет листочки и отдаст мне.

1)Число вершин пирамиды на _______________ больше числа вершин в ее основании.

2)Ребер боковых граней _________________, сколько их в основании.

3)Число боковых граней _________________ числу сторон основания.

К.: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

VIII. Рефлексия деятельности

— Сейчас мы с вами закончим предложение: «На уроке мне . »

— Используем такие варианты ответа как:

— Молодцы. Мне урок тоже понравился, Вы были активными, с удовольствием выполняли все задания и получали новые знания.

— Как вы думаете. Каких ребят мы можем оценить за этот урок? Кому мы можем поставить отметку?

— Полностью согласна. Спасибо вам за урок. До свидания!

Анализирует свою деятельность на уроке

П.: рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности .

Задания, разработанные для дистанционного обучения:

1. Для данного урока детям был отправлен видеофрагмент с объяснением темы.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока по окружающему миру (история) «Преобразования в России. Россия при Петре I. Царь-плотник. Город на Неве.» 4 класс

Данный конспект урока будет полезен учителям начальных классов.

Конспект урока по окружающему миру, тема: «Золотое кольцо России. Плёс, Суздаль, Владимир» (3 класс, УМК «Школа России»)

Цель деятельности учителя: ознакомление обучающихся с интересными городами нашей Родины и некоторыми её достопримечательностями.Планируемые результаты:Предметные:-уметь находить на карте города Золото.

Конспект урока окружающего мира на тему «Трудовой фронт России», 4 класс, УМК «Школа России» + презентация

Цели деятельности учителя: формирование у обучающихся представлений об истории Трудового фронта России; ознакомление с изменениями, которые произошли в России и Челябинской области.Планируемые результ.

Конспект урока по окружающему миру. Тема: «Золотое кольцо России» (УМК «Школа России» 3 класс.)

Цели деятельности учителя: формирование знаний о древних городах, которые образуют Золотое кольцо России; формирование умений показывать на карте города, которые входят в Золотое кольцо России.Планиру.

Конспект урока окружающего мира по теме «Золотое кольцо России» (УМК «Школа России», 3 класс)

Цели деятельности учителя: формирование знаний о городах, входящих в «Золотое кольцо России» и их достопримечательностях.Планируемые результаты»Предметные:Знать названия городо.

Конспект урока по окружающему миру. Тема: Проект «Города России» (УМК «Школа России», 2 класс).

Цели деятельности учителя:формирование знаний обучающихся огородах России.Планируемые результаты:Предметные:-знать особенности городов России; -уметь анализировать и делать выводы.Личностные:-при.

Конспект урока по окружающему миру. Тема: «Золотое кольцо России». (УМК «Школа России», 3 класс). 1 часть.

Цели деятельности учителя: формирование знаний о древних городах, которые образуют Золотое кольцо России; формирование умений показывать на карте города, которые входят в Золотое кольцо России.Планиру.

Источник

Пирамиду по математике куб

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Площадь полной поверхности: $S_<п.п>=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R=/<2>$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/<2>$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Источник

Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.

. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Мы помним, что объем параллелепипеда равен . А объем пирамиды равен . Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

. Объем куба равен . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в раз меньше, чем у куба.

. Радиусы трех шаров равны , и . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен . Осталось решить уравнение:

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны , а объем равен .

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
. Она равна . Поскольку ,
высота равна .

. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом градусов. В ответе укажите .

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол .

Из прямоугольного треугольника находим, что . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на .
Ответ: .

. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами , а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом градусов.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
.

Итак, площадь основания равна . Осталось найти высоту.

Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
.

. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы , и градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали на нижнее основание будет отрезок . Пусть диагональ образует угол градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора, . Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией на переднюю грань будет отрезок .
Из прямоугольного треугольника найдем . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок ) находится аналогично. Она тоже равна . Объем параллелепипеда равен .

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно . Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что — основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен . В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна . Тогда объем пирамиды равен .

. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен . Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в раз меньше, чем у шестиугольной.

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» — не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты 🙂

. Середина ребра куба со стороной является центром шара радиуса . Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

Обратите внимание, что . Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

. Вершина куба со стороной является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

. Объем треугольной пирамиды равен . Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении , считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых и .

Плоскость делит пирамиду на две. У пирамид и общее основание . Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры и к плоскости основания пирамиды. — высота пирамиды ABC\mkern -2muS , — высота пирамиды . Очевидно, что отрезок параллелен отрезку , поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки и лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Значит, . Объем пирамиды равен объема пирамиды .

. Ребра тетраэдра равны . Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок параллелен (поскольку является средней линией треугольника . И отрезок тоже параллелен , потому что является средней линией треугольника . Значит, параллелен . Аналогично параллелен . Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, — ромб, все стороны которого равны . Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка ) проецируется в центр основания (точка ). В основании — правильный треугольник. Значит, точка будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда перпендикулярен .

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. является проекцией на плоскость основания, следовательно, отрезок тоже перпендикулярен . И тогда — квадрат. Его площадь равна .

А теперь — самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

. Объем тетраэдра равен . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной , в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: .

. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен , но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их и . Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды . Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — , , и . А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды равен объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды равен объема параллелепипеда.

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены — от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Источник