Пары пересекающихся плоскостей в кубе abcda1b1c1d1

Укажите пары перпендикулярных плоскостей в каждой из фигур и обоснуйте?

Укажите пары перпендикулярных плоскостей в каждой из фигур и обоснуйте.

Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.

1) В кубе все боковые грани перпендикулярны верхнему и нижнему основанию

2) В треугольной пирамиде : ABP перпендикулярна основанию и PBC также

3) В четырехугольной пирамиде : PBD перпендикулярна основанию.

Дан куб ABCDA1B1C1D1?

Укажите перпендикулярные плоскости.

В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите плоскости перпендикулярные прямой AB?

В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите плоскости перпендикулярные прямой AB.

Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Опредление прямой, перпендикулярной плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Двухгранный угол(определение, рисун, минимальный угол).

Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

Даны две перпендикулярные прямые a и b и плоскость альфа?

Даны две перпендикулярные прямые a и b и плоскость альфа.

Возможно ли, что а) одна из прямых параллельна плоскости, а другая перпендикулярна плоскости?

Б)обе прямые перпендикулярны плоскости?

Выберете верное утверждение : 1) Если каждая из двух прямых в пространстве перпендикулярна третьей прямой, то эти две прямые паралельны 2)Если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскос?

Выберете верное утверждение : 1) Если каждая из двух прямых в пространстве перпендикулярна третьей прямой, то эти две прямые паралельны 2)Если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости , то эти две плоскости паралельны.

3) Если каждая из двух плоскостей перпендикулярна прямой , то эти две плоскости паралельны.

4) Если каждая из двух прямых паралельна плоскости, то эти две прямые паралельны.

Через каждую из диагоналей ромба проведена плоскость, перпендикулярная второй его диагонали?

Через каждую из диагоналей ромба проведена плоскость, перпендикулярная второй его диагонали.

Доказать, что эти плоскости перпендикулярны.

Отметьте верные утверждения : а) перпендикуляр проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к прямой их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости?

Отметьте верные утверждения : а) перпендикуляр проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к прямой их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости.

Б) Через данную прямую, не перпендикулярную данной плоскости, можно провести бесконечное число плоскостей, перпендикулярных данной.

В) Через данную прямую, перпендикулярную данной плоскости, можно провести бесконечное число плоскостей, перпендикулярных данной.

Г) Плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.

Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким — нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким — нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Укажите пары перпендикулярных плоскостей в каждой из фигур и обоснуйте?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Ответ : Угол между векторами равен arccos(0, 316) ≈ 71, 58°. Объяснение : Угол α между векторами a и b вычисляется по формуле : cosα = (Xa * Xb + Ya * Yb) / [√(Xa² + Ya²) * √(Xb² + Yb²)]. В нашем случае : скалярное произведение Xa * Xb + Ya * Yb = ..

Источник

Пары пересекающихся плоскостей в кубе abcda1b1c1d1

б) Найдите расстояние между прямыми A₁O₁ и B₁O₂ , если ребро куба равно 1.

а) Заметим, что прямая A₁O₁ лежит в плоскости ACA₁C₁, при этом точки B₁ и O₂ не лежат в этой плоскости, то есть прямая B₁O₂ не лежит в плоскости ACC₁A₁ и не параллельна ей (B₁ и O₂ лежат в разных полупространствах относительно этой плоскости). Следовательно, прямая B₁O₂ пересекает плоскость ACC₁A₁. Покажем, что точка их пересечения не лежит на прямой A₁O₁, из этого будет следовать, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ — скрещивающиеся.

б) Введём систему координат с центром в точке A₁ так, что ось абсцисс направлена вдоль A₁D₁, ось ординат — вдоль A₁B₁, ось аппликат — вдоль A₁A (см. рис.). В этой системе координат: A₁(0; 0; 0), B₁(0; 1; 0), Пусть вектор

с концами на прямых O₁A₁ и B₁O₂ перпендикулярен обеим этим прямым. Тогда длина MN равна расстоянию между ними. Запишем условия перпендикулярности в виде и Имеем:

Ответ:

Укажем идею решения пункта а) методом координат, примененным при решении пункта б). Примем ребро куба за 1 (или за а), введем систему координат, найдем координаты точек А₁, В₁, О₁ и О₂, найдем уравнение плоскости А₁В₁О₁, подставим в это уравнение координаты точки О₂ и убедимся, что эта точка не лежит в данной плоскости.

Приведем решение пункта б) Андрея Белобородова без использования координат.

Рассмотрим плоскость СB₁D₁. Эта плоскость проходит через прямую B₁O₂ и параллельна прямой A₁O₁, поскольку прямая A₁O₁ параллельна прямой CO₃, лежащей в этой плоскости. Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми B₁O₂ и A₁O₁ равно расстоянию от любой из точек прямой A₁O₁ до плоскости СB₁D₁.

Проведем в треугольнике O₃O₁C высоту O₁M. Заметим, что O₁M перпендикулярна B₁D₁, поскольку ее проекция O₃С₁ перпендикулярна B₁D₁. Таким образом, O₁M перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB₁D₁, следовательно, она перпендикулярна этой плоскости, и O₁M — искомое расстояние.

Здорово, что вы показываете метод координат, но можно найти расстояние между прямыми, исходя из данных, полученных в пункте а).

Прямая СО₃ параллельна А₁О₁. (При этом В₁О₂ лежит в одной плоскости с СО₃). Следовательно, расстояние между параллельным прямыми А₁О₁ и СО₃ будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми. Пусть Н середина А₁С₁. Рассмотрим треугольник А₁НО₁ и найдём высоту, проведённую из точки Н к стороне А₁О₁.

Правильно понимаем, что у вас точки O₃ и Н совпадают?

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из них до плоскости, в которой лежит другая. Но в вашем решении ищется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до некоторой параллельной ей прямой, лежащей в одной плоскости с другой из скрещивающихся прямых. Это разные расстояния.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA = 8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

а) Пусть плоскость α пересекает сторону основания АВ в точке М. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, она параллельна и прямой AD, а значит, прямые NM и AD параллельны. Тогда четырёхугольник DNMA — прямоугольник, поэтому точка М делит сторону АВ в том же отношении, что точка N делит сторону DC.

б) Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым, в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между этими параллельными плоскостями.

Пусть Р — середина AD, H — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP. Кроме того, HT перпендикулярна AD и, следовательно, плоскости SDA, а вместе с ней α. Плоскость α пересекает ребро SB в точке L, причем, KL || BC. R — точка пересечения KL и SH, таким образом, QR — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR —параллельны, а расстояние между ними равно искомому расстоянию между плоскостями SDA и α.

Заметим, что PH = AB = 4. В треугольнике SAP: Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть четверть высоты HT:

Ответ: б)

Примечание: высота HT равнобедренного треугольника SPH может быть найдена проще. Высота этого треугольника проведенная к основанию PH есть высота пирамиды соединяющая вершину с центром основания, значит, Тогда

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковове ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

а) Пусть плоскость α пересекает стороны SB и AB в точках L и M соответственно. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, прямые KL и BC параллельны. Следовательно,

что и требовалось доказать.

б) Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между этими параллельными плоскостями.

Пусть Р — середина AD, H — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP. Кроме того, HT перпендикулярна AD и, следовательно, плоскости SDA, а вместе с ней α. Плоскость α пересекает ребро SB в точке L, причем, KL || BC. R — точка пересечения KL и SH, таким образом, QR — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR —параллельны, а расстояние между ними равно искомому расстоянию между плоскостями SDA и α.

Заметим, что PH = AB = 8. В треугольнике SAP:

Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть одна восьмая высоты HT:

Ответ: б)

Высота HT равнобедренного треугольника SPH может быть найдена проще. Найдем высоту h этого треугольника, проведенную к основанию PH, то есть высоту пирамиды, соединяющую вершину с центром основания:

Аналоги к заданию № 526340: 526536 Все

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

а) Пусть плоскость пересекает ребро SB в точке N. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SBA по прямой, параллельной SA. Тем самым, прямые KN и SA параллельны, треугольники NBK и SBA подобны, а что и требовалось доказать.

б) Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что Из равенства следует, что LK и CB параллельны.

Пусть, далее, H — середина ВC. Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.). Прямая SA параллельна плоскости α, поэтому искомое расстояние от прямой SA до прямой КМ равно расстоянию между параллельными прямыми SA и QR.

Из подобия треугольников ALK и ABC получаем: Треугольники QHR и SHA также подобны, а тогда плоскость сечения делит высоту HT треугольника SHА в том же отношении 2 : 7, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SA и KM равно

Найдем длины сторон треугольника SHА: Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора, из треугольников AHT и SHT получаем: Тогда:

Найденная длина отрезка AT превосходит длину ребра AS. Это означает, что точка T лежит на продолжении ребра SA за точку S (см. рис.). Это не меняет справедливости вычислений. Итак,

откуда находим

Ответ: б)

Приведем другое решение пункта б).

Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что Из равенства следует, что LK и CB параллельны.

Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.), причем QR || SA, поскольку плоскость α параллельна SA.

Проведем в плоскости SHА перпендикуляр RP к прямой SA. Прямая RP ⊥ QR, поскольку QR || SA. Прямая RP ⊥ LK, поскольку ее проекция RA ⊥ LK. Следовательно, прямая RP перпендикулярна плоскости α, тогда RP — расстояние от прямой SA до плоскости α. Это расстояние равно расстоянию между скрещивающимися прямыми SA и KM.

Заметим, что AR : RH = AK : KB = 2 : 7, поскольку прямые LK и CB параллельны.

Тогда

Заметим, что где O —основание высоты пирамиды, тогда

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA₁.

а) Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.

а) Проведем (см. рис. 1), тогда — проекция на плоскость Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах, прямые и BM взаимно перпендикулярны.

Докажем (*). Заметим (см. рис. 2), что треугольники MAB и равны. Повернём на угол по часовой стрелке и совместим точку B с точкой Сторона AM совместится со стороной HB, а сторона AB — со стороной Поскольку после поворота на стороны MB и совместились, до поворота угол между ними был равен

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Заметим, что и (из п. а), следовательно, а тогда K — проекция MB на плоскость Проекцией прямой на плоскость является сама прямая Осталось найти расстояние от K до

В треугольнике MAB находим Тогда в треугольнике HKB имеем: Треугольники и подобны (см. рис. 3), поэтому откуда

Ответ:

Докажем (*), не используя поворот и сдвиг.

В силу равенства треугольников MAB и углы MBA и равны. Поэтому сумма острых углов треугольника HKB равна сумме острых углов прямоугольного треугольника равны. Следовательно, треугольник HKB также прямоугольный.

Источник