Оси симметрии куба это

Симметрии куба, как и симметрии тетраэдра делятся на два типа — самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа мы, как и в случае тетраэдра, будем называть вращениями. Все вращения, очевидно, образуют группу, которая называется группой вращений куба. Опишем сначала строение этой группы.

Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.

В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 28). Для каждой из 6 возможностей — когда указано, какая именно грань расположена внизу, — имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы

Таким образом, получаем вращений куба. Укажем их в явном биде.

Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.

а) Оси симметрии четвертого порядка — это оси проходящие через центры противоположных граней: Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а именно вращения на углы . Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически и согласовано. Например, перестановки

отвечают поворотам вокруг оси .

б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей [1, 7], [2, 8], [3, 5], [4, 6] имеется по два нетождественных вращения на углы . Например, вращения вокруг диагонали [1, 7] определяют такие перестановки вершин куба:

Всего получаем 8 таких вращений.

в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, [1, 2], [7, 8]), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего — 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9 + 8 + 6 + 1 = 24 различных вращения. Итак, все вращения куба указаны. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей.

Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей. Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на множестве диагоналей (проверьте!). Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диагоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестановок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причемразным перестановкам соответствуют разные вращения.

Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.

Источник

Геометрические фигуры. Куб.

Куб или правильный гексаэдр – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты.

Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных

шестиугольников — это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям.

В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов. То есть,

сумма плоских углов у каждой вершины = 270º.

Число рёбер примыкающих к вершине – 3;

Предположим, что а – длина стороны куба, а d — диагональ, тогда:

Диагональ куба – это отрезок, который соединяет 2 вершины, которые симметричны относительно центра

Свойства куба.

4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — они проходят сквозь центр куба

перпендикулярно четырём его главным диагоналям.

В куб вписывают тетраэдр 2-мя способами. В любом из них 4-ре вершины тетраэдра всегда

совмещены с 4-мя вершинами куба и каждое из шести ребер тетраэдра принадлежат граням куба. В 1-м

случае каждая вершина тетраэдра принадлежит граням трехгранного угла, вершиной совпадающего с одной

из вершин куба. Во 2-м случае ребра тетраэдра, которые попарно скрещиваются принадлежат попарно

противоположным граням куба. Такой тетраэдр будет правильным, а его объём будет составлять треть от

В куб вписывают октаэдр, при этом все 6 вершин октаэдра совмещаются с центрами 6-ти граней

Куб вписывают в октаэдр, при этом все 8 вершин куба располагаются в центрах 8-ми граней

В куб вписывают икосаэдр, притом 6 взаимно параллельных рёбер икосаэдра располагаются на

6-ти гранях куба, следующие 24 ребра располагаются внутри куба. Каждая из 12 вершин икосаэдра

располагается на 6-ти гранях куба.

Элементы симметрии куба.

Ось симметрии куба может пролегать или сквозь середины ребер, которые

параллельны, не принадлежащих одной из граней, или сквозь точку

пересечения диагоналей противолежащих граней. Центром симметрии

куба будет точка пересечения диагоналей куба.

Сквозь центр симметрии куба проходят 9 осей симметрии.

Плоскостей симметрии у куба тоже 9, они пролегают или

через противолежащие ребра (таких плоскостей 6), или

через середины противолежащих ребер (таких 3).

Источник

Оси симметрии куба это

Куб или правильный шестигранник – это многогранник , ограниченный шестью конгруэнтными квадратными гранями . Это одно из так называемых Платоновых тел .

Куб, помимо того, что он является шестигранником, также может быть классифицирован как параллелепипед , прямой и прямоугольный (кратко ортоэдр [ 1 ] ), поскольку все его грани квадратные и параллельные два на два. Ее даже можно понять как прямую призму , основание которой представляет собой квадрат, а ее высота эквивалентна стороне основания.

Правильный шестигранник, как и остальные платоновы тела, удовлетворяет теореме Эйлера для многогранников , сформулированной в формуле C + V = A + 2, поскольку он имеет шесть граней, восемь вершин и двенадцать ребер (6 + 8 = 12 +2) .

Элементы

Грань — это каждая из квадратных областей, ограничивающих куб. Всего их шесть. У каждой пары граней есть общая сторона. Каждая грань имеет четыре других смежных грани с общими сторонами, за исключением одной, которая называется противоположной гранью . Есть три пары противоположных граней. Имеются следующие друг за другом грани , так что некоторые из их ребер являются последовательными сторонами одного и того же квадрата грани; последовательные грани, которые входят в набор из 4, заключены между двумя параллельными гранями; воображая комнату, последовательные лица были бы стенами комнаты.
Край — это общая сторона двух граней. Всего у куба двенадцать граней. Для каждого ребра есть другие ребра, параллельные, параллельные или пересекающиеся.
Вершина _ 3 грани (соответственно три ребра) имеют общую точку, называемую вершиной куба. Для всего есть восемь вершин.
Диагональ . Пусть есть две противоположные грани, которые позволяют нам определить взаимно однозначное соответствие. Из вершины первой грани проводится отрезок к противоположной вершине своего аналога на противоположной грани. Этот отрезок называется диагональю куба. Всего у куба четыре диагонали. Они разрезаются в одной точке.

Центр — это пересечение диагоналей куба. Это также центр тяжести распределения заряда поверхности равномерно. Это центр симметрии.

Измерения и симметрия

Объем

Для куба с ребром a мы можем вычислить его объем V по следующей формуле:

V знак равно а ⋅ а ⋅ а знак равно а 3 <\ Displaystyle В = а \ CDOT а \ CDOT а = а ^ <3>\,>

Площадь

А суммарную площадь его граней A (что в 6 раз больше площади одной из них, A _c ), за счет:

Рассматриваемая как призма, она имеет боковую площадь:

Длина по диагонали

Проверяется равенство d 2 = 3a 2 . Откуда

Оптимизация

Среди ортоэдров постоянной общей площади куб имеет наибольший объем. Если известна общая площадь = k, то край куба равен a = (k ÷ 6) 0,5 [ 3 ]

Симметрия

Правильный шестигранник (или куб) имеет 3 оси симметрии четвертого порядка: прямые, перпендикулярные каждой паре параллельных граней через их среднюю точку; четыре оси симметрии третьего порядка: линии, соединяющие центры противоположных вершин, 6 осей симметрии второго порядка, соединяющие центры противоположных ребер; девять плоскостей симметрии ; три параллельных каждой паре параллельных граней через середину ребер, которые их соединяют, и шесть, образованных парами противоположных ребер; и центр симметрии . Это придает этому телу полный порядок симметрии 48 : 2x (3×4 + 6×2).

Предыдущие элементы симметрии определяют одну из вторых базовых октаэдрических групп симметрии, так называемую O _h в соответствии с обозначениями Шенфлиса .

Сопряженный многогранник

Связь со сферой и октаэдром

Сферу можно вписать в любой куб, центр которого совпадает с центром куба, а его радиус равен половине ребра куба.

радиус вписанных сфер r = a ÷ 2; и объем этой сферы V _e = πa 3/6 , a = ребро куба Описанная сфера

Любой куб можно вписать в сферу так, чтобы центры тел были в одной точке. В этом случае сфера называется сферой, описанной кубу.

радиус описанной сферы R = d ÷ 2, а объем V _e = πd 3/6 , d = диагональ вписанного куба. Вписанный октаэдр

Правильный октаэдр можно вписать в куб, четыре вершины которого находятся на четырех последовательных гранях, а две другие — на противоположных гранях и перпендикулярны предыдущим.

Если а = ребро куба, то получается объем октаэдра, V = а 3 ÷ 4. [ 4 ]

Топология куба

В принципе, куб — это выпуклое твердое тело; Это означает, что относительно плоскости, которая содержит любую из своих граней, куб остается только в одном из полупространств, определяемых указанной плоскостью. Или по-другому, можно нарисовать плоскость, не содержащую ни одной точки куба, выпуклостью.

Возьмем три точки на трех ребрах, перпендикулярных одной из граней, и проведем через эти точки плоскость. Указанная плоскость при пересечении куба определяет четырехугольник. Любая точка четырехугольника называется внутренней точкой куба, а множество всех внутренних точек называется внутренней частью куба. [ 5 ]

Внутри куба нет точек какой-либо грани, и все эти точки образуют множество, называемое границей , таким образом, что объединение шести граней является границей куба.

Точка, которая не находится ни на границе, ни внутри куба, называется внешней точкой , а множество всех этих точек является внешней стороной куба. Объединение интерьера, экстерьера и границы куба равно всему пространству. Более того, эти множества не пересекаются.

Множество точек в пространстве называется открытым , если для любой точки в нем можно нарисовать сферу таким образом, чтобы сфера полностью содержалась в указанном множестве. И внутри, и снаружи куба открыты. [ 6 ]

Куб — это связная фигура, то есть одна деталь. Ну не может быть двух пустых отверстий пересечения и их объединение равно кубу.

гиперкуб

Куб в четырехмерном пространстве называется гиперкубом или тессерактом .

Источник

Гексаэдр. Куб.

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Гекса» означает шесть, «хедра» — означает грань (Гексаэдр – шестигранник).

Поэтому на вопрос — «что такое гексаэдр?», можно дать следующее определение: » Гексаэдр это геометрическое тело из шести граней, каждая их которых — правильный четырёхугольник (квадрат) «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

Гранью многогранника является квадрат. Каждый из четырех углов равен 90 градусов.

Характеристики гексаэдра (куба)

Число рёбер, примыкающих к каждой вершине — 3

У каждого ребра (красный) имеются 4 скрещивающихся с ним ребра.

Определить количество пар скрещивающихся рёбер можно умножив общее количество рёбер на 4 и разделив на 2.

Всего куб имеет 24 пары скрещивающихся рёбер.

Количество пар параллельных граней — 3

Расстояние между противоположными рёбрами можно определить по формуле

Длину диагонали куба можно определить по формуле

Куб имеет 9 осей симметрии.

Три оси симметрии это прямые проходящие через центр параллельных граней куба:

Шесть осей симметрии это прямые соединяющие центры противолежащих рёбер куба:

Куб имеет 9 плоскостей симметрии

Три плоскости проходят через центр параллельно граням

Шесть плоскостей проходят через центр по диагонали

Куб может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы куба

Сфера может быть вписана внутрь куба.

Радиус вписанной сферы куба

Сферу можно вписать в куб таким образом, что она коснется поверхностью всех рёбер куба. Такая сфера именуется — полувписанная в куб.

Радиус полувписанной сферы можно определить по формуле:

Площадь поверхности куба

Для наглядности площадь поверхности куба можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон куба (это площадь правильного четырехугольника — квадрата) умноженной на 6. Либо воспользоваться формулой:

Объем куба определяется по следующей формуле:

Вариант развертки

Куб можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал гексаэдр с землёй – одним из базовых «земных» элементов, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали коричневый цвет.

На рис.2 представлена развертка гексаэдра:

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка (pdf)
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — разверткa (pdf)

Куб из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель додекаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Источник