Общее сопротивление цепи куб

Содержание

Общее сопротивление цепи куб
Решение задач на расчет электрического сопротивления с помощью моделей
Сопротивление куба
Сопротивление куба между противоположными вершинами
Сопротивление куба между противолежащими углами одной грани
Сопротивление куба между прилежащими вершинами одной грани
Эксперимент на измерению сопротивления куба

Общее сопротивление цепи куб

2017-01-19
Рассчитайте полное сопротивление проволочного куба, каждое ребро которого имеет сопротивление $r$, если он подключен к источнику
а) по главной диагонали куба;
б) по диагонали грани;
в) вдоль ребра.

рис.1

рис.2

рис.3

рис.4
На рис. 1 все вершины куба пронумерованы. Симметрия системы позволяет утверждать, что некоторые вершины будут иметь один и тот же потенциал. Это позволяет в каждом случае свести задачу к расчету эквивалентной схемы, содержащей только последовательно и параллельно соединенные сопротивления.

а) Напряжение приложено к вершинам / и 8. В этом случае одинаковы потенциалы вершин 2, 3, 4, поскольку при повороте куба на угол $120^< \circ>$ вокруг главной диагонали они переходят друг в друга, а сам куб переходит в себя (отвернувшийся на минуту человек не сможет определить, повернули мы куб или нет). Аналогично, одинаковый потенциал имеют вершины 5, 6, 7. Точки с одинаковым потенциалом можно замкнуть накоротко. Эквивалентная схема имеет вид, представленный на рис. 2. Очевидно, что $R = r/3 + r/6 + r/3 = (5/6)r$.

К тому же результату можно прийти иначе, если заметить, что из-за симметрии подключения вершин куба токи в ребрах 1-2, 1-3 и 1-4 одинаковы и составляют 1/3 тока $I$ в неразветвленной части цепи. Точно также одинаковы и равны $I/3$ токи в ребрах 5-8, 6-8, 7-8, а токи в ребрах 2-7 и 2-6 составляют половину тока в ребре 1-2 и, следовательно, равны $I/6$. Запишем теперь напряжение между точками 1 и 8 в виде

$U = \phi_ <8>\phi_ <1>= \phi_ <8>— \phi_ <7>+ \phi_ <7>— \phi_ <2>+ \phi_ <2>— \phi_ <1>= \frac <3>r + \frac <6>r + \frac <3>r = \frac<5> <6>Ir$

Теперь для $R$ получаем: $R = U/I = (5/6)r$.

б) Напряжение приложено между точками 1 и 5. Теперь одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6-7. Эквивалентная схема показана на рис. 3. Очевидно, что и сопротивления, соединяющие точки 3-4 и 6-7, могут быть удалены без изменения полного сопротивления, поскольку потенциалы этих точек тоже оказываются одинаковыми. Теперь полное сопротивление легко сосчитать: $R = = (3/4)r$.

в) Напряжение приложено между точками 1 и 2. Снова одинаковы потенциалы вершин 3-4 и 6-7. Эквивалентная схема приведена на рис. 4. Используя формулы для параллельного и последовательного соединения сопротивлений, получаем $R = (7/12)r$.
Ответ: а) $R = (5/6)r$; б) $R = (3/4)r$ в) $R = (7/12)r$.

Источник

Решение задач на расчет электрического сопротивления с помощью моделей

Цели: обучающая: систематизировать знания и умения учащихся решать задачи ан расчет эквивалентных сопротивлений с помощью моделей, каркасов и т.д.

Развивающая: развитие навыков логического мышления абстрактного мышления, умений заменять схемы эквивалентности, упрощать расчет схем.

Воспитательная: воспитание чувства ответственности, самостоятельности , необходимости навыков приобретенных на уроке в будущем

Оборудование: проволочный каркас куба, тетраэдера, сетки бесконечной цепочки сопротивлений.

1. Учитель: “Вспомним последовательное соединение сопротивлений”.

Учащиеся на доске зарисовывают схему.

Учитель: вспомним параллельное соединение сопротивлений.

Учащийся на доске зарисовывает элементарную схему:

; для для n равных

Учитель: А теперь будем решать задачи на расчет эквивалентного сопротивления участок цепи представлен в виде геометрической фигуры, либо металлической сетки.

Проволочный каркас в виде куба, рёбра которого представляют равные сопротивления R. Рассчитать эквивалентное сопротивление между точками А и В. Чтобы рассчитать эквивалентное сопротивление данного каркаса необходимо заменить эквивалентной схемой. Точки 1, 2, 3 имеют одинаковый потенциал, их можно соединить в один узел. А точки (вершины) куба 4, 5, 6 можно соединить в другой узел по той же причине. Учащиеся имеют на каждой парте такую модель. После выполнения описанных действий зарисовывают эквивалентную схему.

На участке АС эквивалентное сопротивление ; на СD ; на DB ; и окончательно для последовательного соединения сопротивлений имеем:

Рассчитать R_ЭКВ. этого же куба, если куб включён в цепь в точках 2 и 4.

По тому же принципу потенциалы точек А и 6 равны, В и 3 равны. Учащиеся совмещают эти точки на своей модели и получают эквивалентную схему:

Расчёт эквивалентного сопротивления такой цепи прост

Эта же модель куба, с включением в цепь между точками 2 и В. Учащиеся соединяют точки с равными потенциалами 1 и 3; 6 и 4. Тогда схема будет выглядеть так:

Точки 1,3 и 6,4 имеют равные потенциалы, и ток по сопротивлениям между этими точками не потечёт и схема упрощается до вида; эквивалентное сопротивление которой рассчитывается так:

Равносторонняя треугольная пирамида, ребро которой имеет сопротивление R. Рассчитать эквивалентное сопротивление при включении в цепь.

Точки 3 и 4 имеют равный потенциал, поэтому по ребру 3,4 ток не потечёт. Учащиеся убирают его.

Тогда схема будет выглядеть так:

Эквивалентное сопротивление рассчитывается так:

Металлическая сетка с сопротивлением звена равном R. Рассчитать эквивалентное сопротивление между точками 1 и 2.

В точке 0 можно звенья отделить, тогда схема будет иметь вид:

— сопротивление одной половины симметричной по 1-2 точкам. Параллельно ей такая же ветвь, поэтому

Рассчитать эквивалентное сопротивление проволочной звезды с сопротивлением каждого звена R, включённой в цепь между точками 1 и 2.

Звезда состоит из 5-и равносторонних треугольников, сопротивление каждого.

Между точками 1 и 2 один треугольник параллелен четырём, последовательно соединенным между собой

Имея опыт расчёта эквивалентного сопротивления проволочных каркасов можно приступить к расчету сопротивлений цепи, содержащий бесконечное число сопротивлений. Например:

от общей схемы, то схема не изменится, тогда можно представить ввиде

или ,

решаем данное уравнение относительно R_экв.

Итог урока: мы научились абстрактно представлять схемы участков цепи, заменять их эквивалентными схемами, которые позволяют легко рассчитать эквивалентное сопротивление.

Рассчитать эквивалентное сопротивление проволочного каркаса из двух окружностей с радиусами r₁ и r_2, r₂₌2r₁ между точками А и В. Сопротивление единицы длинны проволоки?

Указание: Эту модель представить в виде:

Источник

Сопротивление куба

Рассмотрим классическую задачу. Дан куб, рёбра которого представляют собой проводники с каким-то одинаковым сопротивлением. Этот куб включается в электрическую цепь между всевозможными его точками. Вопрос: чему равно сопротивление куба в каждом из этих случаев? В данной статье репетитор по физике и математике рассказывает о том, как решается эта классическая задача. Присутствует также видеоурок, в котором вы найдёте не только подробное объяснение решения задачи, но и реальную физическую демонстрацию, подтверждающую все вычисления.

Итак, куб может быть включен в цепь тремя различными способами.

Сопротивление куба между противоположными вершинами

В этом случае ток, дойдя до точки A, распределяется между тремя рёбрами куба. При этом, поскольку все три ребра эквивалентны с точки зрения симметрии, ни одному из рёбер нельзя придать большую или меньшую «значимость». Поэтому ток между этими рёбрами должен распределиться обязательно поровну. То есть сила тока в каждом ребре равна :

В результате получается, что падение напряжения на каждом из этих трёх рёбер одинаково и равно , где — сопротивление каждого ребра. Но падение напряжение между двумя точками равно разности потенциалов между этими точками. То есть потенциалы точек C, D и E одинаковы и равены . Из соображений симметрии потенциалы точек F, G и K также одинаковы.

Точки с одинаковым потенциалом можно соединять проводниками. Это ничего не изменит, потому что по этим проводникам всё равно не потечёт никакой ток:

В результате получим, что рёбра AC, AD и AE соединятся в одной точке. Назовём её точкой T. Точно также рёбра FB, GB и KB соединятся в одной точке. Назовём её точкой M. Что касается оставшихся 6 рёбер, то все их «начала» окажутся соединены в точке T, а все концы — в точке M. В результате мы получим следующую эквивалентную схему:

Посчитать сопротивление такой схемы уже не составляет труда:

Сопротивление куба между противолежащими углами одной грани

В данном случае эквивалентными являются рёбра AD и AC. По ним потечёт одинаковый ток . Кроме того, эквивалентными также являются KE и KF. По ним потечёт одинаковый ток . Ещё раз повторим, что ток между эквивалентными рёбрами должен распределиться поровну, в противном случае нарушится симметрия:

Таким образом, в данном случае одинаковым потенциалом обладают точки C и D, а также точки E и F. Значит эти точки можно объединить. Пусть точки C и D объединятся в точке M, а точки E и F — в точке T. Тогда получится следующая эквивалентная схема:

На вертикальном участке (непосредственно между точками T и M) ток не течёт. Действительно, ситуация аналогична уравновешенному измерительному мосту. Это означает, что данной звено можно исключить из цепи. После этого посчитать общее сопротивление не составит труда:

Сопротивление верхнего звена равно , нижнего — . Тогда общее сопротивление равно:

Сопротивление куба между прилежащими вершинами одной грани

Это последний возможный вариант подключения куба в электрическую цепь. В этом случае эквивалентными рёбрами, через которые будет течь одинаковый ток, являются рёбра AC и AD. И, соответственно, одинаковые потенциалы будут иметь точки C и D, а также симметричные им точки E и F:

Вновь соединяем попарно точки с одинаковыми потенциалами. Мы можем это сделать, потому что ток между этими точками не потечёт, даже если соединить их проводником. Пусть точки C и D объединятся в точку T, а точки E и F — в точку M. Тогда можно нарисовать следующую эквивалентную схему:

Общее сопротивление полученной схемы рассчитывается стандартными способами. Каждый сегмент из двух параллельно соединённых резисторов заменяем на резистор сопротивлением . Тогда сопротивление «верхнего» сегмента, состоящего из последовательно соединённых резисторов , и , равно .

Этот сегмент соединён со «средним» сегментом, состоящим из одного резистора сопротивлением , параллельно. Сопротивление цепи, состоящей из двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и , равно:

То есть схема упрощается до ещё более простого вида:

Как видно, сопротивление «верхнего» П-образного сегмента равно:

Ну а общее сопротивление двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и равно:

Эксперимент на измерению сопротивления куба

Чтобы показать, что всё это не математический трюк и что за всеми этими вычислениями стоит реальная физика, я решил провести прямой физической эксперимент по измерению сопротивления куба. Вы можете посмотреть этот эксперимент в видео, которые находится в начале статьи. Здесь я размещу фотографии экспериментальной установки.

Специально для этого эксперимента я спаял куб, рёбрами которого являются одинаковые резисторы. Также у меня есть мультиметр, который я включил в режиме измерения сопротивления. Сопротивление одиночного резистора равно 38.3 кОм:

Теперь смотрим сопротивление куба при различных его подключениях:

1) При подключении между диаметрально противоположным граням сопротивление равно 32.3 кОм:

Расчётное значение равно кОм.

2) При подключении между соседним вершинам одной грани измеренное значение сопротивления равно 22.6 кОм:

Расчётное значение составляет кОм.

3) При подключении между противоположным вершинам одной грани сопротивление равно 28.9 кОм:

Расчётное значение равно кОм.

Как видите, мы получили очень хорошее согласование экспериментальных данных с результатам наших расчётов. Ошибка находится на уровне 1%. Погрешность измерений есть всегда. Это нормально. В данном случае эта погрешность связана, скорее всего, с тем, что сопротивление резисторов не строго 38.3 кОм, а может немного варьироваться.

Материал подготовил репетитор по физике и математике, Сергей Валерьевич

Если вам понравилась статья, смотрите также:

Источник