- Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица, формулировки, примеры применения.
- Список формул сокращенного умножения (ФСУ) в виде таблицы
- Дополнительные формулы
- Как читаются формулы сокращенного умножения?
- Доказательство
- Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры
- Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности
- Степень суммы
- Степень разности
- Квадрат многочлена
- Куб трехчлена
Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица, формулировки, примеры применения.
Для умножения и возведения в степень чисел и выражений (в частности многочленов) в некоторых случаях могут быть использованы так называемые формулы сокращенного умножения. Из названия понятно, что эти формулы позволяют проводить умножение сокращенно, то есть, быстрее при более компактной записи решения.
В этой статье мы перечислим все основные наиболее часто используемые формулы сокращенного умножения. Для удобства запоминания занесем их в таблицу. Дальше дадим формулировки – они позволят читать формулы сокращенного умножения. После этого остановимся на принципах доказательства этих формул. Наконец, дадим обзор задач, для решения которых применяются формулы сокращенного умножения, и рассмотрим несколько примеров с подробными решениями.
Список формул сокращенного умножения (ФСУ) в виде таблицы
Формулы сокращенного умножения (фсу) изучаются на уроках алгебры в 7 классе после разговора про действия с многочленами и одночленами, при этом рассматриваются 7 основных формул. Перечислим их по порядку в виде списка:
- (a+b) 2 =a 2 +2·a·b+b 2 – так называемая формула квадрата суммы;
- (a−b) 2 =a 2 −2·a·b+b 2 – эта формула имеет название квадрат разности;
- (a+b) 3 =a 3 +3·a 2 ·b+3·a·b 2 +b 3 – эта формула представляет собой куб суммы;
- (a−b) 3 =a 3 −3·a 2 ·b+3·a·b 2 −b 3 – формула куба разности;
- (a−b)·(a+b)=a 2 −b 2 ;
- (a+b)·(a^2−a·b+b^2)=a^3+b^3;
- (a−b)·(a 2 +a·b+b 2 )=a 3 −b 3 .
Под буквами a и b понимаются числа, переменные, или, вообще, любые числовые и буквенные выражения.
Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой таблица формул сокращенного умножения, которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:
Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы ( a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.
Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество. Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.
При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители, ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:
Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) — формулой суммы кубов, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) — формулой разности кубов. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.
Дополнительные формулы
В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.
Во-первых, полезной будет формула бинома Ньютона вида , где — биномиальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. С ее помощью можно сокращенно возводить сумму двух выражений в любую натуральную степень. Кстати, ФСУ квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3 .
Она читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых a , b и c , имеем (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2·a·b+2·a·c+2·b·c . В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.
И еще не помешает держать перед глазами формулу разности n-ых степеней двух слагаемых вида a n −b n =
=(a−b)·(a n−1 +a n−2 ·b+a n−3 ·b 2 +…+a·b n−2 +b n−1 ) , которую обычно представляют раздельно для четных и нечетных показателей. Для четных показателей 2·m она имеет вид a 2·m −b 2·m =
=(a 2 −b 2 )·(a 2·m−2 +a 2·m−4 ·b 2 +a 2·m−6 ·b 4 +…+b 2·m−2 ) , а для нечетных показателей 2·m+1 – вид a 2·m+1 −b 2·m+1 =
=(a−b)·(a 2·m +a 2·m−1 ·b+a 2·m−2 ·b 2 +…+b 2·m ) . Частными случаями этой формулы являются формулы разность квадратов (при n=2 ), разность кубов (при n=3 ) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b ).
Как читаются формулы сокращенного умножения?
Чтобы рассказать решение примера, в котором были использованы формулы сокращенного умножения, нужно знать, как эти формулы читаются. Дадим соответствующие формулировки.
Сначала разберемся с принципом чтения формул сокращенного умножения. Это удобнее всего сделать, рассмотрев любую и них, например, первую формулу квадрата суммы вида (a+b) 2 =a 2 +2·a·b+b 2 .
В левой ее части находится выражение (a+b) 2 , которое представляет собой квадрат суммы двух выражений a и b , оно так и читается (отсюда понятно и название формулы). Дальше стоит знак равно, он и произносится как равно. В правой части формулы расположена сумма трех слагаемых a 2 , 2·a·b и b 2 . a 2 и b 2 – это квадраты первого и второго выражений соответственно, а 2·a·b читается как удвоенное произведение выражений a и b , слово «удвоенное» отвечает числовому коэффициенту 2 . Осталось соединить все эти рассуждения в одно предложение, которое будет ответом на вопрос, как читается формула квадрата суммы.
Итак, квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.
Аналогично читаются и остальные фсу.
Так квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения. Эта формулировка второй фсу вида (a−b) 2 =a 2 −2·a·b+b 2 .
Дальше читаем формулу (a+b) 3 =a 3 +3·a 2 ·b+3·a·b 2 +b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.
Аналогично читается и формула куба разности (a−b) 3 =a 3 −3·a 2 ·b+3·a·b 2 −b 3 . Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго выражения минус куб второго выражения.
Переходим к чтению пятой по списку формулы сокращенного выражения (a−b)·(a+b)=a 2 −b 2 . Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов первого и второго выражений.
А для удобства чтения шестой и, последней, седьмой ФСУ используют термины «неполный квадрат суммы» и «неполный квадрат разности» выражений a и b , которыми называют выражения a 2 +a·b+b 2 и a 2 −a·b+b 2 соответственно. (В свою очередь выражения a 2 +2·a·b+b 2 и a 2 −2·a·b+b 2 называют полным квадратом суммы и разности соответственно.)
Итак, произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности равно сумме кубов этих выражений. Так читается формула (a+b)·(a 2 −a·b+b 2 )=a 3 +b 3 . И произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равен разности кубов этих выражений, этому утверждению отвечает формула сокращенного умножения вида (a−b)·(a 2 +a·b+b 2 )=a 3 −b 3 .
Доказательство
Сейчас самое время остановиться на доказательстве формул сокращенного умножения. Доказать их достаточно легко – для этого нужно лишь выполнить возведение в степень или умножение выражений, находящихся в левых частях формул, основываясь на свойствах умножения.
Для примера докажем формулу квадрата разности (a−b) 2 =a 2 −2·a·b+b 2 . Возведем разность a−b во вторую степень. Для этого степень заменяем умножением, и выполняем это действие: (a−b) 2 =(a−b)·(a−b)=
=a·(a−b)−b·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)=
=a 2 −a·b−b·a+b·b=a 2 −a·b−a·b+b 2 =
=a 2 −2·a·b+b 2 .
Абсолютно аналогично доказывается любая другая из 7 основных формул сокращенного умножения.
Доказательство дополнительных ФСУ можно провести с использованием метода наименьших квадратов.
Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры
Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.
Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений. Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений.
Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .
В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2 ) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2 )= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .
И если в 7 классе речь идет о преобразовании целых выражений с помощью формул сокращенного умножения, то в старших классах можно будет видеть применение ФСУ к преобразованию выражений всех других видов – дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических и других. К примеру, тождества сокращенного умножения с переставленными частями позволяют представлять выражения в виде степеней или произведений, в частности, выполнять разложение многочленов на множители. Это очень полезно, к примеру, при сокращении алгебраических дробей.
Сократите дробь .
В числителе выражение представляет собой разность кубов двух выражений 2·x и z 2 , а в знаменателе – разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь примет вид . Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе: .
Оформим все решение кратко:
.
Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислять значения выражений. В качестве примера покажем, как можно возвести число 79 в квадрат с помощью формулы квадрата разности: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2·80·1+1 2 = 6 400−160+1=6 241 . Такой подход позволяет выполнять подобные вычисления даже устно.
В заключение скажем еще про одно важное преобразование – выделение квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения квадрат суммы. Например, выражение 4·x 2 +4·x−3 может быть преобразовано к виду (2·x) 2 +2·2·x·1+1 2 −4 , и первые три слагаемых заменяются с использованием формулы квадратом суммы. Так что выражение принимает вид (2·x+1) 2 −4 . Подобные преобразования широко используются, например, при интегрировании.
Формулы сокращенного умножения:
степень суммы и степень разности
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Степень суммы | |
Степень разности | |
Квадрат многочлена | |
Куб трехчлена | |
Сумма нечетных степеней | |
Разность нечетных степеней | |
Разность четных степеней |
Степень суммы
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
(x + y) 2 = (x + y)(x + y) , (x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) , (x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y) |
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Название формулы | Формула |
Квадрат (вторая степень) суммы | (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 |
Куб (третья степень) суммы | (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 |
Четвертая степень суммы | (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 |
Пятая степень суммы | (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 |
Шестая степень суммы | (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6 |
… | … |
Квадрат (вторая степень) суммы
Общая формула для вычисления суммы
с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
Название формулы | Формула |
Квадрат (вторая степень) разности | (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2 |
Куб (третья степень) разности | (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 |
Четвертая степень разности | (x – y) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4 |
Пятая степень разности | (x – y) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5 |
Шестая степень разности | (x – y) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6 |
… | … |
Квадрат (вторая степень) разности
Куб (третья степень) разности
Четвертая степень разности
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
Следующая формула называется «Куб трехчлена» :
Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.