Как найти объем пирамиды если известен объем куба

Объемы фигур. Объем пирамиды.

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема пирамиды: объем пирамиды, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Элементы пирамиды.

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
• боковые ребра — общие стороны боковых граней;

• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Вспомогательные формулы.

1. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

2. Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

3. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

n — число сторон основания,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

Общая формула, по которой можно найти объем пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS)

, где

S – площадь основания пирамиды,

— объём параллелепипеда;

Правильная пирамида.

Правильная пирамида — пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Формула для вычисления объема правильной пирамиды:

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

a — сторона основания пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида.

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула для определения объема правильной четырехугольной пирамиды:

a — сторона основания пирамиды

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Формулы для вычисления объема тетраэдра:

— скрещивающиеся рёбра, — расстояние между a₁ и a₂, — угол между a₁ и a₂;

Усеченная пирамида.

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁ (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

S₁ — площадь верхнего основания усеченной пирамиды,

S₂ — площадь нижнего основания усеченной пирамиды,

Источник

Формула объема пирамиды

Пирамида — многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.

Элементы пирамиды

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);

Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра — общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S_(ABCDEF) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot S \cdot h \]

где:
V — объем пирамиды
S — площадь основания пирамиды
h — высота пирамиды

Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту

Объём усечённой пирамиды

Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S_{1 (abcdef)} , нижнего основания усеченной пирамиды S_{2 (ABCDEF)} и средней пропорциональной между ними.

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt + S_2 \right) \]

где:
V — объем пирамиды
S₁ — площадь верхнего основания усеченной пирамиды
S₂ — площадь нижнего основания усеченной пирамиды
h — высота усеченной пирамиды

Калькулятор объема усечённой пирамиды

Объём правильной пирамиды

Правильная пирамида — пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S _(ABCDEF) на высоту h _(OS)

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
n — количество сторон многоугольника в основании
h — высота усеченной пирамиды

Калькулятор объёма правильной пирамиды

Объём правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S _(ABC) на высоту h _(OS)

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади квадрата, являющегося основанием S _(ABCD) на высоту h _(OS)

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды

Объём тетраэдра

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды

Источник

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема пирамиды

1. Общая формула

Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.

• ABCD – основание;
• E – вершина;
• h – высота, перпендикулярная основанию.

2. Объем правильной треугольной пирамиды

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):

Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a 2 , где а – длина его стороны.

Следовательно, формулу объема можно представить в виде:

4. Объем правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):

С учетом этого, объем фигуры считается так:

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см 2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:

Источник

Объем пирамиды

Пирамида – это геометрическое тело, которое получается, если от каждой вершины многоугольника, лежащего в ее основании, провести отрезки в одну точку. Пирамиды могут быть прямыми и наклонными, у прямых пирамид высота, опущенная из вершины к основанию, всегда попадает точно в его геометрический центр. Правильные пирамиды – это пирамиды, в основании которых лежит правильный многоугольник. Рассмотрим объем прямой пирамиды на примере таковой с основанием в форме квадрата. Если заключить данную пирамиду в куб, ребро которого будет равно стороне квадрата или двум ее высотам, то становится очевидным тот факт, что для того чтобы полностью заполнить данный куб, необходимо ровно шесть пирамид – и каждая из них идеально впишется основанием в каждую грань куба.

Для того, чтобы доказать это же свойство для пирамиды отличной от данной высоты или основания, необходимо взять соответствующий параллелепипед или правильный многогранник, но наиболее наглядным будет пример именно с кубом.

Таким образом, поскольку ребро куба – a , а его объем a 3 , то объем данной пирамиды — . Если рассмотреть эту формулу применительно к параметрам самой пирамиды, то заменив a 2 на площадь основания и на высоту, получим, что объем пирамиды через ее данные выглядит как одна треть произведения площади основания на высоту.

Источник