- Дифференциал функции
- Производная косинуса: (cos x)′
- Доказательство
- Примеры
- Пример 1
- Пример 2
- Производные высших порядков
- Интеграл косинуса
- Интегрирование тригонометрических функций: методы и примеры
- Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
- Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
- Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
- Использование метода замены переменой
- Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
- Универсальная тригонометрическая подстановка
Дифференциал функции
Полный дифференциал для функции двух переменных:
- Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Пусть f(x) дифференцируема в точке x0 и f ‘(x0)≠0 , тогда ∆y=f’(x0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x0)∆x.
, то есть ∆y
f’(x0)∆x. Следовательно, f’(x0)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 и обозначают dy(x0) или df(x0). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)
Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:
дифференциал:
б)
Решение:
дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:
дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:
Пример . Для функции y=x 3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .
Производная косинуса: (cos x)′
Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
( cos x )′ = – sin x .
Доказательство
Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(1) ;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) ;
3) Значение первого замечательного предела:
(3) ;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если и , то
(4) .
Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1) ;
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.
Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
.
Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Тем самым мы получили формулу производной косинуса.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x и y = cos n x .
Пример 1
Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx.
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .
Итак, находим производную от функции
y = cos nx .
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Подставим :
(П1) .
Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.
Пример 2
Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2 x ; y = cos 3 x ; y = cos n x .
В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n:
y = cos n x .
Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.
Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.
Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Подставим :
(П2) .
Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса:
.
Тогда
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-03-2017
Интеграл косинуса
Интеграл косинуса по таблице интегрирования основных элементарных функций равен:
Словами это запомнить легче и звучит так: интеграл косинуса равен сумме синуса и константы. Выполним разбор частных примеров.
Найти интеграл от косинуса 2х: $$ \int \cos 2x dx $$
2х под косинусом называется двойным углом. Из-за того, что аргумент косинуса равен $ 2x $, то нельзя сразу применить формулу. Нужно чтобы $ 2x $ находилось и под знаком дифференциала.
Выполним подведение $ 2x $ под дифференциал:
$$ \frac<1><2>\int \cos 2x d(2x) = \frac<1><2>\sin 2x + C $$
Перед интегралом появилась дробь $ \frac<1> <2>$, так как $ d(2x) = 2 dx $ и нам необходимо уничтожить лишнюю двойку.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Пример 2 |
Найти интеграл от произведения синуса и косинуса: $$ \int \sin x \cos x dx $$ |
Решение |
Ответ |
$$ \int \sin x \cos x dx = \frac<\sin^2 x> <2>+ C $$ |
Выражение стоящее под знаком интеграла полностью готово к непосредственному интегрированию. Но стоит заметить, что интеграл определенный, а это значит нужно воспользоваться дополнительно формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) — F(a) $, где $ F(x) $ — это первообразная функции.
$$ \int_0^\pi \cos x dx = \sin x \bigg |_0^\pi = \sin\pi — \sin 0 = -1 — 0 = -1 $$
Пример 4 |
Найти интеграл от косинуса в квадрате: $$ \int \cos^2 x dx $$ |
Решение |