Дано abcda1b1c1d1 куб найдите угол ad1 ab1c1

Задание 14. Математика ЕГЭ. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостью A1BD и плоскостью, проходящей через середины ребер AB, B1C1, AD.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его ребер AB, B₁C₁, AD.

б) Найдите угол между плоскостью A₁BD и плоскостью, проходящей через середины ребер AB, B₁C₁, AD.

Пусть точки P, M и K – середины ребер AB, B₁C₁, AD соответственно. Построим плоскость MPK. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Точки Р и К секущей плоскости принадлежат ребрам куба, поэтому Р и К – вершины многоугольника-сечения, а отрезок РК – его сторона. Построим остальные вершины и стороны сечения.

Прямая РК расположена в одной плоскости АВС с прямыми ВС и DС, пересекает эти прямые соответственно в точках Т₁ и Т₃.

Поэтому Т₁ лежит в плоскости АВС (как точка прямой ВС) и Т₁ лежит в плоскости сечения (как точка прямой РК), значит, Т₁ – точка пересечения секущей плоскости и прямой ВС.

Аналогично, Т₃ лежит в плоскости АВС (как точка прямой DC) и Т₃ лежит в плоскости сечения (как точка прямой РК), значит, Т₃ – точка пересечения секущей плоскости и прямой DC.

В плоскости ВСС₁ лежат точки Т₁ и М, принадлежащие секущей плоскости, поэтому Т₁М – прямая пересечения секущей плоскости и плоскости ВСС₁.

Прямая Т₁М расположена в одной плоскости ВСС1 с прямыми ВВ₁ и СС₁, пересекает эти прямые соответственно в точках F и Т₂. Поэтому F лежит в плоскости ВСС₁ (как точка прямой ВВ₁) и F лежит в плоскости сечения (как точка прямой Т₁М), значит, F – точка пересечения секущей плоскости и прямой ВВ₁; точка F – еще одна вершина многоугольника-сечения, а отрезки FM и PF – его стороны.

Аналогично, точка Т₂ – точка пересечения прямой Т₁М и СС₁ есть точка пересечения секущей плоскости с прямой СС₁.

Прямая Т₂Т₃ – прямая пересечения секущей плоскости и плоскости DCC₁ пересекает ребра D₁C₁ и DD₁ соответственно в точках E и N, которые также являются вершинами многоугольника-сечения данного куба. Тогда отрезки ME, NE и NK – стороны этого сечения.

Таким образом, получаем многоугольник KPFMEN – искомое сечение данного куба плоскостью MPK. Отрезки PK, NE и NK проводим штриховыми линиями, как невидимые.

Построим плоскость A₁BD, для этого соединим точки A₁, B и D. Треугольник ∆ A₁BD – секущая плоскость A₁BD.

Плоскость A₁BD и плоскость МРК имеют общие точки пересечения L и Q, значит, эти плоскости пересекаются по прямой LQ.

Найдем угол между плоскостями A₁BD и МРК. КР – средняя линия треугольника ABD, значит, KP параллельна BD, а BD лежит в плоскости A₁BD, значит, KP параллельна плоскости A₁BD. Получим, LQ параллельна KP и LQ параллельна BD.

Треугольник ∆ A₁BD – равнобедренный, тогда А₁О – медиана и высота, А₁О перпендикулярна BD и LQ. Аналогично, С₁О перпендикулярна BD и LQ, значит, С₁О параллельна RH. Следовательно, угол ∠А₁RH – линейный угол между плоскостями A₁BD и МРК. Угол ∠А₁RH равен углу ∠А₁ОС₁.

Рассмотрим треугольник ∆ А₁ОС₁. Так как за величину угла между двумя плоскостями берется величина острого двугранного угла (взят модуль), по теореме косинусов найдем величину угла ∠А₁ОС₁, получим

Рассмотрим треугольник ∆АВС:

Рассмотрим треугольник ∆ОСС₁:

Подставим полученные значения в формулу (1):

Так как угол ∠А₁ОС₁ – угол первой четверти, то tg∠А₁ОС₁ > 0.

Источник

441. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: а) В1В и В1С; б) DA и B1D1; в) А1С1 и А1В; г) ВС и АС; д) ВВ1 и АС; е) В1С и AD1; ж) A1D1 и ВС; з) АА1 и С1С.

441. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами: а) В₁В и В₁С; б) DA и B₁D₁; в) А₁С₁ и А₁В; г) ВС и АС; д) ВВ₁ и АС; е) В₁С и AD₁; ж) A₁D₁ и ВС; з) АА₁ и С₁С.

а) Векторы ВВ₁ и В₁С совпадают с катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника BВ₁С, следовательно, ВВ₁С=45°.

б) BD = B₁D₁ , т.к. они сонаправлены и имеют одинаковую длину. BD = B₁D₁ =- DB .

Угол между DB и DA — угол между стороной и диагональю квадрата, т.е. α=45°. Тогда угол между

в) A₁C₁ и A₁B совпадают со сторонами равностороннего треугольника АВС и отложены из одной точки. Следовательно, угол 60°.

(угол между стороной и диагональю

Пусть О — точка пересечения диагоналей В₁С и ВС₁,

следовательно, угол между ними равен 180°

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №441
к главе «Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов».

Источник