Что такое ось симметрии куба
Самый популярный многогранник из семейства Платоновых тел. Куб или гексаэдр (от греческого hex — шесть и hedra — грань) составлен из 6 квадратов.
Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 ° . У куба 12 ребер, имеющих равную длину. Примем длину ребра куба за а и представим числовые характеристики его элементов.
Сумма длин всех ребер | 12а | |
Площадь поверхности | 6а 2 | |
Объем | V = а 3 | |
Радиус описанной сферы | ||
Радиус вписанной сферы | r = a/2 |
Куб | |
Тип | Платоново твердое тело |
---|---|
Лица | 6 квадратов |
Края | 12 |
Вершины | 8 |
Грани / вершина | 3 |
Характерная черта | 2 |
Символ Шлефли | |
Символ Wythoff | 3 |
Диаграмма Кокстера-Дынкина | |
Двойной | Правильный октаэдр |
Группа симметрии | О ч |
Объем | а³ |
Область | 6a² |
Двугранный угол | 90 ° |
Характеристики | выпуклый зоноэдр |
редактировать |
В евклидовой геометрии , А куба является правой призма , чьи лица являются квадратными и , следовательно , равны и совмещаются. Куб — одно из самых замечательных тел в космосе . Это единственное из пяти тел Платона , имеющее ровно 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Другое его название — « правильный шестигранник ».
Поскольку у него четыре вершины на грань и три грани на вершину, его символ Шлефли равен <4.3>.
Этимология слова куб — греческое ; куб происходит от кубоса , игральной кости .
Термин куб , применяемый к числу , обозначает значение, полученное путем умножения этого числа на само себя и умножения результата на исходное число. Это выражение появилось в период, когда геометрическая алгебра была повсеместной, квадрат числа рассматривался как площадь квадрата помимо исходного числа, а куб числа — как объем куба помимо исходного числа. Выражение « 3 » может быть « излучающая в кубе» и «куб».
1-скелет кубы — множество его вершин , соединенных его ребра — образует графу называется шестигранный графом .
Резюме
Геометрия
Куб — одно из пяти тел Платона . Куб принадлежит к семейству прямых призм . У него 8 вершин и 12 ребер . В качестве вершин можно взять, например, точки координат . Более того : р 3 <\ Displaystyle \ mathbb
- Два ребра, имеющие общий конец, ортогональны.
- Противоположные грани параллельны . Соседние грани перпендикулярны
- Все двугранные углы являются прямыми .
- Эти диагонали пересекаются в одной точке, центр симметрии куба, в isobarycenter из восьми вершин.
Но по определению все его ребра имеют одинаковую длину, скажем a . Следовательно, его грани представляют собой квадраты с площадью а 2 .
- Таким образом, площадь куба составляет 6 к 2 ;
- его объем является равным 3 ;
- длина диагонали равна √ 3 ;
- описанная сфера , следовательно , к радиусу составляет √ 3 /2;
- касательная к краям сфера имеет радиус a / √ 2 ;
- вписанная сфера имеет радиус a / 2;
- угол между диагональю и каждой из смежных кромок равен arccos ( 1 3 ) ≃ 54 , 74 ∘ . <\ displaystyle \ arccos \ left (<\ frac <1><\ sqrt <3>>> \ right) \ simeq 54 <,>74 ^ <\ circ>.>
- угол между диагональю и каждой из смежных плоскостей равен арктан ( 1 2 ) ≃ 35 год , 26 ∘ . <\ displaystyle \ arctan \ left (<\ frac <1><\ sqrt <2>>> \ right) \ simeq 35 <,>26 ^ <\ circ>.>
Именно выражение его объема привело к использованию слова « куб» в алгебре .
Другие определения
Есть и другие эквивалентные определения куба:
- кубы — единственные многогранники , у которых все грани квадратные;
- куб представляет собой антиалмаз порядка 3 с правильными вершинами и равными двугранными углами.
Группа изометрий
Группа изометрий куба, обозначенная O h , и подгруппа его положительных изометрий (его поворотов ), обозначенная O, также называются октаэдрическими группами симметрии , потому что они такие же, как у его двойственного многогранника , l ‘ правильного октаэдра. .
Куб — один из самых симметричных многогранников:
- 3 оси вращения четвертого порядка: оси, проходящие через центр двух противоположных граней;
- 6 осей вращения 2-го порядка: оси, проходящие через середину двух противоположных граней;
- 4 оси вращения третьего порядка: оси, проходящие через две противоположные вершины;
- центральная симметрия относительно центра куба;
- 9 плоскостей симметрии : 3 плоскости, соединяющие края, 6 плоскостей, проходящие через два противоположных края.
Изометрия куба фиксирует его центр. Таким образом, он полностью определяется изображением вершины A и двух (B и C) из трех ее соседей (поскольку эти три точки вместе с центром образуют опорную точку в пространстве ). Вершина A может иметь в качестве образа любую A ‘из 8 вершин куба. Тогда для вершины B есть 3 возможных изображения среди трех соседей A ‘, затем для изображения C — 2 изображения среди двух оставшихся соседей. Это доказывает, что изометрии, оставляющие куб глобально инвариантным, равны 8 × 3 × 2 = 48, включая 24 поворота, и только одно из двух изображений C дает одинаковую ориентацию A’B’C ‘относительно ABC. 24 вращения:
- приложение идентичности, которое представляет собой вращение (на нулевой угол и любую ось);
- 3 осевых полуоборота, проходящие через центр двух противоположных граней (возможно 3 оси);
- 6 четверть оборота оси, проходящей через центр двух противоположных граней (3 возможных оси и 2 возможных угла);
- 6 полуоборотных осей, проходящих через середины двух противоположных краев (возможно 6 осей);
- 8 третей поворота оси проходит через две противоположные вершины (4 возможных оси и 2 возможных угла).
Группа О из этих 24 вращений является изоморфной к симметрической группой S 4 . Любое вращение фактически переставляет четыре диагонали куба, и, наоборот, любая перестановка четырех диагоналей определяет одно вращение.
Отрицательные изометрии куба — это антиротации, составленные из этих вращений по центральной симметрии и коммутирующие с ней. Таким образом, группа O h является прямым внутренним произведением подгруппы O на циклическую подгруппу порядка 2, порожденную центральной симметрией. Это самая большая из 7 ортогональных групп трехмерных сетей .
24 отрицательных изометрии соответственно:
- центральная симметрия
- 3 симметрии относительно плоскости, проходящей через центр куба и параллельной грани (3 возможных плоскости);
- 6, состоящий из предшествующих симметрий с четвертью оборота оси, перпендикулярной плоскости симметрии (3 возможных плоскости и 2 возможных угла);
- 6 симметрий относительно плоскости, проходящей через два противоположных края (6 возможных плоскостей);
- 8, состоящий из шестой части поворота оси, проходящей через две противоположные вершины с симметрией относительно плоскости, проходящей через центр куба и перпендикулярной этой оси (4 возможных оси и 2 возможных угла). Плоскость симметрии пересекает ребра куба, образуя правильный шестиугольник.
Наконец, восемь вершин куба можно разделить на два правильных тетраэдра , симметричных друг другу по центральной симметрии. Отсюда следует, что из 48 изометрий куба 24 оставляют каждый из этих тетраэдров инвариантным, а 24 меняют два тетраэдра. 24 изометрии куба, оставляющие тетраэдры инвариантными, образуют группу изометрий тетраэдра: 12 — вращения, а 12 — косвенные изометрии. Эти 24 изометрии переставляют четыре вершины тетраэдра.
Узоры
Есть одиннадцать шаблонов куба; вот четыре:
Развитие кросс , боковые квадраты могут быть размещены ниже или выше
Adblockdetector