25y в кубе y

Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения

Все формулы для разложения многочленов на множители

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ — квадрат суммы

$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ — квадрат разности

$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$ — сумма кубов

$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 )$ – разность кубов

$a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3$ — куб суммы

$a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3$ — куб разности

Алгоритм разложения многочлена на множители

2а. Если многочлен – двучлен, он может быть разностью квадратов или суммой/разностью кубов.

2б. Если многочлен – трёхчлен, он может быть квадратом двучлена.

2в. Если многочлен имеет 4 члена, он может быть кубом суммы/разности.

Если проверка шага 2 не удалась: попробовать перегруппировать члены и вернуться к шагу 1 для каждой группы слагаемых.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^2+10xy+25y^2 = x^2+2\cdot x \cdot 5y+(5y)^2 = (x+5y)^2$

б) $4a^2-4a+1 = (2a)^2-2\cdot 2a\cdot 1+1^2 = (2a-1)^2$

в) $1-12k+36k^2 = 1-2\cdot1\cdot6k+(6k)^2 = (1-6k)^2$

г) $81+y^2+18y = y^2+18y+81 = y^2+2\cdot9y+9^2 = (y+9)^2$

Пример 2. Разложите на множители двучлен:

б) $64m^2-25k^2 = (8m)^2-(5k)^2 = (8m+5k)(8m-5k)$

в) $1-49k^2 b^4 = 1^2-(7kb^2 )^2 = (1+7kb^2 )(1-7kb^2 )$

г) $121y^2-81x^2 = (11y)^2-(9x)^2 = (11y+9x)(11y-9x)$

Пример 3. Разложите на множители двучлен:

а) $27a^3+8 = (3a)^3+2^3 = (3a+2)(9a^2-6a+4)$

б) $1-125p^3 q^6 = 1^3-(5pq^2 )^3 = (1-5pq^2 )(1+5pq^2+25p^2 q^4 )$

Пример 4*. Представьте в виде куба суммы или разности:

а) $8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 =$

б) $125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 =$

Пример 5. Разложите на множители:

а) $25a^2-b^2+5a+b = (25a^2-b^2 )+(5a+b) = (5a+b)(5a-b)+(5a+b) =$

б) $x-2y-x^2+4y^2 = (x-2y)-(x^2-4y^2 ) = (x-2y)-(x-2y)(x+2y) =$

Пример 6. Разложите на множители:

а) $xz^2+yz-yz^2-xz = z(xz+y-yz-x) = z((xz-yz)-(x-y) ) =$

б) xz+yz-2z-axz-ayz+2az = z(x+y-2-ax-ay+2a) =

Пример 7*. Разложите на множители:

а) $a^4+64 = (a^4+16a^2+64)-16a^2 = (a^2+8)^2-(4a)^2 =$

б) $x^4+324 = (x^4+36x^2+324)-36x^2 = (x^2+18)-(6x)^2 =$

в) $a^4+4b^4 = (a^4+4a^2 b^2+4b^4 )-4a^2 b^2 = (a^2+2b^2 )^2-(2ab)^2 =$

Пример 8. Решите уравнение Декарта (1596-1650)

$(y^2-1)(y-8) = 0 \Rightarrow (y+1)(y-1)(y-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin y_1 = -1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 8 \end \right. $

Пример 9*. Решите уравнение Бхаскары (1114-1185)

Вторая скобка всегда положительна, нулю равняться не может. Первая скобка:

$$(x-1)^2-10^2 = 0 \Rightarrow (x-1-10)(x-1+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 11 \\ x_2 = -9 \end \right. $$

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \( p, q \) и \( n, m \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>x + \frac<1><7>x^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Источник

Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения

Все формулы для разложения многочленов на множители

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ — квадрат суммы

$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ — квадрат разности

$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$ — сумма кубов

$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 )$ – разность кубов

$a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3$ — куб суммы

$a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3$ — куб разности

Алгоритм разложения многочлена на множители

2а. Если многочлен – двучлен, он может быть разностью квадратов или суммой/разностью кубов.

2б. Если многочлен – трёхчлен, он может быть квадратом двучлена.

2в. Если многочлен имеет 4 члена, он может быть кубом суммы/разности.

Если проверка шага 2 не удалась: попробовать перегруппировать члены и вернуться к шагу 1 для каждой группы слагаемых.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^2+10xy+25y^2 = x^2+2\cdot x \cdot 5y+(5y)^2 = (x+5y)^2$

б) $4a^2-4a+1 = (2a)^2-2\cdot 2a\cdot 1+1^2 = (2a-1)^2$

в) $1-12k+36k^2 = 1-2\cdot1\cdot6k+(6k)^2 = (1-6k)^2$

г) $81+y^2+18y = y^2+18y+81 = y^2+2\cdot9y+9^2 = (y+9)^2$

Пример 2. Разложите на множители двучлен:

б) $64m^2-25k^2 = (8m)^2-(5k)^2 = (8m+5k)(8m-5k)$

в) $1-49k^2 b^4 = 1^2-(7kb^2 )^2 = (1+7kb^2 )(1-7kb^2 )$

г) $121y^2-81x^2 = (11y)^2-(9x)^2 = (11y+9x)(11y-9x)$

Пример 3. Разложите на множители двучлен:

а) $27a^3+8 = (3a)^3+2^3 = (3a+2)(9a^2-6a+4)$

б) $1-125p^3 q^6 = 1^3-(5pq^2 )^3 = (1-5pq^2 )(1+5pq^2+25p^2 q^4 )$

Пример 4*. Представьте в виде куба суммы или разности:

а) $8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 =$

б) $125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 =$

Пример 5. Разложите на множители:

а) $25a^2-b^2+5a+b = (25a^2-b^2 )+(5a+b) = (5a+b)(5a-b)+(5a+b) =$

б) $x-2y-x^2+4y^2 = (x-2y)-(x^2-4y^2 ) = (x-2y)-(x-2y)(x+2y) =$

Пример 6. Разложите на множители:

а) $xz^2+yz-yz^2-xz = z(xz+y-yz-x) = z((xz-yz)-(x-y) ) =$

б) xz+yz-2z-axz-ayz+2az = z(x+y-2-ax-ay+2a) =

Пример 7*. Разложите на множители:

а) $a^4+64 = (a^4+16a^2+64)-16a^2 = (a^2+8)^2-(4a)^2 =$

б) $x^4+324 = (x^4+36x^2+324)-36x^2 = (x^2+18)-(6x)^2 =$

в) $a^4+4b^4 = (a^4+4a^2 b^2+4b^4 )-4a^2 b^2 = (a^2+2b^2 )^2-(2ab)^2 =$

Пример 8. Решите уравнение Декарта (1596-1650)

$(y^2-1)(y-8) = 0 \Rightarrow (y+1)(y-1)(y-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin y_1 = -1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 8 \end \right. $

Пример 9*. Решите уравнение Бхаскары (1114-1185)

Вторая скобка всегда положительна, нулю равняться не может. Первая скобка:

$$(x-1)^2-10^2 = 0 \Rightarrow (x-1-10)(x-1+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 11 \\ x_2 = -9 \end \right. $$

Источник

Кубические уравнения

Кубическое уравнение – уравнение вида \[<\large>,\]

где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\) .
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\) , где \(m, n\) – некоторые числа.

для любого числа \(a\) имеют единственный корень

Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]<-8>=-2\) .

\(<\color>\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\) .

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\) .

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

\[\begin &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end\]

\(<\color>\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) , в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

Для этого можно использовать следующие утверждения:

\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\) , то корнем уравнения является число \(1\) .

\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\) , то корнем уравнения является число \(-1\) .

\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\) – \(<\color<\text<целые>>>\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large<\dfrac

>\) , то для него будет выполнено:

\(d\) делится нацело на \(p\) ; \(a\) делится нацело на \(q\) .

1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\) , значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\) , значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.

3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\) ; делители старшего коэффициента \(2\) : \(\pm1, \pm2\) . Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\) .

Найдите корень уравнения \((2x + 1)^3 = 27\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение \((2x + 1)^3 = 3^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(2x + 1 = 3\) , откуда заключаем, что \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения \((2x + 1)^3 = -27\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение \((2x + 1)^3 = (-3)^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(2x + 1 = -3\) , откуда заключаем, что \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения \((3x + 2)^3 = -64\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение \((3x + 2)^3 = (-4)^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(3x + 2 = -4\) , откуда заключаем, что \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения \((7x + 11)^3 = 64\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение \((7x + 11)^3 = 4^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(7x + 11 = 4\) , откуда заключаем, что \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения \((-x — 11)^3 = 216\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение \((-x — 11)^3 = 6^3\) стандартного вида, оно эквивалентно уравнению \(-x — 11 = 6\) , откуда заключаем, что \(x = -17\) – подходит по ОДЗ.

Решите уравнение \(8x^3-36x^2+54x-27=0\) .

Заметим, что левая часть представляет из себя куб разности: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x-3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac32.\]

Найдите больший корень уравнения \(8x^3+12x^2+6x+1=0\) .

Заметим, что левая часть представляет из себя куб суммы: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (2x+1)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-\frac12.\]

В ЕГЭ кубические уравнения встречаются как в профильном, так и в базовом уровне. Это значит, что уметь верно решать подобные задания необходимо каждому школьнику. Некоторые могут сказать, что количество баллов в ЕГЭ за решение уравнений третьей степени невелико и тратить на них время нецелесообразно. С этим трудно согласиться. Во-первых, в ЕГЭ крайне важен каждый бал, во-вторых, уравнения третьей степени не так уж и сложны, если уделить им должное внимание в ходе подготовки. Для того чтобы учащийся мог оперативно и, главное, правильно выполнить подобные задания, стоит воспользоваться нашим образовательным ресурсом.

«Школково» — это уникальная платформа, которая позволяет выпускникам из Москвы и других регионов с любым уровнем математических знаний научиться решать кубические уравнения, а также другие виды, например, тригонометрические уравнения и эффективно подготовиться к сдаче ЕГЭ. Прежде всего мы рекомендуем вам начать с повторения или изучения теоретического материала по данной теме. «Школково» представляет вниманию учащихся из Москвы и других городов, которые готовятся к ЕГЭ, по сути, авторское пособие, в котором ясно и доступно изложен материал по теме «Кубические уравнения».

Помимо изложения основных определений и формул, вы сможете познакомиться с примерами по теме и изучить способы их решения. При этом стоит отметить, что наши специалисты подобрали весьма интересные варианты. Для того чтобы вы научились уверенно решать экзаменационные задачи, нужна тренировка. Поэтому рекомендуем вам затем перейти в раздел «Каталог» и приступить к самостоятельной работе с уравнениями третьей степени.

Источник