Як побудувати переріз куба площиною

Як побудувати переріз куба

Перетин будь об’ємної геометричної фігури повинно бути задано декількома параметрами, причому так, щоб воно однозначно могло бути знайдене. Площина в просторі задається трьома точками, пряма двома. Все це свідчить про те, що для цього необхідно мінімум три параметри. Чим би не була задана січна площина, якими б не були ці параметри, їх завжди можна перерахувати. У самому загальному випадку — це кут, під яким січна площина розсікає даний куб і лінія перетинання площини, яка містить нижнє підставу куба і цієї січної площини. Сам же куб і його місце положення задані автоматично.

Вам знадобиться

— Папір;
— Ручка;
— Лінійка;
— Циркуль.

Інструкція

1. Спробуйте більш докладно розібрати загальну задачу побудови перерізу куба.

Нехай січна площина задана прямий перетину її власної площини з площиною, яка містить нижнє підставу паралелепіпеда l і кутом нахилу до цієї площини ф.

Весь принцип побудови ілюструє малюнок.
Рішення.

Будь-який кут в геометричних задачах на побудову задається не самим кутом, а який-небудь його тригонометричної функцією, нехай це буде котангенс (ctg). Необхідно відміряти у будь-якій метричній системі розчином циркуля довжину Нctgф = d. Переведіть дану величину в масштаб цього завдання і, спираючись на принцип подібності всіх прямокутних трикутників із загальним гострим кутом, виконайте наступне.

На пряме l візьміть дві довільні точки N і F (бажано так, що б далі все тривало всередині нижньої основи куба АВСD). З них, як із центрів, проведіть дуги радіуса d в ​​ABCD. До цих дуг проведіть загальну дотичну l до її перетину з АВ і СD (можна і далі). Точки дотику позначте N1 і F1.

З N1 і F1 необхідно підняти перпендикуляри M1 і W1 на верхнє підставу A1B1C1D1, довжина яких дорівнює Н. Тому точки перетинів шукати не потрібно, хоча це досить просто. Тепер продовжите відрізок M1W1 до заходу з В1С1 і С1D1 в М і W відповідно. Таким чином ви знайшли першу сторону шуканого перерізу MW.

Далі необхідно в межах площині, що містить бічну грань DCC1D1, провести пряму WE з точки W (Е — її перетин з прямою l). Перетин WE з D1D — точка R. Відрізок WR — друге ребро шуканого перерізу.

Продовжіть бічне ребро куба ВВ1 в напрямку від В до В1. У площині діагонального перерізу куба BB1D1D з R проведіть пряму до її перетину з продовженням ВВ1 в точці Е2. З неї опустіть пряму до її перетину з l в Е1. Пряма Е1Е2 перетинає бічні ребра куба А1В1 і АА1 в точках L і Q відповідно. Тоді ML, LQ та QR — залишилися шукані ребра перетину куба.

Источник

ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Тема. Побудова перерізів многогранників

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати властивості паралельних площин до розв’язування вправ, побудови перерізів.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Три учні відтворюють розв’язування задач № 28, 30, 31 на дошці, в цей час клас пише математичний диктант.

Через вершини А, В, С, D: варіант 1 — паралелограма АВСD (рис. 76). Варіант 2 — трапеції АВСD (рис. 77), які лежать в одній із паралельних площин α, проведено паралельні прямі, що перетинають другу площи­ну β в точках А1, В1, С1, D1.

Користуючись зображенням, запишіть:

1) пряму, яка лежить у площині β і паралельна прямій АС; (2 бали)

2) відрізки, довжини яких дорівнюють АА1; (2 бали)

3) чому дорівнює кут А1АD1, якщо АА1D1 = 120°; (2 бали)

4) чому дорівнює довжина діагоналі ВD, якщо В1D1 = 3 см; (2 бали)

5) вид чотирикутника А1B1С1D1; (2 бали)

6) чому дорівнює площа чотирикутника А1В1С1D1, якщо площа чо­тирикутника АВСВ дорівнює 30 см2. (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. 1) А1C1; 2) ВВ1, СС1, DD1; 3) 60°; 4) 3см; 5) паралелограм; 6) 30 см2.

Варіант 2. 1) А1C1; 2) ВВ1, СС1, DD1; 3) 60° ; 4) 3см; 5) трапеція; 6) 30 см2.

3. Перевірка виконання математичного диктанту, заслуховування розв’язування задач № 28, 30, 31 та відповіді на запитання учнів, що виникли в процесі розв’язування цих задач.

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Формування вмінь учнів будувати перерізи многогранників, використовуючи властивості паралельних площин

Властивість паралельних площин широко застосовується при розв’я­зуванні задач, зокрема задач на побудову перерізів.

Побудувати переріз прямокутного па­ралелепіпеда АВСDА1B1С1D1 площи­ною α, яка проходить через вершини А, С і внутрішню точку М ребра А1В1 (рис. 78).

Розв’язання

Переріз площини α з двома гранями одержимо, побудувавши відрізки АС ТАМ. Оскільки площини граней АВСD і А1В1С1D1 паралельні, то паралельні і їх лінії перетину з площиною α, тому, по­будувавши МN || АС і відрізок МС, оде­ржимо переріз — трапецію АМКС.

1. У трикутній піраміді SАВС провести переріз:

а) через середину ребра АС паралельно грані SСВ;

б) через середину ребра SС паралельно грані SАВ.

2. Побудуйте перерізи куба площиною, яка проходить через точки М, К, Р (рис. 79).

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через дані точки: а) С1, К, D; б) С1, К, С, де точка К — середина А1В1. З’ясуйте, яка фігура утвориться в перерізі. (Відповідь, а) рівнобічна трапеція; б) прямокутник.)

4. Точка Х ділить ребро АВ куба ABCDA1B1С1D1 у відношенні АХ : ХВ = 2 : 3. Побудуйте переріз цього куба площиною, яка па­ралельна площині АА1С1 і проходить через точку X. Знайдіть пери­метр перерізу, якщо АВ = а. (Відповідь. .)

5. Доведіть, що коли перерізом паралелепіпеда е шестикутник, то його протилежні сторони паралельні.

6. Чи може перерізом куба бути правильний п’ятикутник?

7. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку Е і паралельна площині MNP (рис. 80).

8. Побудуйте прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 і його пере­різ площиною, яка проходить через: а) ребро СС1 і точку перетину діагоналей грані AA1D1D; б) точку перетину діагоналей грані ABCD і паралельно площині АВ1С1.

9. Точка А1 ділить ребро SA тетраедра SABC у відношенні SA1 : A1A = 2 : 3. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка прохо­дить через точку А1 і паралельна площині АВС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АВС — правильний трикутник і АВ = 10 см. (Відповідь. 12 см; 7 см2.)

Розв’язати наступну задачу.

Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що переріз куба площиною А1С1К, де К — середина DC, є трапеція, а перерізи куба площинами А1В1К і АА1К є паралелограмами.

IV. Підведення підсумку уроку

Усне розв’язування задач

1. ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки В1, D1 і К, де точка К — середина ребра CD, є трапеція (рис. 81).

2. ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед (рис. 82). Доведіть, що переріз його площиною, яка проходить через точки В, К, L, де точка К — середина ребра AA1, а точка L — середина ребра СС1, є паралелограм.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм «повідомлення-видалення» для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

© 2008-2022 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.

Источник

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Три учні відтворюють розв’язування задач № 28, 30, 31 на дошці, в цей час клас пише математичний диктант.

Через вершини А, В, С, D : варіант 1 — паралелограма АВС D (рис. 76). Варіант 2 — трапеції АВС D (рис. 77), які лежать в одній із паралельних площин α , проведено паралельні прямі, що перетинають другу площи­ну β в точках А ₁ , В ₁ , С ₁ , D ₁ .

Користуючись зображенням, запишіть:

1) пряму, яка лежить у площині β і паралельна прямій АС; (2 бали)

2) відрізки, довжини яких дорівнюють АА ₁ ; (2 бали)

3) чому дорівнює кут А ₁ А D ₁ , якщо АА ₁ D ₁ = 120°; (2 бали)

4) чому дорівнює довжина діагоналі В D , якщо В₁ D ₁ = 3 см; (2 бали)

6) чому дорівнює площа чотирикутника А ₁ В ₁ С ₁ D ₁ , якщо площа чо­тирикутника АВСВ дорівнює 30 см 2 . (2 бали)

Відповідь. Варіант 1. 1) А ₁ C ₁ ; 2) ВВ ₁ , СС ₁ , DD ₁ ; 3) 60°; 4) 3 см; 5) паралелограм; 6) 30 см 2 .

Варіант 2. 1) А ₁ C ₁ ; 2) ВВ ₁ , СС ₁ , DD ₁ ; 3) 60° ; 4) 3 см;

3. Перевірка виконання математичного диктанту, заслуховування розв’язування задач № 28, 30, 31 та відповіді на запитання учнів, що виникли в процесі розв’язування цих задач.

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Ф ормування вмінь учнів будувати перерізи многогранників, використовуючи властивості паралельних площин

Властивість паралельних площин широко застосовується при розв’язуванні задач, зокрема задач на побудову перерізів.

Побудувати переріз прямокутного па­ралелепіпеда АВС D А ₁ B ₁ С ₁ D ₁ площи­ною α , яка проходить через вершини А, С і внутрішню точку М ребра А ₁ В ₁ (рис. 78).

Розв’язання

Переріз площини α з двома гранями одержимо, побудувавши відрізки АС ТАМ. Оскільки площини граней АВС D і А₁В₁С₁ D ₁ паралельні, то паралельні і їх лінії перетину з площиною α , тому, по­будувавши МN || АС і відрізок МС, оде­ржимо переріз — трапецію АМКС.

1. У трикутній піраміді S АВС провести переріз:

а) через середину ребра АС паралельно грані S СВ;

б) через середину ребра S С паралельно грані S АВ.

2. Побудуйте перерізи куба площиною, яка проходить через точки М, К, Р (рис. 79).

3. Дано куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через дані точки: а) С₁, К, D ; б) С₁, К, С, де точка К — середина А₁В₁. З’ясуйте, яка фігура утвориться в перерізі. (Відповідь, а) рівнобічна трапеція; б) прямокутник.)

4. Точка Х ділить ребро АВ куба ABCDA ₁ B ₁ С₁ D ₁ у відношенні АХ : ХВ = 2 : 3. Побудуйте переріз цього куба площиною, яка па­ралельна площині АА₁С₁ і проходить через точку X. Знайдіть пери­метр перерізу, якщо АВ = а. (Відповідь. .)

5. Доведіть, що коли перерізом паралелепіпеда е шестикутник, то його протилежні сторони паралельні.

6. Чи може перерізом куба бути правильний п’ятикутник?

7. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку Е і паралельна площині MNP (рис. 80).

8. Побудуйте прямокутний паралелепіпед ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ і його пере­різ площиною, яка проходить через: а) ребро СС₁ і точку перетину діагоналей грані AA₁D₁D; б) точку перетину діагоналей грані ABCD і паралельно площині АВ₁С₁.

9. Точка А₁ ділить ребро SA тетраедра SABC у відношенні SA ₁ : A ₁ A = 2 : 3. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка прохо­дить через точку А₁ і паралельна площині АВС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АВС — правильний трикутник і АВ = 10 см . (Відповідь. 12 см ; 7 см 2 .)

Розв’язати наступну задачу.

Дано куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Доведіть, що переріз куба площиною А₁С₁К, де К — середина DC , є трапеція, а перерізи куба площинами А₁В₁К і АА₁К є паралелограмами.

IV. Підведення підсумку уроку

Усне розв’язування задач

1. ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ — прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки В ₁ , D ₁ і К, де точка К — середина ребра CD , є трапеція (рис. 81).

2. ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ — прямокутний паралелепіпед (рис. 82). Доведіть, що переріз його площиною, яка проходить через точки В, К, L , де точка К — середина ребра AA ₁ , а точка L — середина ребра СС ₁ , є паралелограм.

Источник