В единичном кубе найдите расстояние между диагональю куба

Готовимся к ЕГЭ. Задача С 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемЮлия Жадовская

Похожие презентации

Презентация по предмету «ЕГЭ» на тему: «Готовимся к ЕГЭ. Задача С 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Расстояние между скрещивающимися прямыми. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

2 Расстояние между скрещивающимися прямыми есть длина их общего перпендикуляра (отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из них). Поэтапно вычислительный метод (построение общего перпендикуляра). b ρ Пример а

3 Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно расстоянию от какой- нибудь точки второй прямой до построенной плоскости (на этом этапе можно использовать координатный метод) Метод параллельных прямой и плоскости. Пример b ρ а α А В shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/k oordinatnyj_metod_kljuchevye_za dachi/

4 Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию другой прямой. Метод ортогонального проектирования. Пример b ρ а α А В Н С СВ – проекция b

5 Если AB и CD – скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды ABCD, d – расстояние между ними, α – угол между AB и CD, V – объем пирамиды ABCD, то Опорная задача. Пример B C А D Методы нахождения угла между прямыми смотри по адресу:

6 Из системы определить координаты, затем найти Пусть, тогда выполнено условие: Определить координаты направляющих векторов и. Векторно — координатный метод. Пример B C А D Замечание: для записи координат точек М и К воспользоваться формулой: М К Если АМ:МВ=k, то

7 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA. Решение: Д. п.: ОН можно найти из треугольника АОS методом площадей. O А В С D S H OH – общий перпендикуляр к прямым BD и AS Назад

8 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA. Решение: (половина диагонали единичного квадрата ) O А В С D S H Назад

9 В правильной треугольной призме ABCA 1 C 1 B 1, все рёбра которой равны 1, найти расстояние между прямыми АA 1 и B 1 C. Решение: B C C1C1 B1B1 H А А1А1 Д. п.: ( перпендикуляр, проведенный к пересечению перпендикулярных плоскостей ) Из треугольника АСН Назад

10 В правильной усечённой четырехугольной пирамиде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами оснований равными 4 и 8 и высотой равной 6 найти расстояние между диагональю и BD 1 диагональю большего основания AC. Решение: B А С D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 O O1O1 Д. п.: H (является своей проекцией на (BB 1 D 1 )) Рассмотрим равнобедренную трапецию ВВ 1 D 1 D Назад

11 В правильной усечённой четырехугольной пирамиде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами оснований равными 4 и 8 и высотой равной 6 найти расстояние между диагональю и BD 1 диагональю большего основания AC. Решение: BD B1B1 D1D1 O Назад K H В треугольнике ВD 1 K Треугольники BD 1 K и ВОН подобны по двум углам В треугольнике ВHO

12 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: Рассмотрим пирамиду D 1 AB 1 B. За основание примем АВ 1 В, тогда высота – ВС. (диагональ единичного квадрата) А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В (диагональ единичного куба) Найдем угол между прямыми АВ 1 и В 1 D 1. Можно использовать векторно — координатный метод. Назад

13 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: Введем прямоугольную систему координат А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y Тогда: Назад

14 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба BD 1 и диагональю грани AB 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Назад

15 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В Введем прямоугольную систему координат Тогда: Пусть М К Тогда: X Z Y Назад и

16 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В X Z Y М К Назад

17 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние между диагональю куба АВ 1 и диагональю грани A 1 С 1. Решение: Назад

18 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC Тренировочные упражнения Решение 3) Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение 1)Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна 1.

19 Решение: Назад Задачи 1)Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра которого равна 1. А С D D1D1 В1В1 С А1А1 В O O1O1 Н Построим ортогональную проекцию прямой АВ 1 на плоскость (ВВ 1 D 1 ) Д. п.: Найдем О 1 Н найдем из треугольника В 1 ОО 1

20 В единичном кубе ABCDA B C D найти расстояние от точки С до плоскости АВ С. (половина диагонали единичного квадрата) (= ребру куба) С В D D1D1 В1В1 O O1O1 С А1А1 Решение: А Ответ: Задачи Н

21 Решение: А D В С М О Н Задачи 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. Рассмотрим пирамиду МАВС. За основание примем АСВ, тогда высота – МО. В треугольнике АОМ

» title=»Решение: А D В С М О Н 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. (треугольник АMD –равносторонний) Найдем угол между прямыми АD и ВС. Задачи ВС || AD =>» > 22 Решение: А D В С М О Н 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. (треугольник АMD –равносторонний) Найдем угол между прямыми АD и ВС. Задачи ВС || AD => «> «> » title=»Решение: А D В С М О Н 2) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC. (треугольник АMD –равносторонний) Найдем угол между прямыми АD и ВС. Задачи ВС || AD =>»>

23 А В С D Решение: А1А1 С1С1 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Отрезки АС 1 и ВА 1 – ребра треугольной пирамиды С 1 АВА 1 (опорная задача). 5) Объем пирамиды с основанием ВА 1 А? 4)Расстояние от точки С 1 до плоскости (BDA) (высота пирамиды)? 6) ρ(ВА 1 ;АС 1 )? 1) Длины ребер ВА 1 и АС 1 ? 2) Синус угла между прямыми ВА 1 и АС 1 ? 3) Площадь основания пирамиды – ВА 1 А? O Задачи

24 A 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: O А D А1А1 X Z Y х СхС 1) Введем прямоугольную систему координат Тогда: хDхD Найдем координаты точек С и D B X Y O C H (свойство медиан треугольника) хDхD х СхС С B С1С1 Задачи

25 Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y (середины СD и АD) Определим координаты направляющих векторов Задачи

26 Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: А В С D А1А1 С1С1 X Z Y Задачи

27 Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: А В С D А1А1 С1С1 3) Н O В треугольнике BDA Задачи

28 Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. Решение: 4) Найдем расстояние от точки С 1 до плоскости (BDA) (высоту пирамиды). Выведем уравнение плоскости (ЕFP) Задачи

29 А В С D Решение: А1А1 С1С1 3)Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна, высота пирамиды DO=6. Точки A 1, C 1 – середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми BA 1 и AC 1. 5) Найдем объем пирамиды с основанием ВА 1 А? O Задачи

30 При создании презентации использовано пособие:

Источник

Формирование знаний и умений у обучающихся по теме «Расстояние в пространстве» в заданиях ЕГЭ

Формирование знаний и умений у обучающихся по теме «Расстояние в пространстве» в заданиях ЕГЭ

Для того чтобы научить решать задачи, нужно решать задачи. Однако простое следова­ние этой рекомендации может не приве­сти к желаемому результату, поскольку задач много, все их не перерешаешь и, кроме того, при решении последующих за­дач предыдущие задачи забываются. По прошествии некоторого времени ученики могут не только не помнить, как решать задачу, которую они решали раньше, но и не помнить сам факт решения этой за­дачи. Это объясняется тем, что в процес­се решения не был отработан метод, ле­жащий в основе решения задач данного типа, не были сформированы устойчивые навыки и представления, необходимые для решения данной и аналогичных ей задач.

В методике обучения математике име­ются примеры преодоления этих труд­ностей обучения решению задач. Они основаны на выделении базовых (тренировочных) задач, закладывающих основы последующего обучения решению более трудных задач. Так, например, для того чтобы научить школьников решать ариф­метические задачи, необходимо, чтобы сначала они овладели техникой вычисле­ний, могли производить арифметические действия над числами, не делая при этом грубых ошибок. Аналогично, посколь­ку решение многих уравнений сводится к решению линейных или квадратных уравнений, то, для того чтобы научить учеников решать произвольные уравне­ния, нужно сначала научить их решать линейные и квадратные уравнения.

Если математика — это «гимнастика ума», то уместно провести аналогию меж­ду обучением математике и обучением гимнастике. Для того чтобы научить де­тей выполнять то или иное трудное гим­настическое упражнение, нужно сначала многократно повторять более легкие ба­зовые (тренировочные) упражнения, до­биваться устойчивых умений и навыков в их выполнении и только после этого переходить к обучению выполнения тре­буемого трудного упражнения. Более того, именно тренировки развивают такие гим­настические качества, как силу, ловкость, координацию

Так же следует поступать и в случае обучения решению геометрических задач. Сначала нужно выделить базовые (тре­нировочные) задачи, тренироваться в их решении до тех пор, пока не будут сфор­мированы устойчивые умения и навы­ки, а затем приступать к решению более трудных задач. При этом именно трениро­вочные упражнения будут способствовать развитию геометрических представлений и мышления учащихся.

При обучении школьников решению стереометрических задач имеется допол­нительная трудность, связанная с тем, что обычно для изображения многогранников используется параллельное проектиро­вание, которое не вполне соответствует нашему зрительному восприятию окру­жающих предметов. Школьников нужно специально учить разбираться в изобра­жениях пространственных фигур, разви­вать их пространственное воображение. Для этого учащихся следует познакомить с параллельным проектированием и его основными свойствами, показать, как изображаются основные пространствен­ные фигуры.

Обучение решению задач на нахож­дение расстояний в пространстве не только формирует необходимые умения и навыки, но и развивает пространствен­ные представления учащихся.

Отметим, что особенностью предлагае­мых задач является то, что они хоро­шо клонируются. Мы рассматриваем точ­ки и прямые на примере куба, но вместо куба можно взять прямоугольный парал­лелепипед, правильную треугольную или шестиугольную призму, пирамиду и т. д. Каждый учитель, по аналогии с предло­женными задачами, может придумывать свои задачи. [4]

Начнем с задач на нахождение рас­стояния от точки до точки в пространстве.

1. Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

1) как длину отрезка АВ, если отрезок АВ удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон;

, где

3) по формуле .

Пример 1. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 на диагоналях граней AD1 и D1 B1 взяты точки Е и F так, что D1 E = AD1 , D1 F = D1 B1 . Найдите длину отрезка EF.

Решение. Длину отрезка EF найдем по теореме косинусов из треугольника D1 EF (рис. 1), в котором D1F=, D1E=, FD1E = (треугольник AB1 D1 является равносторонним). Имеем:

откуда EF = .

Рис.1 Ответ: .

Приведем примеры данного типа задачи по 2 уровням сложности.

2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны ос­нования которой равны 1, найдите расстояние между точками В и D.

3. В правильной шестиугольной призме A. Fl9 все ребра которой равны /3, найдите расстояние между точками А и С. (Рис. 2)

2. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. (рис. 3)

Для нахождения расстояния от точки А до прямой а сначала находят основа­ние А’ перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а. Если нахождение длины перпендикуляра АА’ не вытекает непосредственно из условия задачи, то на прямой а выбирают какие-нибудь точки В, С я рассматривают треугольник АВС, в котором АА’ является высотой (рис. 4). Для нахождения высоты АА’ использу­ют теорему Пифагора или другие теоремы и формулы.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить:

1) как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;

2) используя векторный метод;

3) используя координатно-векторный метод.

Пример 2. При условиях примера 1 найдите расстояние от точки D1 до прямой EF.

Решение. Пусть h – длина высоты треугольника D1 EF , опущенной из точки D1 . Найдем h, используя метод площадей. Площадь треугольника D1EF равна D1 F D1 E sin=.

С другой стороны площадь треугольника D1EF равна . Из уравнения находим искомое расстояние .

Замечание. Можно заметить, что выполняется равенство FE2 + D1 E2 = D1 F2, то есть треугольник D1 EF прямоугольный и длина отрезка D1 E является искомым расстоянием.

Ответ: .

2. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой BC1 (рис. 5).

Рис. 5

Здесь для доказательства перпенди­кулярности прямых АВ и ВС1 можно воспользоваться тем, что прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и, значит, перпендикулярна любой пря­мой, лежащей в этой плоскости. Иско­мое расстояние равно длине отрезка АВ и равно 1.

2′. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой а) DС1; б) А1С1.

Так же как и в предыдущих задачах, вместо точки А можно брать любую дру­гую вершину куба.

2». В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до пря­мой СВ1 (рис. 6).

В этой задаче требуется построить (изо­бразить) искомый перпендикуляр. Заме­тим, что треугольник АСВ1 — равносто­ронний, следовательно, его медиана АМ будет высотой (рис. 7). Таким образом, для построения искомого перпендикуляра до­статочно отметить середину М отрезка СВ1 и соединить ее с точкой А. Так как стороны треугольника АСВ1 равны , искомое расстояние равно .

2»’. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до пря­мой а) СD1; б) B1D1.

Следующие задачи наиболее трудные.

3. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до пря­мой ВD1 (рис. 8).

Для нахождения искомого перпенди­куляра рассмотрим треугольник АВD1 (рис. 9). Он является прямоугольным (угол А — прямой) с катетами АВ =1, АD1 = и гипотенузой ВD1=. Най­дем его высоту АN. Для этого можно ис­пользовать или преобразование подобия, или тригонометрические функции, или площадь треугольника. Искомое расстояние равно .

3′. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до пря­мой: а) DB1 ; б) СА1.

3. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Расстояние от точки М до плоскости α

1) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой l, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α ;

2) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;

3) вычисляется по формуле, где ρ=ρ(M;α), ρ1 =ρ(M1;α), OM = r, OM1 = r1, MM1 ∩α = 0; в частности, ρ=ρ1 , если r = r1:

прямая m, проходящая через точку М, пересекает плоскость α в точке О, а точка М1 лежит на прямой m;

4) вычисляется по формуле ρ(M;α) = ρ(M; ABC) = , где треугольник

АВС расположен на плоскости α, а объем пирамиды АВСМ равен V ABCM;

5) вычисляется по формуле , где M (x0; y0; z0), плоскость α задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0;

6) находится с помощью векторного метода;

7) находится с помощью координатно-векторного метода.

Пример 3. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите расстояние от точки С1 до плоскости АВ1 С.

Решение. Так как прямая А1 С1 параллельна АС, то прямая А1С1 параллельна плоскости АВ1 С (рис. 10). Поэтому искомое расстояние h равно расстоянию от произвольной точки прямой А1 С1 до плоскости АВ1С . Например, расстояние от центра О1 квадрата A1 B1C1 D1 до плоскости АВ1 С равно h.

Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О1 на прямую В1О, где О – центр квадрата ABCD. Прямая О1 Е лежит в плоскости BB1 D1 D , а прямая АС перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О1 Е АС и

О1 Е — перпендикуляр к плоскости АВ1 С, а О1 Е = h .

Так как B1O1=,O1O=1, то .

Выражая двумя способами площадь треугольника B1O1O, получим

, откуда .

2. В кубе A. D1, ребра которого равны /2, найдите расстояние от точки В до плоскости АВ1С1 (рис. 11)

3. В единичном кубе A. D1 найдите расстояние от точки В до плос­кости АСВ1.

Перейдем теперь к задачам на нахож­дение расстояния между двумя скрещи­вающимися прямыми.

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Напомним, что расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.

Если одна из двух данных скрещи­вающихся прямых лежит в плоскости, а другая — параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между второй прямой и плоскостью (рис. 12).

Рис. 12

Если данные скрещивающиеся прямые а и b лежат соответственно в параллель­ных плоскостях и, то расстояние между прямыми а и b равно расстоянию между плоскостями и. В этом случае длина перпендикуляра СD опущенного из произвольной точки С плоскости на плоскость , будет равна расстоянию между прямыми а и b (рис. 13).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

1) равно расстоянию от любой точки одной из тих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой;

2) равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые;

если ортогональная проекция на плоскость α переводит прямую а в точку А, а прямую b в прямую b1 , то расстояние между скрещивающимися прямыми а и b равно расстоянию от точки А до прямой b1;

4) вычисляется по формуле , где А и В – точки

на одной прямой, С и D – точки на другой прямой, ϕ — угол между данными прямыми;

5) определяется с помощью векторного метода;

6) определяется с помощью координатно-векторного метода.

Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BD и SA.

Решение. Пусть Е – основание перпендикуляра (рис. 14), опущенного из точки О на ребро SA. Так как прямая BD перпендикулярна плоскости

AOS, то BD OE .

Таким образом, ОЕ – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым BD и SA.

Найдем его длину, вычислив двумя способами площадь треугольника AOS.

Из равенства AO SO = AS OE, где AO = , AS =1, SO = следует, что

OE = .

2. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми АА1 и ВD1 (рис. 15).

Здесь общим перпендикуляром являет­ся отрезок ЕF, соединяющий середины отрезков АА1 и ВD1 (рис. 16).

Действительно, пусть О — центр гра­ни АВСD (рис. 17). В четырехугольнике АОЕF стороны АЕ и ОF равны и парал­лельны. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм, следовательно, стороны ЕF и АО равны и параллельны.

Прямая АА1 перпендикулярна АО, так как она перпендикулярна плоскости АВС. Прямая ВD1 перпендикулярна АО по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно. и прямая ЕF перпендику­лярна АA1 и ВD1. Значит, отрезок ЕF является искомым общим перпендикуляром, длина которого равна .

2′. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми: а) АА1 и DВ1 ;б) АВ и СА1; в) ВС и АС1 ; г) СD и ВD1; д) АD и ВD1.

Наиболее трудной из этой серии явля­ется следующая задача.

3. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВС1 (рис. 18).

Расстояние между данными прямы­ми равно расстоянию между парал­лельными плоскостями АВ1D1 и ВDС1 (рис. 19).

Диагональ СА1 перпендикулярна этим плоскостям и делится ими в точках пересечения Е и F на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка ЕР и равно .

3′. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми: а) ВА1 и СВ1; б) ВА1 и АС; в) ВA1 и В1D1; г) ВА1 и АD1.

Можно доказать следующие утверждения.

Утверждение 1. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует и единственный.

Утверждение 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.

Приведенных сведений достаточно, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в простых случаях. Расстояние между фигурами F1 и F2 обозначается р (F1, F2).

Утверждение 3. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.

Пусть а и b — скрещивающиеся прямые и плоскость перпендикулярна прямой а. Прямая b пересекает плоскость а в точке С (рис. 20). Пусть отрезок АВ — общий перпендикуляр прямых а и b (он существует по утверждению 1). Проекцией отрезка АВ па плоскость является отрезок А1B1, перпендикулярный отрезкам АА1 и ВВ1. Так как отрезок АВ перпендикулярен наклонной СВ, то он перпендикулярен и ее проекции СВ1 (по теореме о трёх перпендикулярах). То есть длина отрезка А1B1 есть расстояние от точки А1 (проекции прямой а на плоскость ) до прямой СВ1 (проекции прямой b на плоскость ).

Противоположные стороны АВ и А1B1 прямоугольника АВВ1А1 равны, поэтому расстояние АВ между скрещивающимися прямыми равно расстоянию А1B1 между их проекциями па плоскость , перпендикулярную прямой а, что и требовалось доказать.

Итак, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то постройте их общий перпендикуляр и найдите его длину; или найдите параллельные плоскости, в которых лежат данные прямые, и найдите расстояние между этими плоскостями; или спроектируйте эти прямые на плоскость, перпендикулярную одной из них, и найдите расстояние между их проекциями.

1. Поэтапно-вычислительный метод

3. Координатно-векторный метод

Пример 5. В единичном кубе ABCDA1 B 1C1 D1 точки Е и К — середины ребер AA1 и CD соответственно, а точка М расположена на диагонали B1 D1 так, что B1 M = 2MD1. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина

отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML = 2LK.

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 21. Тогда E (0;0;), К (1; ;0), В1 (0;1;1) , D1 (1;0;1) . Для нахождения координат точки М используем формулу координат точки, делящей отрезок

B1 D1 в отношении 2:1. Имеем М (;; ) = (;;1) . Аналогично получим координаты точки L, делящей отрезок МК в отношении 2:1. Имеем

L (;; ) = (;; )

Координаты точки Q равны полусуммам соответствующих координат точек Е и М, поэтому Q(;; ) . Применим формулу для расстояния между точками с заданными координатами

Ответ:

Пример 6. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости BDC1 .

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки B(0;1;0), D(1;0;0) и C1 (1;1;1) рис. 22. Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 . Получим систему уравнений

или

Отсюда находим уравнение − DxDy + Dz + D =0 или x + yz −1 = 0 . По формуле находим расстояние от точки А1 (0;0;1) до плоскости β = BDC1:

Ответ:

2. Координатно-векторный метод

Пример 7. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между диагональю куба BD1 и диагональю грани AB1 .

Решение. Введем прямоугольную систему координат (рис. 23), тогда

Пусть EF – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и AB1 , то есть EF AB1 , EF BD1 , причем E AB1 и F BD1 . Обозначим и воспользуемся формулами для координат точки, которая делит данный отрезок в заданном отношении. Получим E (0;; ),F(;;). Пусть = p, =q, тогда E(0; p; p),F (q;1− q;q) Так как вектор Рис. 23

= (q; 1− qp; qp) должен быть перпендикулярным векторам = (0;1;1) и (1;- 1; 1), то имеем систему уравнений:

или

Ответ:

Пример 8. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите расстояние от точки D1 до прямой РQ, где Р и Q – середины соответственно ребер A1 B1 и ВС.

Решение. Пусть , , (рис. 24), тогда , .

Выразим вектор через базисные векторы :

.

Пусть D1 N PQ , где N PQ . Выразим вектор , учитывая коллинеарность векторов и :

. Так как , то . Отсюда получаем .

. Рис. 24

.

Ответ:

Пример 9. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости BDC1 .

Решение. Пусть , , (рис. 25), тогда , .

Выразим некоторые векторы через базисные векторы : , ,.

Пусть МА1 BDC1 , где M BDC1 . Вектор , поэтому.

Далее имеем

Так как .

,

,

,

, то имеем Рис. 25

Ответ:

Пример 10. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите расстояние между прямыми AB1 и BD.

Решение. Пусть , , (рис. 26), тогда , .

Если M и N – основания общего перпендикуляра прямых AB1 и BD соответственно, то имеем , ,

Вектор перпендикулярен векторам и , поэтому имеем

Рис. 26

Ответ:

При составлении уравнения используется объем фигуры, выраженный двумя независимыми способами.

Пример 11. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно а. Найдите расстояние от точки С до плоскости BDC1 .

Решение. Искомое расстояние х равно высоте CQ (рис. 27), опущенной в пирамиде BCDC1 из вершины С на основание BDC1 .

Объем этой пирамиды равен

. С другой стороны, так как треугольник BDC1 равносторонний со стороной а, объем пирамиды равен

. Отсюда получаем уравнение , из которого находим

x =.

Ответ:

, ,

2. Найти угол между диагоналями смежных граней куба.

3. Найти угол между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.

4. Найти угол между диагональю куба и плоскостью, проведенной через концы трех ребер куба, выходящих из той же вершины, что и диагональ.

5. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 диагональ BD1 перпендикулярна плоскостям AB1 C и A1 DC1 и делится ими на три равные части.

6. Отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

7. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны.

8. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер правильного тетраэдра, является их общим перпендикуляром и имеет длину , где а – длина ребра.

9. Любое сечение треугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее скрещивающимся ребрам, является параллелограммом.

10. Любое сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее скрещивающимся ребрам, есть прямоугольник.

Приведем пример использования метода ключевых задач.

Если AB и CD – скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды ABCD, r – расстояние между ними, АВ = а , CD = b , ϕ — угол между AB и CD, V – объем пирамиды ABCD, то .

Пример 12. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите расстояние между диагональю куба BD1 и диагональю грани AB1 .

Решение. Найдем искомое расстояние по формуле

, где V – объем пирамиды ABB1D1 (рис. 28), AB1 = , BD= ,

— угол между прямыми BD1 и AB1 . Так как площадь основания АВВ1 пирамиды ABB1 D1 равна , а высота A1 D1 равна 1, то V = . Следовательно,

.

Ученикам нужно показывать, что возможно одну и ту же задачу решить несколькими способами, различными методами. Предлагается рассмотреть решение одной задачи четырьмя способами: геометрическим, координатным, векторным и векторно-координатным.

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 . Найти расстояние между (AD1) и (DB1) и вы­числить его при а = 4, b = 6, с =.

Прямые AD1 и DB1 — скрещивающиеся. Чтобы найти расстояние ме­жду ними, достаточно через одну из них (например, DB1) провести плос­кость П, параллельную другой прямой (AD1). Плоскость П вполне определяется прямыми (DB1) и (DE), где (DE) || (AD1). Плоскость П пересекает грани параллелепипеда по FB1PD (Рис. 29). Искомое расстояние сводится к расстоянию от произвольной точки прямой AD1 до плоскости П(EDB1). Найдем расстояние от точки D1 до плоскости EDB1.

Проведем D1K B1E. Тогда по теореме о трех перпен­дикулярах DK EF. Значит, плоскость DD1K пл. П. Проведем D1L DK. искомое расстояние.

Проектируя ортогонально прямую AD1 на плоскость П, получим прямую AD‘1 параллельную прямой AD1. Точку пересечения прямых (AD‘1) и (DB‘1) обозначим через M‘. Эта точка является проекцией точки М, принадлежащей прямой (AD1).

ММ’ — искомый перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Для вычисления этого рас­стояния можно найти расстояние от любой точки прямой (AD1) до плоскости П. В нашем случае (рис. 32) это D1L. Из треугольника D1EF следует ,

Из треугольника D1KD имеем и

Введем векторный базис. Пусть базисными векторами будут, , , а их модулями соответственно а, b и с. Найдем разложение данных векторов и по базисным (рис. 30):

Пусть MN — искомый отрезок общего перпендикуляра. Выразим вектор через базисные:

Так как и , то скалярные произведения, . Рис. 30

Из этого условия находим и.

Учитывая ортогональность базисных векторов, получим:

Из этой системы находим значения и, а затем и модуль вектора .

.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми может быть сведено, как и в первом случае к нахождению расстояния от любой точки одной прямой до плоскости, которая проходит через другую пря­мую, параллельно первой. Эту плоскость можно задать так: пусть Р — сере­дина [АВ] и F — середина [D1C1 ], тогда, (PF) (AD1), а плоскость DPB1F проходит через (DB1), и (AD1) плоскости DPB1.

Выбрав в пространстве прямоугольную систему координат, найдем уравнение плоскости DPB1 а затем и расстояние от какой-нибудь точки прямой (AD1) до этой плоскости.

Пусть D(0, 0, 0) — начало координат, (DA) — ось абсцисс, (DC) – ось ординат a (DD1) — ось z — аппликат.

Тогда уравнение плоскости, опреде­ляемой точками D(0, 0, 0),

D1(0, 0, с) или А (а, 0, 0) — точки пря­мой (AD1). Расстояние .

4. Координатно-векторное ре­шение.

Сущность его в том, что базисные векторы задаются координатами (a,0,0), (0,b,0), (0,0,с). Аналогично рассуждению во втором случае, находим вектор ( x,y,z) и записываем условие перпендикуляр­ности векторов (равенство нулю скалярного произведения) тоже в коорди­натной форме:

Предлагаемая методика тренировоч­ных задач реализована в пособиях [1], [2], [3], в которых подробно рассмотрены не только задачи на нахождение расстояний в пространстве, но и задачи на нахожде­ние углов, объемов, площадей поверхно­стей и др.

Литература

1. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ/ Под ред. , . – М.: МЦНМО, 2009.— 272 с.

2. Гордин должен знать каждый матшкольник. — 2-е изд., испр.— М.: МЦНМО, 2003. — 56 с.

3. Готман задачи и методы их решения.- М.: МЦНМО, 2006. – 160с.: ил.

4. , Смирнов ­трия. Расстояния и углы в пространстве. —М.: Экзамен, 20ЕГЭ 100 баллов).

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector