Свойство куба в алгебре

Куб (алгебра)

Кубом числа называется результат умножения числа на само себя трижды (возведения числа в степень 3). Куб величины обозначается так:

.

Содержание

Последовательность кубов

Далее приведено начало числовой последовательности для кубов неотрицательных чисел (последовательность A000578 в OEIS):

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых положительных натуральных чисел вычисляется по формуле:

Вывод формулы

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии [1] . Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
Таблица умножения и арифметическая прогрессия
× 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

Геометрический смысл

Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.

Некоторые свойства

  • В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
  • В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифра
предпоследняя
цифра
0 0
5 2, 7
4, 8 чётная
2, 6 нечётная
1, 3, 7, 9 любая

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Куб (алгебра)» в других словарях:

Квадрат (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Квадрат (значения). y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25 Квадратом числа называется результат умножения числа на себя (воз … Википедия

Список статей по математической логике — Это служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не ус … Википедия

Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия

Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Параллелепипед — (от греч. παράλλος параллельный и греч. επιπεδον плоскость) призма, основанием которо … Википедия

МНОГОГРАННИК — часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

8 (число) — 8 восемь 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 Факторизация: 2×2×2 Римская запись: VIII Двоичное: 1000 Восьмеричное: 10 Шестнадцатеричное: 8 … Википедия

Тетраэдр — (греч. τετραεδρον четырёхгранник) простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Содержание 1 Связанные определения … Википедия

Карта Карно — Рис. 1 Пример Куба Карно Куб Карно графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного… … Википедия

Восемь — 8 восемь 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 Факторизация: 2×2×2 Римская запись: VIII Двоичное: 1000 Восьмеричное: 10 Шестнадцатеричное … Википедия

Источник

Что такое куб: определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

  • a – ребро куба;
  • d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Источник

Свойство куба в алгебре

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Площадь полной поверхности: $S_<п.п>=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R=/<2>$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/<2>$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

  1. Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ — длина стороны.
  2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Источник

Куб (алгебра) — Cube (algebra)

В арифметика и алгебра, то куб из числа п это его третий мощность, то есть результат умножения трех экземпляров п вместе. Куб числа или любой другой математическое выражение обозначается a надстрочный индекс 3, например 2 3 = 8 или же (Икс + 1) 3 .

Куб — это также число, умноженное на его квадрат:

В функция куба это функция ИксИкс 3 (часто обозначается у = Икс 3 ), который отображает число в свой куб. Это нечетная функция, так как

В объем из геометрический куб — это куб с длиной стороны, от которой и произошло название. В обратный операция, заключающаяся в нахождении числа, куб которого п называется извлечением кубический корень из п . Он определяет сторону куба данного объема. Это также п в степени одной трети.

В график кубической функции называется кубическая парабола. Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в происхождении, но нет ось симметрии.

Содержание

В целых числах

А номер куба, или идеальный куб, а иногда просто куб, это число, которое является кубом целое число.Идеальные кубики до 60 3 являются (последовательность A000578 в OEIS):

0 3 = 0
1 3 = 1 11 3 = 1331 21 3 = 9261 31 3 = 29,791 41 3 = 68,921 51 3 = 132,651
2 3 = 8 12 3 = 1728 22 3 = 10,648 32 3 = 32,768 42 3 = 74,088 52 3 = 140,608
3 3 = 27 13 3 = 2197 23 3 = 12,167 33 3 = 35,937 43 3 = 79,507 53 3 = 148,877
4 3 = 64 14 3 = 2744 24 3 = 13,824 34 3 = 39,304 44 3 = 85,184 54 3 = 157,464
5 3 = 125 15 3 = 3375 25 3 = 15,625 35 3 = 42,875 45 3 = 91,125 55 3 = 166,375
6 3 = 216 16 3 = 4096 26 3 = 17,576 36 3 = 46,656 46 3 = 97,336 56 3 = 175,616
7 3 = 343 17 3 = 4913 27 3 = 19,683 37 3 = 50,653 47 3 = 103,823 57 3 = 185,193
8 3 = 512 18 3 = 5832 28 3 = 21,952 38 3 = 54,872 48 3 = 110,592 58 3 = 195,112
9 3 = 729 19 3 = 6859 29 3 = 24,389 39 3 = 59,319 49 3 = 117,649 59 3 = 205,379
10 3 = 1000 20 3 = 8000 30 3 = 27,000 40 3 = 64,000 50 3 = 125,000 60 3 = 216,000

С геометрической точки зрения положительное целое число м идеальный куб если и только если можно устроить м твердые единичные кубы в более крупный твердый куб. Например, 27 маленьких кубиков можно сложить в один больший, имеющий вид Кубик Рубика, поскольку 3 × 3 × 3 = 27 .

Разницу между кубиками последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

Минимального идеального куба не существует, поскольку куб с отрицательным целым числом отрицателен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

База десять

В отличие от идеальные квадраты, у совершенных кубов нет небольшого числа возможностей для последних двух цифр. За исключением кубиков, кратных 5, где только 25, 75 и 00 может быть двумя последними цифрами, любой пара цифр с нечетной последней цифрой может быть последней цифрой идеального куба. С четное кубов, существует значительное ограничение, только 00, о 2, е 4, о 6 и е 8 может быть двумя последними цифрами идеального куба (где о обозначает любую нечетную цифру и е для любой четной цифры). Некоторые числа куба также являются квадратными числами; например, 64 — квадратное число (8 × 8) и число куба (4 × 4 × 4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число является точной шестой степенью (в данном случае 2 6 ).

Последние цифры каждой третьей степени:

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, потому что все идеальные кубики должны иметь цифровой корень 1, 8 или же 9. Это их ценности по модулю 9 может быть только -1, 1 и 0. Более того, цифровой корень куба любого числа может быть определен остатком, полученным при делении числа на 3:

  • Если число Икс делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; то есть,

если Икс ≡ 0 ( мод 3 ) тогда Икс 3 ≡ 0 ( мод 9 ) (фактически 0 ( мод 27 ) ) ; < displaystyle < text > quad x Equiv 0 < pmod <3>> quad < text > quad x ^ <3>Equiv 0 < pmod <9>>< text <(фактически>> quad 0 < pmod <27>>< text <)>>;>

  • Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; то есть,

если Икс ≡ 1 ( мод 3 ) тогда Икс 3 ≡ 1 ( мод 9 ) ; < displaystyle < text > quad x Equiv 1 < pmod <3>> quad < text > quad x ^ <3>Equiv 1 < pmod <9>>; >

  • Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; то есть,

если Икс ≡ − 1 ( мод 3 ) тогда Икс 3 ≡ − 1 ( мод 9 ) . < displaystyle < text > quad x Equiv -1 < pmod <3>> quad < text > quad x ^ <3>Equiv -1 < pmod <9>>.>

Проблема Варинга для кубиков

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубиков. Этот верхний предел в девять кубиков не может быть уменьшен, потому что, например, 23 не может быть записано как сумма менее девяти положительных кубиков:

23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 .

Суммы трех кубиков

Предполагается, что любое целое число (положительное или отрицательное) не конгруэнтный к ±4 по модулю 9 можно записать в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубиков бесконечным числом способов. [1] Например, 6 = 2 3 + ( − 1 ) 3 + ( − 1 ) 3 < Displaystyle 6 = 2 ^ <3>+ (- 1) ^ <3>+ (- 1) ^ <3>> . Целые числа, соответствующие ±4 по модулю 9 исключены, потому что они не могут быть записаны в виде суммы трех кубиков.

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, — 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы 3-кубов, 42, удовлетворяло этому уравнению: [2] [ нужен лучший источник ]

42 = ( − 80538738812075974 ) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 . < displaystyle 42 = (- 80538738812075974) ^ <3>+ 80435758145817515 ^ <3>+ 12602123297335631 ^ <3>.>

Одно решение Икс 3 + у 3 + z 3 = п < displaystyle x ^ <3>+ y ^ <3>+ z ^ <3>= n> приведено в таблице ниже для п ≤ 78 , и п не соответствует 4 или же 5 по модулю 9 . Выбранное решение является примитивным ( gcd (Икс, у, z) = 1 ), не имеет вида Икс 3 + ( − Икс ) 3 + п 3 = п 3 < displaystyle x ^ <3>+ (- x) ^ <3>+ n ^ <3>= n ^ <3>> , удовлетворяет 0 ≤ | Икс | ≤ | у | ≤ | z | , и имеет минимальные значения для | z | и | у | (проверено в таком порядке). [3]

Выбираются только примитивные решения, так как непримитивные решения могут быть тривиально выведены из решений для меньшего значения п . Например, для n = 24 , решение 2 3 + 2 3 + 2 3 = 24 < displaystyle 2 ^ <3>+ 2 ^ <3>+ 2 ^ <3>= 24> результаты из решения 1 3 + 1 3 + 1 3 = 3 < displaystyle 1 ^ <3>+ 1 ^ <3>+ 1 ^ <3>= 3> умножив все на 8 = 2 3 . < displaystyle 8 = 2 ^ <3>.> Следовательно, это другое решение, которое выбрано. Аналогично для п = 48 , решение (Икс, у, z) = (-2, -2, 4) исключен, и это решение (Икс, у, z) = (-23, -26, 31) что выбрано.

п Икс у z п Икс у z
1 9 10 −12 39 117367 134476 −159380
2 0 1 1 42 12602123297335631 80435758145817515 −80538738812075974
3 1 1 1 43 2 2 3
6 −1 −1 2 44 −5 −7 8
7 0 −1 2 45 2 −3 4
8 9 15 −16 46 −2 3 3
9 0 1 2 47 6 7 −8
10 1 1 2 48 −23 −26 31
11 −2 −2 3 51 602 659 −796
12 7 10 −11 52 23961292454 60702901317 −61922712865
15 −1 2 2 53 −1 3 3
16 −511 −1609 1626 54 −7 −11 12
17 1 2 2 55 1 3 3
18 −1 −2 3 56 −11 −21 22
19 0 −2 3 57 1 −2 4
20 1 −2 3 60 −1 −4 5
21 −11 −14 16 61 0 −4 5
24 −2901096694 −15550555555 15584139827 62 2 3 3
25 −1 −1 3 63 0 −1 4
26 0 −1 3 64 −3 −5 6
27 −4 −5 6 65 0 1 4
28 0 1 3 66 1 1 4
29 1 1 3 69 2 −4 5
30 −283059965 −2218888517 2220422932 70 11 20 −21
33 −2736111468807040 −8778405442862239 8866128975287528 71 −1 2 4
34 −1 2 3 72 7 9 −10
35 0 2 3 73 1 2 4
36 1 2 3 74 66229832190556 283450105697727 −284650292555885
37 0 −3 4 75 4381159 435203083 −435203231
38 1 −3 4 78 26 53 −55

Последняя теорема Ферма для кубов

Уравнение Икс 3 + у 3 = z 3 не имеет нетривиальных (т.е. xyz ≠ 0 ) решения в целых числах. На самом деле его нет в Целые числа Эйзенштейна. [4]

Оба эти утверждения верны и для уравнения [5] Икс 3 + у 3 = 3z 3 .

Сумма первых п кубики

Сумма первых п кубики п th номер треугольника в квадрате:

1 3 + 2 3 + ⋯ + п 3 = ( 1 + 2 + ⋯ + п ) 2 = ( п ( п + 1 ) 2 ) 2 . < displaystyle 1 ^ <3>+ 2 ^ <3>+ dots + n ^ <3>= (1 + 2 + dots + n) ^ <2>= left ( < frac <2>> right) ^ <2>.>

Доказательства.Чарльз Уитстон (1854) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с предоставления личности

п 3 = ( п 2 − п + 1 ) + ( п 2 − п + 1 + 2 ) + ( п 2 − п + 1 + 4 ) + ⋯ + ( п 2 + п − 1 ) ⏟ п последовательные нечетные числа . < displaystyle n ^ <3>= underbrace < left (n ^ <2>-n + 1 right) + left (n ^ <2>-n + 1 + 2 right) + left (n ^ <2>-n + 1 + 4 right) + cdots + left (n ^ <2>+ n-1 right)> _ >>.>

Эта личность связана с треугольные числа Т п < displaystyle T_ > следующим образом:

п 3 = ∑ k = Т п − 1 + 1 Т п ( 2 k − 1 ) , < displaystyle n ^ <3>= sum _ +1> ^ > (2k-1),>

и, таким образом, слагаемые, образующие п 3 < Displaystyle п ^ <3>> начинаются сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения 1 3 < displaystyle 1 ^ <3>> вплоть до ( п − 1 ) 3 < Displaystyle (п-1) ^ <3>> .Применение этого свойства вместе с другим хорошо известным идентификатором:

∑ k = 1 п k 3 = 1 + 8 + 27 + 64 + ⋯ + п 3 = 1 ⏟ 1 3 + 3 + 5 ⏟ 2 3 + 7 + 9 + 11 ⏟ 3 3 + 13 + 15 + 17 + 19 ⏟ 4 3 + ⋯ + ( п 2 − п + 1 ) + ⋯ + ( п 2 + п − 1 ) ⏟ п 3 = 1 ⏟ 1 2 + 3 ⏟ 2 2 + 5 ⏟ 3 2 + ⋯ + ( п 2 + п − 1 ) ⏟ ( п 2 + п 2 ) 2 = ( 1 + 2 + ⋯ + п ) 2 = ( ∑ k = 1 п k ) 2 . < Displaystyle < begin sum _ ^ k ^ <3>& = 1 + 8 + 27 + 64 + cdots + n ^ <3>& = underbrace <1>_ <1 ^ <3>> + underbrace <3 + 5>_ <2 ^ <3>> + underbrace <7 + 9 11>_ <3 ^ <3>> + underbrace <13 + 15 17 19>_ <4 ^ <3>> + cdots + underbrace < left (n ^ <2>-n + 1 right) + cdots + left (n ^ <2>+ n-1 right)> _ > & = underbrace < underbrace < underbrace < underbrace <1>_ <1 ^ <2>> + 3> _ <2 ^ <2>> + 5> _ <3 ^ <2>> + cdots + left (n ^ <2>+ n-1 right)> _ < left (< frac + n> <2>> right) ^ <2>> & = (1 + 2 + cdots + n) ^ <2>& = < bigg (>sum _ ^ k < bigg)>^ <2>. end >>

В более поздней математической литературе Штейн (1971) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFStein1971 (помощь) использует интерпретацию этих чисел с подсчетом прямоугольников, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. также Бенджамин, Куинн и Вурц 2006 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBenjaminQuinnWurtz2006 (помощь) ); он замечает, что это также можно легко (но малоинформативно) доказать по индукции, и утверждает, что Теплиц (1963) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFToeplitz1963 (помощь) дает «интересное старинное арабское доказательство». Каним (2004) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKanim2004 (помощь) обеспечивает чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBenjaminOrrison2002 (помощь) предоставить два дополнительных доказательства, и Нельсен (1993) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFNelsen1993 (помощь) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 = 15 2 < displaystyle 1 ^ <3>+ 2 ^ <3>+ 3 ^ <3>+ 4 ^ <3>+ 5 ^ <3>= 15 ^ <2>>

Аналогичный результат можно дать для суммы первых у странный кубики

1 3 + 3 3 + ⋯ + ( 2 у − 1 ) 3 = ( Икс у ) 2 < Displaystyle 1 ^ <3>+ 3 ^ <3>+ точки + (2y-1) ^ <3>= (ху) ^ <2>>

но Икс , у должен удовлетворять отрицательный Уравнение Пелла Икс 2 − 2у 2 = −1 . Например, для у = 5 и 29 , тогда,

1 3 + 3 3 + ⋯ + 9 3 = ( 7 ⋅ 5 ) 2 < displaystyle 1 ^ <3>+ 3 ^ <3>+ dots + 9 ^ <3>= (7 cdot 5) ^ <2>> 1 3 + 3 3 + ⋯ + 57 3 = ( 41 ⋅ 29 ) 2 < displaystyle 1 ^ <3>+ 3 ^ <3>+ dots + 57 ^ <3>= (41 cdot 29) ^ <2>>

и так далее. Кроме того, каждый четное идеальное число, кроме самого низкого, это сумма первых 2 п−1 / 2
нечетные кубики (п = 3, 5, 7, . ):

28 = 2 2 ( 2 3 − 1 ) = 1 3 + 3 3 < displaystyle 28 = 2 ^ <2>(2 ^ <3>-1) = 1 ^ <3>+ 3 ^ <3>> 496 = 2 4 ( 2 5 − 1 ) = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 < displaystyle 496 = 2 ^ <4>(2 ^ <5>-1) = 1 ^ <3>+ 3 ^ <3>+ 5 ^ <3>+ 7 ^ <3>> 8128 = 2 6 ( 2 7 − 1 ) = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 < displaystyle 8128 = 2 ^ <6>(2 ^ <7>-1) = 1 ^ <3>+ 3 ^ <3>+ 5 ^ <3>+ 7 ^ <3>+ 9 ^ <3>+ 11 ^ <3>+ 13 ^ <3>+ 15 ^ <3>>

Сумма кубиков чисел в арифметической прогрессии

Примеры кубиков чисел в арифметическая прогрессия сумма которого равна кубу:

с первым, который иногда называют таинственным Число Платона. Формула F для нахождения суммы п кубики чисел в арифметической прогрессии с общей разницей d и начальный куб а 3 ,

F ( d , а , п ) = а 3 + ( а + d ) 3 + ( а + 2 d ) 3 + ⋯ + ( а + d п − d ) 3 < Displaystyle F (d, a, n) = a ^ <3>+ (a + d) ^ <3>+ (a + 2d) ^ <3>+ cdots + (a + dn-d) ^ < 3>>

F ( d , а , п ) = ( п / 4 ) ( 2 а − d + d п ) ( 2 а 2 − 2 а d + 2 а d п − d 2 п + d 2 п 2 ) < Displaystyle F (d, a, n) = (n / 4) (2a-d + dn) (2a ^ <2>-2ad + 2adn-d ^ <2>n + d ^ <2>n ^ < 2>)>

известен частным случаем d = 1 , или последовательные кубы, но известны только спорадические решения для целых d > 1 , Такие как d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39 и т. Д. [6]

Кубики как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, . первые один это куб ( 1 = 1 3 ); сумма следующих два следующий куб ( 3 + 5 = 2 3 ); сумма следующих три следующий куб ( 7 + 9 + 11 = 3 3 ); и так далее.

В рациональных числах

Каждый положительный Рациональное число это сумма трех положительных рациональных кубов, [7] и есть рациональные числа, не являющиеся суммой двух рациональных кубов. [8]

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Добавить комментарий

Adblock
detector