Существует точка равноудаленная от всех ребер куба

Комбинации шара с многогранниками и круглыми телами (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

Ответ:.

29. Все ребра тетраэдра ABCD имеют одинаковую длину. На ребрах АВ, АС,

AD выбраны соответственно точки K, L, M так, что КВ=15, MD=10. Известно, что радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCD равен, а объем пирамиды AKLM равен . Найти сумму радиусов двух шаров, вписанного в пирамиду и описанного около нее.

Ответ:.

30. Основанием вписанной в сферу четырехугольной пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Найти диагональ SD, если SA=7, SB=3, SC=6 и .

§2. ШАР, КАСАЮЩИЙСЯ РЕБЕР МНОГОГРАННИКА

Пусть шар касается всех ребер некоторого многогранника. Тогда справедливы следующие утвержде­ния:

(1) каждая грань многогранника пересекает поверхность шара по окружности, касающейся ребер многогранника, то есть по окружности, вписанной в грань; тем самым гранями многогранника будут такие многоугольники, в которые можно вписать окружность;

(2) основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на любую грань многогранника, является центром окружности, вписанной в эту грань;

(3) перпендикуляры, восставленные к плоскостям граней в центрах вписанных окружностей, пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех ребер многогранника — в центре шара:

(4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра шара на ребро многогранника, равен радиусу шара.

Теперь рассмотрим некоторые типы многогранников, для которых существует указанный шар.

Шар, касающийся ребер призмы

Т е о р е м а 2.1. Шар, касающийся всех ребер призмы, существует тогда и только тогда, когда эта призма правильная и все ее ребра равны между собой.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть искомый шар существует. Сначала докажем, что тогда призма — пря­мая. Проведем через центр К шара, высоту призмы: КO (АВС), ().По свой­ству (2) точки O и являются центрами окружностей, вписанных в равные основания призмы, следовательно, = OM (, ) как радиусы равных окружностей. Точки O,, M и лежат в одной плоскости, проходя­щей через прямую , и перпендикулярной к АВ, по­этому прямоугольник и

(ABC). Далее, ∆ = ∆OMB, поэтому , то есть — прямоугольник, || (ABC).

Таким образом, боковые грани призмы являются прямоугольниками. Но по свойству (1) в эти грани можно вписать окружность, а если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат; следовательно, бо­ковые грани призмы – квадраты. Отсюда АВ = ВВ= ВС=…, то есть в основании призмы лежит многоугольник с равными сторонами. Спроектируем призму с шаром на плоскость АВС; призма спроектируется в многоугольник АВС. а шар — в окружность, описанную вокруг этого многоугольника. Но многоугольник с равными сторонами, вписанный в окружность, — пра­вильный, поэтому и призма — правильная.

Теперь докажем, что для правильной призмы с равными ребрами указанный шар существует. Для этого нужно показать, что существует точка, равноудаленная от всех ребер этой призмы. Такой точкой является середина К отрезка , соединяющего центры оснований.

В самом деле, заметим, что отрезки КМ, КМ, КN (и т. п. ) равны, как гипотенузы прямоугольных треугольников, один катет которых равен КО, а другой — апофеме правильного многоугольника АВС. и равны перпендикулярам, опущенным из точки К на боковые ребра призмы: KF= ОА, в имеем AM = AB = BB = OO = KO, OM — апофема (аналогично рассматриваются остальные боковые реб­ра).

Таким образом, теорема доказана. Причем доказано даже, что радиус шара, касающегося ребер такой призмы, равен радиусу окружности, описанной вокруг основания призмы. На этом утверждении базируется решение задач на шар, касающийся ребер призмы.

З а д а ч а 2.1. В n-угольную призму вписаны два шара: один касается всех ее граней, а другой — всех ее ребер. Какая это призма?

По теореме 1 эта призма — правильная. Далее, с одной стороны, MM = OM + , поскольку в данную призму можно вписать шар; с другой стороны, MM = AB, поскольку существует шар, касающийся всех ребер призмы. Отсюда OM + = AB, 2OM = AB.

Но OM = , поэтому = 1, n = 4. Следовательно, призма представляет собой куб.

Шар, касающийся ребер пирамиды.

З а д а ч а 2.2. Шар касается всех ребер тетраэдра. Доказать, что суммы противоположных ребер этого тетраэдра равны.

Пусть шар касается ребер тетраэдра SAВС в точках M, N, K, F, Р, E. Касательные, проведенные из одной точки к данному шару, равны, поэтому

В каждую из сумм AS + BC, AC + BS, AB + CS входит ровно по одному отрезку из групп (1) – (4), следовательно, эти суммы равны.

Т е о р е м а 2.2. Если центр шара, касающегося всех ребер пирамиды, лежит на ее высоте, то такая пирамида — правильная.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть центр К шара лежит на высоте SO. Прямоугольные треугольники , (и т. д.) имеют общую гипотенузу SK и равные катеты: (радиусы шара), поэтому они равны. Отсюда ∆SK = .

Прямоугольные треугольники ASO, BSO (и т. д.) имеют общий ка­тет SO и равные острые углы при вершине S, поэтому они равны и ОА = ОВ = ОС=…. Следовательно, О — центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

По свойству (2) точка О является также центром окружности, вписанной в основание пирамиды. А если описанная вокруг многоугольника и вписанная в многоугольник окружности являются концентрическими, то этот многоугольник — правильный (докажите!). Следовательно, исходная пирамида – правильная, теорема доказана.

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector