- Сумма всех углов куба
- Свойства куба:
- Прямоугольный параллелепипед
- Пирамида
- Что такое куб: определение, свойства, формулы
- Определение куба
- Свойства куба
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Формулы для куба
- Диагональ
- Диагональ грани
- Площадь полной поверхности
- Периметр ребер
- Объем
- Радиус описанного вокруг шара
- Радиус вписанного шара
- Геометрические фигуры. Куб.
- Геометрические фигуры. Куб.
- Куб — Cube
- Содержание
- Ортогональные проекции
- Сферическая черепица
- Декартовы координаты
- Формулы
- Точка в пространстве
- Удвоение куба
- Равномерная окраска и симметрия
- Геометрические отношения
- Другие размеры
- Связанные многогранники
- В однородных сотах и полихорах
- Кубический граф
Сумма всех углов куба
Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.
Свойства куба:
1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.
2. Противоположные грани попарно параллельны.
3. Все двугранные углы куба – прямые.
5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра
7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.
Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:
Площадь полной поверхности: $S_<п.п>=6а^2=2d^2$
Радиус сферы, описанной около куба: $R=/<2>$
Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/<2>$
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$с$-высота(она же боковое ребро);
$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$ — высота боковой грани (апофема)
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ — длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Что такое куб: определение, свойства, формулы
В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).
Определение куба
Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.
Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.
Свойства куба
Свойство 1
Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:
Свойство 2
Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.
Свойство 3
Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.
Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.
Формулы для куба
Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:
- a – ребро куба;
- d – диагональ куба или его грани.
Диагональ
Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.
Диагональ грани
Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.
Периметр ребер
Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.
Объем
Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.
Радиус описанного вокруг шара
Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.
Радиус вписанного шара
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.
Геометрические фигуры. Куб.
Куб или правильный гексаэдр – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты.
Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных
шестиугольников — это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям.
В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов. То есть,
сумма плоских углов у каждой вершины = 270º.
Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
Предположим, что а – длина стороны куба, а d — диагональ, тогда:
Диагональ куба – это отрезок, который соединяет 2 вершины, которые симметричны относительно центра
Свойства куба.
- 4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — они проходят сквозь центр куба
перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
- В куб вписывают тетраэдр 2-мя способами. В любом из них 4-ре вершины тетраэдра всегда
совмещены с 4-мя вершинами куба и каждое из шести ребер тетраэдра принадлежат граням куба. В 1-м
случае каждая вершина тетраэдра принадлежит граням трехгранного угла, вершиной совпадающего с одной
из вершин куба. Во 2-м случае ребра тетраэдра, которые попарно скрещиваются принадлежат попарно
противоположным граням куба. Такой тетраэдр будет правильным, а его объём будет составлять треть от
- В куб вписывают октаэдр, при этом все 6 вершин октаэдра совмещаются с центрами 6-ти граней
- Куб вписывают в октаэдр, при этом все 8 вершин куба располагаются в центрах 8-ми граней
- В куб вписывают икосаэдр, притом 6 взаимно параллельных рёбер икосаэдра располагаются на
6-ти гранях куба, следующие 24 ребра располагаются внутри куба. Каждая из 12 вершин икосаэдра
располагается на 6-ти гранях куба.
Элементы симметрии куба.
Ось симметрии куба может пролегать или сквозь середины ребер, которые
параллельны, не принадлежащих одной из граней, или сквозь точку
пересечения диагоналей противолежащих граней. Центром симметрии
куба будет точка пересечения диагоналей куба.
Предположим, что а – длина стороны куба, а d — диагональ, тогда:
Диагональ куба – это отрезок, который соединяет 2 вершины, которые симметричны относительно центра
Свойства куба.
- 4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — они проходят сквозь центр куба
перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
- В куб вписывают тетраэдр 2-мя способами. В любом из них 4-ре вершины тетраэдра всегда
совмещены с 4-мя вершинами куба и каждое из шести ребер тетраэдра принадлежат граням куба. В 1-м
случае каждая вершина тетраэдра принадлежит граням трехгранного угла, вершиной совпадающего с одной
из вершин куба. Во 2-м случае ребра тетраэдра, которые попарно скрещиваются принадлежат попарно
противоположным граням куба. Такой тетраэдр будет правильным, а его объём будет составлять треть от
- В куб вписывают октаэдр, при этом все 6 вершин октаэдра совмещаются с центрами 6-ти граней
- Куб вписывают в октаэдр, при этом все 8 вершин куба располагаются в центрах 8-ми граней
- В куб вписывают икосаэдр, притом 6 взаимно параллельных рёбер икосаэдра располагаются на
6-ти гранях куба, следующие 24 ребра располагаются внутри куба. Каждая из 12 вершин икосаэдра
располагается на 6-ти гранях куба.
Элементы симметрии куба.
Ось симметрии куба может пролегать или сквозь середины ребер, которые
параллельны, не принадлежащих одной из граней, или сквозь точку
пересечения диагоналей противолежащих граней. Центром симметрии
куба будет точка пересечения диагоналей куба.
Правильный шестигранник | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
Тип | Платоново твердое тело |
Элементы | F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2) |
Лица по сторонам | 6 |
Обозначение Конвея | C |
Символы Шлефли | |
t <2,4>или <4>× <> tr <2,2>или <> × <> × <> | |
Конфигурация лица | V3.3.3.3 |
Символ Wythoff | 3 | 2 4 |
Диаграмма Кокстера | |
Симметрия | Очас, B3, [4,3], (*432) |
Группа вращения | О, [4,3] + , (432) |
Рекомендации | U06, C18, W3 |
Характеристики | обычный, выпуклыйзоноэдр |
Двугранный угол | 90° |
4.4.4 (Фигура вершины) | Октаэдр (двойственный многогранник) |
Сеть |
В геометрия, а куб [1] это трехмерный твердый объект, ограниченный шестью квадрат лица грани или сторон, по три встречи на каждой вершина.
Куб — единственный обычный шестигранник и является одним из пяти Платоновы тела. У него 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Куб — это тоже квадрат параллелепипед, равносторонний кубовид и право ромбоэдр. Это правильный квадрат призма в трех ориентациях, а треугольный трапецоэдр в четырех направлениях.
Куб — единственный выпуклый многогранник, все грани которого равны квадраты.
Содержание
Ортогональные проекции
В куб имеет четыре специальных ортогональные проекциипо центру, на вершине, ребрах, грани и нормали к ее вершина фигуры. Первый и третий соответствуют A2 и B2 Самолеты Кокстера.
В центре | Лицо | Вершина |
---|---|---|
Самолеты Кокстера | B2 | А2 |
Проективный симметрия | [4] | [6] |
Наклонные взгляды |
Сферическая черепица
Куб также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
Декартовы координаты
Для куба с центром в начале координат, с ребрами, параллельными осям, и с длиной ребра 2, Декартовы координаты вершин
а интерьер состоит из всех точек (Икс0, Икс1, Икс2) с −1 Уравнение в р 3
Куб также можно рассматривать как предельный случай трехмерного суперэллипсоид поскольку все три показателя стремятся к бесконечности.
Формулы
Для куба с длиной ребра а
площадь поверхности | 6 а 2 | объем | а 3 |
диагональ лица | 2 а | диагональ пространства | 3 а |
радиус ограниченная сфера | 3 2 а | радиус касательной к краям сферы | а 2 |
радиус вписанная сфера | а 2 | углы между лицами (в радианы) | π 2 |
Поскольку объем куба — это третья степень его сторон а × а × а
Куб имеет самый большой объем среди кубоиды (прямоугольные коробки) с заданным площадь поверхности. Кроме того, куб имеет самый большой объем среди кубоидов с таким же общим линейным размером (длина + ширина + высота).
Точка в пространстве
Для куба, описывающая сфера которого имеет радиус р, а для данной точки в ее трехмерном пространстве с расстояниями dя из восьми вершин куба имеем: [2]
∑ я = 1 8 d я 4 8 + 16 р 4 9 = ( ∑ я = 1 8 d я 2 8 + 2 р 2 3 ) 2 .
Удвоение куба
Удвоение куба, или Делианская проблема, была проблема древнегреческие математики использования только компас и линейка чтобы начать с длины ребра данного куба и построить длину ребра куба с удвоенным объемом исходного куба. Решить эту задачу им не удалось, и в 1837 г. Пьер Ванцель оказалось невозможным, потому что кубический корень из 2 не является конструктивное число.
Равномерная окраска и симметрия
Куб имеет три одинаковых раскраски, названных цветами квадратных граней вокруг каждой вершины: 111, 112, 123.
Куб имеет четыре класса симметрии, которые могут быть представлены как вершинно-транзитивный раскрашивание лиц. Высшая октаэдрическая симметрия Oчас все лица одного цвета. В двугранная симметрия D4ч происходит от куба, представляющего собой призму, все четыре стороны которой одного цвета. Призматические подмножества D2d имеет ту же раскраску, что и предыдущий, а D2ч имеет чередующиеся цвета сторон, всего три цвета, соединенные противоположными сторонами. Каждая форма симметрии имеет разные Символ Wythoff.
Имя | Обычный шестигранник | Квадратная призма | Прямоугольный трапеция | Прямоугольный кубовид | Ромбический призма | Тригональный трапецоэдр |
---|---|---|---|---|---|---|
Coxeter диаграмма | ||||||
Schläfli символ | <4>×< > rr | s2 | < >3 tr | < >×2 | ||
Wythoff символ | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |||
Симметрия | Очас [4,3] (*432) | D4ч [4,2] (*422) | D2d [4,2 + ] (2*2) | D2ч [2,2] (*222) | D3D [6,2 + ] (2*3) | |
Симметрия порядок | 24 | 16 | 8 | 8 | 12 | |
Изображение (униформа окраска) | (111) | (112) | (112) | (123) | (112) | (111), (112) |
Геометрические отношения
В кубе одиннадцать сети (один показан выше): то есть существует одиннадцать способов сгладить полый куб, разрезав семь граней. [3] Чтобы раскрасить куб так, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет, потребуется как минимум три цвета.
Куб — это ячейка единственная регулярная мозаика трехмерного евклидова пространства. Он также уникален среди Платоновых тел тем, что имеет грани с четным числом сторон, и, следовательно, это единственный член этой группы, который является зоноэдр (каждая грань имеет точечную симметрию).
Куб можно разрезать на шесть одинаковых квадратные пирамиды. Если эти квадратные пирамиды затем прикрепить к граням второго куба, ромбический додекаэдр получается (пары копланарных треугольников объединены в ромбические грани).
Другие размеры
Аналог куба в четырехмерном Евклидово пространство имеет особое имя — а тессеракт или же гиперкуб. Вернее, гиперкуб (или п-мерный куб или просто п-куб) является аналогом куба в п-мерное евклидово пространство и тессеракт — это гиперкуб порядка 4. Гиперкуб также называют мерный многогранник.
Есть аналоги куба и в более низких измерениях: точка в размерности 0, a отрезок в одном измерении и квадрат в двух измерениях.
Связанные многогранники
Если исходный куб имеет длину ребра 1, его двойственный многогранник (ан октаэдр) имеет длину ребра 2 / 2
Куб является частным случаем в различных классах общих многогранников:
Имя | Равные длины кромок? | Равные углы? | Прямые углы? |
---|---|---|---|
Куб | да | да | да |
Ромбоэдр | да | да | Нет |
Кубоид | Нет | да | да |
Параллелепипед | Нет | да | Нет |
четырехсторонний граненый шестигранник | Нет | Нет | Нет |
Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр; в более общем смысле это называется полукуб. Эти двое вместе образуют обычный сложный, то Stella Octangula. Их пересечение образует правильный октаэдр. Симметрии правильного тетраэдра соответствуют симметрии куба, который отображает каждый тетраэдр в себя; другие симметрии куба отображают их друг в друга.
Один такой правильный тетраэдр имеет объем 1 / 3 этого куба. Оставшееся пространство состоит из четырех равных неправильных тетраэдров объемом 1 / 6 куба каждый.
В исправленный куб это кубооктаэдр. Если срезать меньшие углы, получится многогранник с шестью восьмиугольный лиц и восемь треугольных. В частности, мы можем получить правильные восьмиугольники (усеченный куб). В ромбокубооктаэдр получается путем обрезания углов и краев до нужной длины.
Куб можно вписать в додекаэдр так что каждая вершина куба является вершиной додекаэдра, а каждое ребро — диагональю одной из граней додекаэдра; взятие всех таких кубиков дает правильное соединение из пяти кубиков.
Если два противоположных угла куба усечь на глубине трех вершин, непосредственно связанных с ними, получается неправильный октаэдр. Восемь из этих неправильных октаэдров могут быть присоединены к треугольным граням правильного октаэдра, чтобы получить кубооктаэдр.
Куб топологически связан с серией сферических многогранников и мозаик третьего порядка. фигуры вершин.
*п32 изменения симметрии правильных мозаик: <п,3> Кубооктаэдр — один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Куб топологически связан как часть последовательности правильных мозаик, простирающейся в гиперболическая плоскость: <4, p>, p = 3,4,5 .
Как треугольный трапецоэдр, куб относится к семейству гексагональной диэдральной симметрии.
В однородных сотах и полихорах
Это также элемент пяти четырехмерных однородная полихора:
Кубический графВ скелет куба (вершины и ребра) образуют график, с 8 вершинами и 12 ребрами. Это частный случай граф гиперкуба. [4] Это один из 5 Платоновы графики, каждый — скелет своего Платоново твердое тело. Расширение — трехмерное k-ари Граф Хэмминга, который для k = 2 — куб-граф. Подобные графы встречаются в теории параллельная обработка в компьютерах. Adblockdetector |
---|