Симметрические многочлены
Определение: Многочлен называется симметрическимесли он не меняется при любой перестановке переменных.
Пример: 
-симметрический многочлен
не симметрический.
Строение симметрических многочленов можно представить в виде: Пусть 
некоторая перестановка чисел 1,2,…,n. Если симметрический многочлен содержит член 
, то он и должен содержать член 
.
Симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов. Особую роль среди симметрических многочленов играют так называемые элементарные симметрические многочлены:
Определение: Многочлен называется однородным степени m,если все его члены имеют степень m.
Пример: 
Очевидно, что сумма двух однородных многочленов одинаковой степени, есть однородный многочлен той же степени.
Произведение однородных многочленов степени 
и 
есть однородный многочлен степени 
.
17. Многочлены над числовым полем.
Алгебраически замкнутое поле-это поле K в котором каждый многочлен не нулевой степени над полем K имеет хотя бы один корень.
Пример: поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым.
Пример: поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, то есть: 
1) В алгебраически замкнутом поле K каждый многочлен степени n имеет ровно n корней в этом поле ( с учетом кратности)
2) Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Например: можно рассматривать многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля, если к нему прибавить единицу, то многочлен не будет иметь корней.
3) Алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел, его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
4) Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
5) Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.
Определение: Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Пример: 
Теорема Виета: Если многочлен P(x) степени n имеет n различных корней 
то имеет место следующие соотношения:
В случае, когда уравнение четвертой степени имеем: 
, где 
Корни будут: 
Основная теорема алгебры (теорема Гаусса):Всякий многочлен n-ой степени имеет по крайней мере один комплексный корень.
Следствие: Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом 
разлагается в произведение n сомножителей вида 
, то есть:
Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень 
то он имеет и сопряженный корень 
.
Теорема: Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой степени и второй степени (не имеющей действительных корней) с действительными коэффициентами.
Теорема: для того, чтобы несокращаемая дробь 
была корнем многочлена с целыми коэффициентами необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена 
, а число q знаменателем старшего члена .
Симметрические многочлены
Многочлен 
, зависящий от 
переменных 
, называется симметрическим, если он не меняется от любой перестановки его переменных.
Примером симметрических многочленов являются элементарные симметрические многочлены:
Пример 1
.
.Пример 2
.Симметрические многочлены вида
называются степенными суммами.
Степенные суммы связаны с элементарными симметрическими многочленами формулами Ньютона:
Эти формулы позволяют последовательно выражать элементарные симметрические многочлены через степенные суммы и наоборот.
Пример 3 При
первая формула такова: 
.Выразим отсюда 
через 
. Из первой формулы 
. Из второй формулы 
. Наконец, из третьей формулы
.
Таким образом, мы можем последовательно выразить и остальные 
. Точно так же выражаются и элементарные симметрические многочлены через степенные суммы:
Все мы знаем теорему Виета о корнях квадратного трехчлена: если квадратный трехчлен 
имеет корни 
и 
, то 
, а 
.
Теорема Виета имеет место и для многочлена — ой степени. А именно, коэффициенты многочлена — ой степени с точностью до знака совпадают с элементарными симметрическими многочленами относительно корней этого многочлена:
Отметим, что сумма, произведение симметрических многочленов есть опять симметрический многочлен, то есть множество симметрических многочленов замкнуто относительно операций сложения и умножения. Справедлива основная теорема о симметрических многочленах.
Заметка Каждый симметрический многочлен однозначно представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
В заключении рассмотрим следующие примеры:
Пример 4 Разложить многочлен
на множители.Данный нам многочлен – симметрический относительно своих переменных. Будем считать, что это многочлен третьей степени относительно 
, а 
— параметры. Заметим, что при 
многочлен тождественно равен нулю:
.
Согласно следствию теоремы Безу, исходный многочлен должен без остатка поделиться на 
. Разделим исходный многочлен уголком на . Запишем его в порядке убывания степеней :
Если раскрыть скобки в частном и привести подобные члены:
и искомое разложение будет таким:
.
Пример 5 Разложить многочлен
Воспользуемся обозначениями элементарных симметрических многочленов и степенных сумм.
Тогда наш многочлен будет выглядеть так: 
.
В примере 3 мы получили формулу: 
. Подставляя ее в полученное выражение найдем:
Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.
Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.
Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.
Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).
В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.
В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.
Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.
Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?