Сумма кубов натуральных чисел метод математической индукции

Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых

Этот метод можно эффективно использовать для нахождения формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n,доказательства тождеств, доказательства неравенств, у которых одна или обе части зависят от n.

Пример 1. Пусть дана последовательность (n)натуральных чисел. Найдем формулу вычисления суммы первых nчисел:

Решение. Рассмотрим S(1), S(2), S(3), S(4). Мы имеем:

Заметив, что полученные числа можно записать в виде

естественно сделать предположение, что

(1)

Применим теперь метод математической индукции для доказа­тельства полученной формулы (1).

Формула верна при n = 1. Предположим, что формула верна при n = k > 1:

Тогда

‘Значит, из справедливости формулы для n = k вытекает ее справедливость для n = k + 1По принципу математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (1) для всех натуральных значений n.

В некоторых случаях для доказательства тождества Р(n) = Q (n)можем сначала убедиться, что Р (1) = Q (1), и, предпола­гая справедливость равенства P(k)=Q(k),k>1,доказать тож­дество P(k + 1) = Q(k + 1). Тогда из истинности равенства P(k) = Q(k) будет следовать истинность равенства P(k + 1) = Q(k + 1)и по принципу математической индукции бу­дет следовать истинность тождества P(n)=Q(n)для всех n.

Пример 2. Рассмотрим последовательность (n 2 ) квадратов натуральных чисел. Докажем справедливость формулы для вы­числения суммы первых nчленов этой последовательности:

(2)

Обозначим l 2 + 2 2 + 3 2 + . + n 2 = S (n)и

При n = 1: S(1) = 1, Т.е. S(1) = P(1).

Предполагаем теперь, что равенство верно для n = k, k > 1, т. е. S(k) = P(k).

Итак, мы доказали, что S(1) = P(1) и S(k+l) — S (k) = = P (k+1) — P (k).Тогда по принципу математической индукции тождество (2) справедливо для всех n.

Ранее доказанные формулы могут служить источником полу­чения новых формул.

Пример 3. Пусть дана последовательность (n 3 )кубов нату­ральных чисел. Выведем формулу для вычисления суммы пер­вых nчленов этой последовательности:

Как и в примере 1, рассмотрим суммы S(1), S (2), S (3), S (4). Здесь мы имеем:

S (4)= 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 100.

Поскольку мы предполагали, что S(k) = P(k),то отсюда сле­дует равенство S (k+ 1) = P (k + 1). Следовательно, по принципу математической индукции формула (3) справедлива для всех n.

Источник

Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Дата публикации: 02.05.2015 2015-05-02

Статья просмотрена: 10077 раз

Библиографическое описание:

Баданин, А. С. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел / А. С. Баданин, М. Ю. Сизова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2015. — № 2 (2). — С. 84-86. — URL: https://moluch.ru/young/archive/2/128/ (дата обращения: 26.02.2022).

В математических олимпиадах часто встречаются достаточно трудные задачи на доказательство делимости натуральных чисел. Перед школьниками возникает проблема: как найти универсальный математический метод, позволяющий решать подобные задачи?

Оказывается, большинство задач на доказательство делимости можно решать методом математической индукции, но в школьных учебниках уделяется очень мало внимания этому методу, чаще всего приводится краткое теоретическое описание и разбирается несколько задач.

Метод математической индукции мы находим в теории чисел. На заре теории чисел математики открыли многие факты индуктивным путем: Л. Эйлер и К. Гаусс рассматривали подчас тысячи примеров, прежде чем подметить числовую закономерность и поверить в нее. Но одновременно они понимали, сколь обманчивыми могут быть гипотезы, прошедшие «конечную» проверку. Для индуктивного перехода от утверждения, проверенного для конечного подмножества, к аналогичному утверждению для всего бесконечного множества необходимо доказательство. Такой способ предложил Блез Паскаль, который нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел).

Метод математической индукции используется, чтобы доказать путем рассуждений истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел или истинность утверждения начиная с некоторого числа n.

Решение задач на доказательство истинности некоторого утверждения методом математической индукции состоит из четырех этапов (рис. 1):

Рис. 1. Схема решения задачи

1. Базис индукции. Проверяют справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение имеет смысл.

2. Индукционное предположение. Предполагаем, что утверждение верно для некоторого значения k.

3. Индукционный переход. Доказываем, что утверждение справедливо для k+1.

4. Вывод. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что утверждение верно для любого натурального числа n.

Рассмотрим применение метода математической индукции к решению задач на доказательство делимости натуральных чисел.

Пример 1. Доказать, что число 5 кратно 19, где n — натуральное число.

1) Проверим, что эта формула верна при n = 1: число =19 кратно 19.

2) Пусть эта формула верна для n = k, т. е. число кратно 19.

3) Докажем, что формула верна и для n = k + 1, т. е.

кратно 19. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения (2); второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19.

4) Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение истинно при всех значениях n.

Пример 2. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Докажем утверждение: «Для любого натурального числа n выражение n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 кратно 9.

1) Проверим, что эта формула верна при n = 1: 13+23+33=1+8+27=36 кратно 9.

2) Пусть эта формула верна для n = k, т. е. k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 кратно 9.

3) Докажем, что формула верна и для n = k + 1, т. е. (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 кратно 9. (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 )+9(k 2 +3k+ 3).

Полученное выражение содержит два слагаемых, каждое из которых делится на 9, таким образом, сумма делится на 9.

4) Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение истинно при всех значениях n.

Пример 3. Доказать, что при любом натуральном n число 3 2n+1 +2 n+2 делится на 7.

1) Проверим, что эта формула верна при n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 кратно 7.

2) Пусть эта формула верна для n = k, т. е. 3 2 k +1 +2 k +2 делится на 7.

3) Докажем, что формула верна и для n = k + 1, т. е.

3 2( k +1)+1 +2 ( k +1)+2 =3 2 k +1 ·3 2 +2 k +2 ·2 1 =3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·2=3 2 k +1 ·9+2 k +2 ·(9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2 )·9–7·2 k +2 .Т. к. (3 2 k +1 +2 k +2 )·9 делится на 7 и 7·2 k +2 делится на 7, то и их разность делится на 7.

4) Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение истинно при всех значениях n.

Многие задачи на доказательство в теории делимости натуральных чисел удобно решать с применением метода математической индукции, можно даже сказать, что решение задач данным методом вполне алгоритмизировано, достаточно выполнить 4 основных действия. Но универсальным этот метод назвать нельзя, т. к. присутствуют и недостатки: во-первых, доказывать можно только на множестве натуральных чисел, а во-вторых, доказывать можно только для одной переменной.

Для развития логического мышления, математической культуры этот метод является необходимым инструментом, ведь ещё великий русский математик А. Н. Колмогоров говорил: «Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику».

1. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика. — М.: Просвещение, 1976. — 48 с.

2. Генкин Л. О математической индукции. — М., 1962. — 36 с.

3. Соломинский И. С. Метод математической индукции. — М.: Наука, 1974. — 63с.

4. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 10 кл. сред.шк. — М.: Просвещение, 1989. — 252 с.

5. Шень А. Математическая индукция. — М.: МЦНМО,2007.- 32 с.

Источник

Метод математической индукции

п.1. Принцип математической индукции

Рассмотрим бесконечную последовательность утверждений, которую можно отобразить на множество натуральных чисел, т.е., попросту, пронумеровать:
P1, P2, . , Pn , .

Допустим, что
1) утверждение P1 верно (P1 называют базой индукции );
2) для любого n доказано, что, если верно Pn, то верно Pn+1
(истинность Pn → Pn+1, ∀n называют индуктивным переходом ).
Тогда все утверждения последовательности P1, P2, . , Pn , . верны.

Говорят, что мы провели « доказательство утверждения Pn индукцией по n ».

Принцип математической индукции используется для доказательства различных формул.

Например:
Докажем, что сумма первых n натуральных чисел равна \(\mathrm<2>>\)
1) Для базы индукции \(\mathrm<2>=1>\) – верно
2) Допустим что при некотором \(\mathrm<2>.>\) Найдём Sn+1: \begin \mathrm< S_=(1+2+. +n)+n+1=S_n+n+1=\frac<2>+(n+1)= >\\ \mathrm< =\frac<2>=\frac<(n+1)(n+2)> <2>> \end т.е. для Sn+1 формула также справедлива. Индуктивный переход выполняется. Следовательно, по принципу математической индукции \(\mathrm<2>,\ \forall n\in \mathbb>\).
Что и требовалось доказать.

п.2. Примеры

Пример 1. Докажите, что сума кубов первых n натуральных чисел равна \(\mathrm<4>>\)
1) Для базы индукции \(\mathrm<4>=1>\) – верно
2) Допустим, что при некотором \(\mathrm<4>>\). Найдём Sn+1: \begin \mathrm< S_=\underbrace<1^3+2^3+3^3+. +n^3>_+(n+1)^3=S_n+(n+1)^3= >\\ \mathrm< =\frac<4>+(n+1)(n+1)^2=\frac <4>>\\ \mathrm< =\frac<(n+1)^2(n^2+4(n+1))><4>=\frac<(n+1)^2(n^2+4n+4)><4>=\frac<(n+1)^2(n+2)^2> <4>> \end т.е. для Sn+1 формула также справедлива. Индуктивный переход выполняется. Следовательно, по принципу математической индукции сумма кубов \(\mathrm<4>,\ \forall n\in \mathbb>\). Что и требовалось доказать.

Заметим, что согласно доказанной формуле сумма кубов является точным квадратом суммы первых степеней: $$ \mathrm< 1^3+2^3+3^3+. +n^3=\left(\frac<2>\right)^2=(1+2+3+. +n)^2 > $$

Пример 3. Докажите, что любой член последовательности an = 15 n + 6 делится на 7.
1) Для базы индукции n=1, a1 = 15 + 6 = 21 – делится на 7, верно
2) Допустим, что при некотором \(\mathrm\ \frac<7>=k,\ \ k\in\mathbb>\). Рассмотрим дробь \(\mathrm<\frac><7>>\): \begin \mathrm< \frac><7>=\frac<15^+6><7>=\frac<15\cdot 15^n+6><7>=\frac<(14+1)\cdot 15^n+6><7>= >\\ \mathrm< =\frac<14\cdot 15^n+\overbrace<(15^n+6)>^<=a_n>><7>=\frac<14\cdot 15^n><7>+\frac<7>=2\cdot 15^n+k >\end Получаем натуральное число. Значит, an+1 также делится на 7. Индуктивный переход выполняется.
Следовательно, по принципу математической индукции an = 15 n + 6 делится на 7 при любом натуральном \(\mathrm>\). Что и требовалось доказать.

Пример 4. Докажите, что любой член последовательности an = 7 n + 12n делится на 18 с остатком 1.
1) Для базы индукции n=1, a1 = 7 1 + 12 · 1 = 19 – делится на 18 с остатком 1, верно
2) Допустим, что при некотором $a_n=7^n+12n$ делится на 18 с остатком 1, т.е. $\frac<18>=k$, $k \in \mathbb $ Рассмотрим дробь \(\mathrm<\frac-1><18>>\): \begin \mathrm< \frac-1><18>=\frac<7^+12(n+1)-1><18>=\frac<7\cdot 7^n+12n-1+12><18>= >\\ \mathrm< =\frac<7^n + 12n-1><18>+\frac<6\cdot 7^n+12><18>=k+\frac<7^n+2> <3>>\end Решаем подзадачу. Докажем, что \(\mathrm<3>>\) всегда является натуральным числом.
1) Для базы индукции n=1, \(\mathrm<3>=3>\) – верно
2) Допустим, что при некотором \(\mathrm<3>=m \in\mathbb>\). Рассмотрим \(\mathrm>\): \begin \mathrm< b_=\frac<7^+2><3>=\frac<7\cdot 7^n+2><3>=\frac<7^n+2><3>+\frac<6\cdot 7^n><3>=m+2\cdot7^n >\end Получили натуральное число. Индуктивный переход для подзадачи выполняется.
Значит, \(\mathrm<3>>\). всегда является натуральным числом.

Возвращаемся к основной задаче: \(\mathrm<\frac-1><18>=k+\frac<7^n+2><3>=k+m\in\mathbb>\).
Значит, an+1 делится на 18 с остатком 1. Индуктивный переход для основной задачи выполняется.
Следовательно, по принципу математической индукции an = 7 n + 12n делится на 18 с остатком 1 при любом натуральном \(\mathrm>\). Что и требовалось доказать.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Добавить комментарий

Adblock
detector