- Сумма кубов двух чисел равна кубу третьего числа
- Неопределенное уравнение третьей степени
- Сумма трёх кубов
- История
- Решения
- Небольшие числа
- Остальные числа
- Почему сумма трёх кубов – это такая сложная математическая задача
- Тяжело искать ответы в бесконечном пространстве. Математика уровня старших классов может помочь вам сузить область поисков.
Сумма кубов двух чисел равна кубу третьего числа
Неопределенное уравнение третьей степени
Сумма кубов трех целых чисел может быть кубом четвертого числа. Например, 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 .
Это означает, между прочим, что куб, ребро которого равно 6 см, равновелик сумме трех кубов, ребра которых равны 3 см, 4 см и 5 см (рис. 14), — соотношение, по преданию, весьма занимавшее Платона.
Рис. 14. Куб, ребро которого равно 6 см, равновелик сумме трех кубов, ребра которых равны 3 см, 4 см и 5 см
Попытаемся найти другие соотношения такого же рода, т. е. поставим перед собой такую задачу: найти решения уравнения x3+y3+z3=u3. Удобнее, однако, обозначить неизвестное и через -t. Тогда уравнение будет иметь более простой вид
Рассмотрим прием, позволяющий найти бесчисленное множество решений этого уравнения в целых (положительных и отрицательных) числах. Пусть а, b, с, d и α, β, γ, δ — две четверки чисел, удовлетворяющих уравнению. Прибавим к числам первой четверки числа второй четверки, умноженные на некоторое число k, и постараемся подобрать число k так, чтобы полученные числа
также удовлетворяли нашему уравнению. Иначе говоря, подберем k таким образом, чтобы было выполнено равенство
Раскрыв скобки и вспоминая, что четверки a, b,c,d и α, β, γ, δ удовлетворяют нашему уравнению, т. е. имеют место равенства
Произведение может обращаться в нуль только в том случае, когда обращается в нуль хотя бы один из его множителей. Приравнивая каждый из множителей нулю, мы получаем два значения для k. Первое значение, k = 0, нас не интересует: оно означает, что если к числам а, Ь, с, d ничего не прибавлять, то полученные числа удовлетворяют нашему уравнению. Поэтому мы возьмем лишь второе значение для k:
Итак, зная две четверки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению, можно найти новую четверку: для этого нужно к числам первой четверки прибавить числа второй четверки, умноженные на k, где k имеет написанное выше значение.
Для того чтобы применить этот прием, надо знать две четверки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению. Одну такую четверку (3, 4, 5,-6) мы уже знаем. Где взять еще одну четверку? Выход из положения найти очень просто: в качестве второй четверки можно взять числа r, -r, s, -s, которые, очевидно, удовлетворяют исходному уравнению. Иначе говоря, положим:
Тогда для k мы получим, как легко видеть, следующее значение:
а числа a + kα, b + kβ, c + kγ, d + kδ будут соответственно равны
Согласно сказанному выше эти четыре выражения удовлетворяют исходному уравнению
Так как все эти выражения имеют одинаковый знаменатель, то его можно отбросить (т. е. числители этих дробей также удовлетворяют рассматриваемому уравнению). Итак, написанному уравнению удовлетворяют (при любых r и s) следующие числа:
в чем, конечно, можно убедиться и непосредственно, возведя эти выражения в куб и сложив. Придавая r и s различные целые значения, мы можем получить целый ряд целочисленных решений нашего уравнения. Если при этом получающиеся числа будут иметь общий множитель, то на него можно эти числа разделить. Например, при r = 1, s = 1 получаем для х, y, z, t следующие значения: 36, 6, 48, -54, или, после сокращения на 6, значения 6, 1, 8, -9. Таким образом,
Вот еще ряд равенств того же типа (получающихся после сокращения на общий множитель):
Заметим, что если в исходной четверке, 3, 4, 5, -6 или в одной из вновь полученных четверок поменять числа местами и применить тот же прием, то получим новую серию решений. Например, взяв четверку 3, 5, 4, -6 (т. е. положив a = 3, b = 5, с = 4, d = -6), мы получим для х, y, z, t значения:
Отсюда при различных r и s получаем ряд новых соотношений:
Таким путем можно получить бесчисленное множество решений рассматриваемого уравнения.
Сумма трёх кубов
Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.
Соответствующее диофантово уравнение записывается как x 3 + y 3 + z 3 = n .
В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.
История
Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для n = 2
Решения
Необходимое условие для представимости числа n
В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое n
Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придется искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно.
Случай n = 33
Небольшие числа
Для n = 0
Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.
Для n = 1
( 9 b 4 ) 3 + ( 3 b − 9 b 4 ) 3 + ( 1 − 9 b 3 ) 3 = 1 ,
Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1. Для 2 другими известными представлениями являются
1 214 928 3 + 3 480 205 3 + ( − 3 528 875 ) 3 = 2 ,
Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов.
Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени. Даже в случае представлений n = 3
и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine:
569 936 821 221 962 380 720 3 + ( − 569 936 821 113 563 493 509 ) 3 + ( − 472 715 493 453 327 032 ) 3 = 3 ,
Остальные числа
С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера.
В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966.
Elsenhans и Jahnel в 2009 году использовали метод Элкиса, применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения x 3 + y 3 + z 3 = n
Почему сумма трёх кубов – это такая сложная математическая задача
Тяжело искать ответы в бесконечном пространстве. Математика уровня старших классов может помочь вам сузить область поисков.
Учитывая, что люди изучают свойства чисел тысячи лет, можно было бы решить, что нам известно всё о числе 3. Однако недавно математики обнаружили нечто новое касательно числа 3: третий способ выразить это число в виде суммы трёх кубов. Задача записи числа через сумму трёх кубов целых чисел оказывается неожиданно интересной. Легко показать, что большую часть чисел нельзя записать в виде одного куба или суммы из двух кубов, но существует гипотеза, что большую часть чисел можно записать в виде суммы из трёх кубов. Однако найти эти кубы оказывается иногда чрезвычайно сложно.
К примеру, нам было известно, что число 3 можно записать в виде 1 3 + 1 3 + 1 3 , а также в виде 4 3 + 4 3 + (-5) 3 , однако более 60 лет математиков интересовал вопрос, нет ли ещё одного способа сделать это. И в этом сентябре Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, наконец, нашли и третий способ:
3 = 569 936 821 221 962 380 720 3 + (−569 936 821 113 563 493 509) 3 + (−472 715 493 453 327 032) 3
Если вам захочется проверить этот результат, не пытайтесь использовать калькулятор. Большинство из них не справится с таким количеством цифр. Но с этим справится WolframAlpha.
В поисках новых вариантов решений для числа 3, математики используют техники, придуманные в этом году Буккером, первым нашедшим сумму трёх кубов для числа 33. Но почему на подобные прорывы требуется столько времени? В поисках правильных кубов приходится покрывать очень большую территорию, а нужное направление нам может указать лишь небольшое число подсказок. Поэтому фокус состоит в том, чтобы найти более хитрые методы поиска. Чтобы представить себе саму задачу и её решение, начнём с более простого вопроса: как мы можем записать 33 в виде суммы трёх целых чисел?
Мы можем записать 33 = 19 + 6 + 8, или 33 = 11 + 11 + 11, или 33 = 31 + 1 + 1. Мы можем использовать и отрицательные числа: 33 = 35 + (−1) + (−1). Существует бесконечное множество способов сделать это, поскольку всегда можно увеличить одно или два числа и уменьшить третье для компенсации этого – например, 33 = 36 + (−1) + (−2), 33 = 100 + 41 + (−108), и так далее.
Что насчёт записи 33 в виде суммы трёх квадратов? Нам нужно будет найти числа, являющиеся квадратами целых чисел, типа 1 = 1 2 , 9 = 3 2 , и 64 = 8 2 — их сумма даёт 33. Немного поигравшись, можно обнаружить, что 33 = 4 2 + 4 2 + 1 2 и 33 = 5 2 + 2 2 + 2 2 . Есть ли ещё варианты? В принципе, нет. Можно заменить 4 на -4, и получить 33 = (-4) 2 + 4 2 + 1 2 , что даст нам ещё несколько способов записи наши решений, но как их ни считай, найдётся не очень много способов записать 33 в виде суммы трёх квадратов.
При суммировании квадратов у нас нет той же гибкости, что при суммировании любых целых чисел. У нас меньше выбор, и, что ещё важнее, сложение лишь увеличивает нашу сумму. Ведь квадраты целых чисел не бывают отрицательными – возведение в квадрат и положительного и отрицательного числа всегда даёт положительное.
У квадратов больше ограничений, но это даёт нам и нечто полезное: наше пространство поисков «ограничено». Пытаясь найти три квадрата, дающих в сумме 33, мы не можем использовать числа, чьи квадраты больше, чем 33, поскольку как только наша сумма выйдет за пределы 33, уменьшить её уже не получится. А это значит, нам нужно рассмотреть лишь комбинации из 0 2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 и 5 2 (их отрицательные двойники ничего нового нам не дают, и мы их проигнорируем).
Имея шесть вариантов для каждого их трёх квадратов, мы получаем не более 6 × 6 × 6 = 216 способов записать 33 как их сумму. Достаточно небольшой список для того, чтобы проверить все возможности и убедиться, что мы ничего не пропустили.
Теперь вернёмся к задаче о сумме трёх кубов. Несложно видеть, что она комбинирует ограниченный выбор из задачи о сумме квадратов с бесконечным пространством поиска из задачи о сумме целых чисел. Как и с квадратами, не любое целое число является кубом другого числа. Мы можем использовать числа типа 1 = 1 3 , 8=2 3 , 125=5 3 , но не можем использовать 2, 3, 4, 10, 108, и большую часть остальных чисел. Но, в отличие от квадратов, кубы бывают отрицательными – к примеру, (-2) 3 = -8, (-4) 3 = -64 – а значит, мы можем по необходимости и уменьшать нашу сумму. Доступ к отрицательным числам даёт нам неограниченное количество вариантов, то есть, наше пространство поиска, как и в случае с суммой целых чисел, неограниченно.
Неограниченность пространства поиска означает, что мы можем искать ответы очень долго. И люди искали их десятилетиями. Понадобился суперкомпьютер и хитрая математика, чтобы найти, наконец, правильную комбинацию кубов. Давайте посмотрим, как это удалось сделать.
Допустим, вам нужно найти решение уравнения:
Простой подход – разметить некий регион чисел и подставлять каждый из них, пока что-нибудь не подойдёт. Если вы ничего не найдёте, можно определить новое пространство поиска и начать сначала. Это похоже на поиск новых планет при помощи методичного изучения неба в телескоп.
Представьте, что ваше начальное пространство поиска ограничивает все x, y и z рамками от -100 до 100. Сначала вы пробуете:
Не вышло. Тогда вы пробуете:
Тоже не работает. Вы продолжаете, пока не дойдёте до (100, −100, −100), потом переключаетесь на (−100, −99, −100), и вновь продолжаете свою охоту. В итоге вы проверите порядка 200 × 200 × 200 = 8 000 000 вариантов, не найдя ничего подходящего. Придётся обозначить новое пространство поиска и начать заново.
Более интересный подход – переписать уравнение в следующем виде:
Теперь, вместо того, чтобы перебирать все тройки (x, y, z), мы будем перебирать двойки (x, y). Для каждой пары мы будем вычислять результат, а потом проверять список кубов, смотря, нет ли там нашего результата z 3 . Если он есть, решение найдено. Если нет, мы продолжим искать. Это значительно уменьшает пространство поиска. Вместо 8 000 000 троек мы теперь ищем среди 200 × 200 = 40 000 пар. Серьёзная экономия, однако всё равно недостаточно для того, чтобы сделать задачу вычислительно доступной.
Ещё более удобный подход — переписать уравнение в следующем виде:
Теперь мы перебираем z, а для каждого вычисленного z мы используем хитрый фокус из курса математики. Выражение x 3 + y 3 всегда можно разложить так:
x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 )
Это формула для суммы кубов. Чтобы проверить её, просто перемножим правую часть, пользуясь правилом дистрибутивности:
(x + y)(x 2 – xy + y 2 ) = x 3 – x 2 y + xy 2 + yx 2 – xy 2 + y 3 = x 3 + y 3
Как это помогает нам в поисках? Подсчитав 33 – z 3 , мы раскладываем её на произведение простых чисел, с чем хорошо справляются компьютеры, по крайней мере, в интересующем нас числовом диапазоне. Разложив 33 – z 3 на множители, мы проверяем, можно ли составить эти множители в виде (x + y)(x 2 – xy + y 2 ). Если да, мы нашли решение.
Допустим, к примеру, что мы пытаемся записать 34 как сумму трёх кубов, и наши поиски привели нас к z = -6. Мы подсчитываем 34 – z 3 = 34 – (-6) 3 = 34 – (-216) = 34 + 216 = 250, и теперь разложим 250.
Изучив вопрос, мы понимаем, что можем записать 250 = 10 × 25 = (5+5)(5 2 – 5 × 5 + 5 ² ). А это именно (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) для x = 5 и y = 5, так что тройка (x, y, z) = (5, 5, -6) должна сработать для 34. И, конечно же, 34 = 5 3 + 5 3 + (-6) 3 , и мы успешно обнаружили три куба, сумма которых даёт 34.
Такой метод позволяет вместо 200 3 = 8 000 000 троек или даже 200 2 = 40 000 пар исследовать 200 возможных вариантов z. Дополнительную работу составляют разложение на множители и проверка, но в целом поисковая эффективность серьёзно растёт. И всё равно пространство поисков, изученное в поисках суммы кубов, дающих такое число, как 33, настолько огромно, что даже такие улучшения не могут помочь суперкомпьютерам близко подступиться к этой задаче.
Тут на сцену и вышел Эндрю Букер. Он разработал некоторые дополнительные техники, используя алгебру и теорию чисел, для ещё более сильного улучшения поисковой эффективности. Напустив суперкомпьютер своего университета на эту задачу, через три недели он получил впервые найденное представление числа 33 как суммы трёх кубов:
33 = 8 866 128 975 287 528 3 + (−8 778 405 442 862 239) 3 + (−2 736 111 468 807 040) 3
Решив эту задачу, перед тем, как перейти к числу 3, Букер и Сазерленд решили такую же задачу для числа 42:
42 = (−80 538 738 812 075 974) 3 + 80 435 758 145 817 515 3 + 12 602 123 297 335 631 3
Вас может удивить, что спустя тысячи лет, мы ещё можем узнать что-то новое о таких числах, как 3, 33 и 42. Возможно ещё более удивительным будет то, что этому могут помочь такие абстрактные вещи из школьной математики, как формула для суммы кубов. Однако так работает математика, и поэтому мы продолжаем наши изыскания. Так что следите за числом 114 – самым маленьким из чисел на сегодня, для которого пока ещё не найдена сумма из трёх кубов. У меня есть ощущение, что для Эндрю Букера и других математиков поиск уже начался.