Симметрия куба в природе

Симметрии куба, как и симметрии тетраэдра делятся на два типа — самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа мы, как и в случае тетраэдра, будем называть вращениями. Все вращения, очевидно, образуют группу, которая называется группой вращений куба. Опишем сначала строение этой группы.

Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.

В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба (рис. 28). Для каждой из 6 возможностей — когда указано, какая именно грань расположена внизу, — имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы

Таким образом, получаем вращений куба. Укажем их в явном биде.

Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.

а) Оси симметрии четвертого порядка — это оси проходящие через центры противоположных граней: Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а именно вращения на углы . Этим вращениям соответствуют 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически и согласовано. Например, перестановки

отвечают поворотам вокруг оси .

б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей [1, 7], [2, 8], [3, 5], [4, 6] имеется по два нетождественных вращения на углы . Например, вращения вокруг диагонали [1, 7] определяют такие перестановки вершин куба:

Всего получаем 8 таких вращений.

в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противолежащих ребер куба. Имеется шесть пар противоположных ребер (например, [1, 2], [7, 8]), каждая пара определяет одну ось симметрии, т. е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего — 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9 + 8 + 6 + 1 = 24 различных вращения. Итак, все вращения куба указаны. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей.

Рассмотрим, как действует группа вращений куба на множестве его диагоналей. Различные вращения куба переставляют диагонали куба по-разному, т. е. им соответствуют различные перестановки на множестве диагоналей (проверьте!). Поэтому группа вращений куба определяет группу перестановок на множестве диагоналей, состоящую из 24 перестановок. Поскольку куб имеет лишь 4 диагонали, группа всех таких перестановок совпадает с симметрической группой на множестве диагоналей. Итак, любая перестановка диагоналей куба соответствует некоторому его вращению, причемразным перестановкам соответствуют разные вращения.

Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.

Источник

Симметрия куба в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень — икосаэдр.

Источник

Правильные многогранники в природе

Что было бы, если в мире существовал только один тип фигуры, например, такая форма, как прямоугольник? Некоторые вещи не изменились бы вовсе: двери, грузовые трейлеры, футбольные поля – все они выглядят одинаково. Но как насчет дверных ручек? Они были бы немного странными. А колеса автомобилей? Это было бы неэффективно. А футбол? Трудно даже представить. К счастью, мир полон многих различных форм. Существуют ли правильные многогранники в природе? Да, и их очень много.

Что такое многоугольник?

Для того чтобы фигура была многоугольником, необходимы определенные условия. Во-первых, должно быть много сторон и углов. Кроме того, это должна быть закрытая форма. Правильный многоугольник представляет собой фигуру со всеми равными сторонами и углами. Соответственно, у неправильного они могут быть немного деформированными.

Виды правильных многоугольников

Какое минимальное количество сторон может иметь правильный многоугольник? У одной линии не может быть много сторон. Две стороны также не могут встретиться и сформировать закрытую форму. А три стороны могут – так получится треугольник. И поскольку мы говорим о правильных многоугольниках, где все стороны и углы равны, мы имеем в виду равносторонний треугольник.

Если добавить еще одну сторону, получится квадрат. Может ли прямоугольник, где стороны не равны, являться правильным многоугольником? Нет, эта фигура будет называться прямоугольником. Если добавить пятую сторону, то получится пятиугольник. Соответственно, есть и шестиугольники, семиугольники, восьмиугольники и так до бесконечности.

Элементарная геометрия

Многоугольники бывают разных видов: открытые, закрытые и самопересекающиеся. В элементарной геометрии многоугольник является плоской фигурой, которая ограничена конечной цепочкой из прямолинейных отрезков в форме замкнутой ломаной или контура. Эти отрезки являются его ребрами или сторонами, а точки, где два ребра встречаются, – вершинами и углами. Внутренняя часть многоугольника иногда называется его телом.

Многогранники в природе и жизни человека

В то время как пятиугольными узорами изобилуют многие живые формы, минеральный мир предпочитает двойную, тройную, четырехкратную и шестикратную симметрию. Шестиугольник представляет собой плотную форму, которая обеспечивает максимальную структурную эффективность. Он очень распространен в области молекул и кристаллов, в которых пятиугольные формы почти не встречаются. Стероиды, холестерин, бензол, витамины С и D, аспирин, сахар, графит – это все проявления шестикратной симметрии. Где в природе встречаются правильные многогранники? Самая известная гексагональная архитектура создается пчелами, осами и шершнями.

Шесть молекул воды формируют ядро каждого кристалла снега. Так получается снежинка. Грани глазка мухи образуют плотно упакованное шестиугольное расположение. Какие еще есть правильные многогранники в природе? Это кристаллы воды и алмаза, базальтовые колонны, эпителиальные клетки в глазу, некоторые растительные клетки и многое другое. Таким образом, многогранники, созданные природой, как живой, так и неживой, присутствуют в жизни человека в огромном количестве и многообразии.

Чем обусловлена популярность шестиугольников?

Снежинки, органические молекулы, кристаллы кварца и столбчатые базальты представляют собой шестиугольники. Причиной тому является присущая им симметрия. Наиболее ярким примером служат соты, шестиугольная структура которых сводит к минимуму пространственный недостаток, так как вся поверхность расходуется весьма рационально. Зачем делиться на идентичные ячейки? Пчелы создают в природе правильные многогранники для того, чтобы использовать их для своих нужд, в том числе для хранения меда и откладки яиц. Почему природа предпочитает шестиугольники? Ответ на этот вопрос может дать элементарная математика.

Треугольники. Возьмем 428 равносторонних треугольников со стороной около 7,35 мм. Их общая длина составляет 3*7,35 мм*428/2 = 47,2 см.
Прямоугольники. Возьмем 428 квадратов со стороной около 4,84 мм, их общая длина составляет 4*4,84 м *428/2 = 41,4 см.
Шестиугольники. И, наконец, возьмем 428 шестиугольников со стороной 3 мм, их общая длина составляет 6*3 мм*428/2 = 38,5 см.

Очевидной является победа шестиугольников. Именно эта форма помогает предельно минимизировать пространство и позволяет на меньшей территории поместить как можно больше фигур. Соты, в которых пчелы хранят свой янтарный нектар, являются чудесами точной инженерии, массивом призмовидных клеток с идеально шестиугольным поперечным сечением. Восковые стены выполнены с соблюдением очень точной толщины, ячейки осторожно наклонены, чтобы предотвратить выпадение вязкого меда, а вся конструкция выравнивается в соответствии с магнитным полем Земли. Удивительным образом пчелы работают одновременно, координируя свои усилия.

Почему шестиугольники? Это простая геометрия

Если вы хотите собрать вместе одинаковые по форме и размеру ячейки, чтобы они заполнили всю плоскость, то будут работать только три регулярные фигуры (со всеми сторонами и с одинаковыми углами): равносторонние треугольники, квадраты и шестиугольники. Из них гексагональные ячейки требуют наименьшей общей длины стены по сравнению с треугольниками или квадратами одной и той же области.

Поэтому выбор пчелами шестиугольников имеет смысл. Еще в XVIII веке ученый Чарльз Дарвин заявил, что гексагональные соты «абсолютно идеальны в экономии труда и воска». Он считал, что естественный отбор наделял пчел инстинктами для создания этих восковых камер, которые имели преимущество, предусматривающее меньшие затраты энергии и времени, чем при создании других форм.

Примеры многогранников в природе

Составные глаза некоторых насекомых упакованы в гексагональ, где каждая грань – это линза, соединенная с длинной тонкой клеткой сетчатки. Структуры, которые образуются кластерами биологических клеток, часто имеют формы, управляемые по тем же правилам, что и пузырьки в мыльном растворе. Микроскопическая структура грани глаза – один из лучших примеров. Каждый фасет содержит кластер из четырех светочувствительных клеток, которые имеют ту же форму, что и кластер из четырех обычных пузырьков.

Что определяет эти правила мыльных пленок и формы пузырьков? Природа еще больше обеспокоена экономией, чем пчелы. Пузырьки и мыльные пленки сделаны из воды (с добавлением мыла), и поверхностное натяжение тянет поверхность жидкости таким образом, чтобы придать ей как можно меньшую площадь. Вот почему капли являются сферическими (более или менее), когда они падают: сфера имеет меньшую площадь поверхности, чем любая другая форма с тем же объемом. На восковом листе капли воды втягиваются в маленькие бусины по той же причине.

Это поверхностное натяжение объясняет модели пузырьковых плотов и пенопластов. Пена будет искать структуру, которая имеет самое низкое общее поверхностное натяжение, что обеспечит наименьшую площадь стенки. Хотя геометрия мыльных пленок продиктована взаимодействием механических сил, она не говорит нам, какова будет форма пены. Типичная пена содержит многогранные ячейки разных форм и размеров. Если присмотреться внимательнее, то правильные многогранники в природе – не такие уж правильные. Их края редко бывают идеально прямыми.

Правильные пузырьки

Предположим, что вы можете сделать «идеальную» пену, в которой все пузырьки имеют одинаковый размер. Какова же совершенная форма ячейки, которая делает общую площадь стенки пузырька настолько малой, насколько это возможно. Это обсуждалось много лет, и долгое время считалось, что идеальная форма ячейки представляет собой 14-гранный многогранник с квадратными и шестиугольными сторонами.

В 1993 году была обнаружена более экономичная, хотя и менее упорядоченная структура, состоящая из повторяющейся группы из восьми различных форм ячеек. Эта более сложная модель использовалась как вдохновение для пенообразного дизайна плавательного стадиона во время Олимпийских игр 2008 года в Пекине.

Правила формирования клеток в пене также контролируют некоторые закономерности, наблюдаемые в живых клетках. Не только составной глаз мух показывает ту же гексагональную упаковку фасетов, что и плоский пузырь. Светочувствительные клетки внутри каждой из отдельных линз тоже соединяются в группы, которые выглядят так же, как мыльные пузыри.

Мир многогранников в природе

Клетки многих разных типов организмов, от растений до крыс, содержат мембраны с такими микроскопическими структурами. Никто не знает, для чего они нужны, но они настолько широко распространены, что справедливо предположить, что у них есть какая-то полезная роль. Возможно, они изолируют один биохимический процесс от другого, избегая перекрестных вмешательств.

Или может быть это просто эффективный способ создания большой рабочей плоскости, поскольку многие биохимические процессы протекают на поверхности мембран, где могут быть встроены ферменты и другие активные молекулы. Какая бы ни была функция многогранников в природе, не стоит утруждать себя созданием сложных генетических инструкций, ведь законы физики сделают это за вас.

Некоторые бабочки имеют крылатые чешуйки, содержащие упорядоченный лабиринт из прочного материала, называемого хитином. Воздействие световых волн, отскакивающих от обычных хребтов и других структур на поверхности крыла, приводит к тому, что некоторые длины волн (то есть некоторые цвета) исчезают, а другие усиливают друг друга. Таким образом, многоугольная структура предлагает отличное средство для производства животного цвета.

Чтобы сделать упорядоченные сети из жесткого минерала, некоторые организмы, по-видимому, образуют форму из мягких гибких мембран, а затем кристаллизуют твердый материал внутри одной из взаимопроникающих сетей. Сотовая структура полых микроскопических каналов внутри хитиновых шипов необычного морского червя, известного как морская мышь, превращает эти волоскоподобные структуры в естественные оптические волокна, которые могут направлять свет, изменяя его от красного до синевато-зеленого в зависимости от направления освещения. Это изменение цвета может служить для сдерживания хищников.

Природе виднее

Растительный и животный мир изобилуют примерами многогранников в живой природе, как и неживой мир камней и минералов. С чисто эволюционной точки зрения, шестиугольная структура является лидером по оптимизации энергопотребления. Помимо очевидных преимуществ (экономия пространства), полиэдральные сетки обеспечивают большое количество граней, следовательно, увеличивается количество соседей, что благотворно сказывается на всей конструкции. Конечным результатом этого является то, что информация распространяется гораздо быстрее. Почему правильные шестиугольные и неправильные звездчатые многогранники в природе встречаются так часто? Наверное, так нужно. Природе виднее, она знает лучше.

Источник