Ребро одного куба равно диагонали другого куба

Что такое куб: определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

• a – ребро куба;
• d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Источник

Ребро одного куба равно диагонали другого куба

Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в 2 раза больше высоты пирамиды.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через вершины куба, принадлежащие граням SAB и SAC, и вершину пирамиды, перпендикулярна плоскости ASD, где D — середина стороны ВС.

б) Найдите отношение объемов пирамиды и куба.

а) Рассмотрим ребро куба, лежащее в грани SBC. Верхняя грань куба параллельна основанию пирамиды, поэтому пересекает грань SBC по прямой, параллельной BC. Значит, и ребро куба, соединяющее вершины, принадлежащие граням SAB (обозначим M) и SAC (обозначим N) параллельна BC. Плоскость же ASD перпендикулярна BC, так как прямая AD перпендикулярна прямой BC и прямая SD перпендикулярна прямой BC. Значит, плоскость ASD перпендикулярна прямой MN, а вместе с ним (по признаку перпендикулярности плоскостей) и плоскости SMN.

б) Пусть высота пирамиды равна x. Тогда и площадь основания пирамиды равна:

Тогда объем пирамиды равен:

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, содержащей верхнюю грань куба. Это правильный треугольник, в который вписан квадрат так, что одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника, а две другие его вершины лежат на других сторонах треугольника. Без ограничения общности можно считать, что ребро куба равно 1. Тогда сторона этого треугольника равна:

Теперь можно заметить, что плоскость, содержащая верхнюю грань куба отсекла от нашей пирамиды подобную пирамиду с высотой Запишем отношение подобия:

Решая это уравнение, получим, что

Теперь можно вычислить отношение объемов пирамиды и куба. Оно равно:

Ответ:

Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 5. Площади поверхности подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь поверхности большего куба в 25 раз больше площади поверхности меньшего куба.

Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна Если ребро куба равно a, то диагональ куба дается формулой Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна Если ребро куба равно a, то диагональ куба дается формулой Следовательно, ребро куба равно 1, тогда его объем равен 1.

Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна Если ребро куба равно a, то диагональ куба дается формулой Следовательно, ребро куба равно 13, а его объем равен 2197.

Там корень из двух должен быть

Все ребра куба равны

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AB, BC, CC₁.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунок 1.

Пусть M – середина ребра AB, N — середина BC, P — середина CC₁. И пусть ребро куба равно Тогда: Составим уравнение секущей плоскости.

Из первых двух уравнений системы:

Искомое уравнение имеет вид:

Найдем ординату Q, точки пересечения секущей плоскости αи ребра D₁C₁.

При абсцисса R, точки пересечения α и ребра A₁D₁, при аппликата S, точки пересечения α и ребра A₁A, при

Шестиугольник MNPQRS — искомое сечение.

б) Найдем косинус угла φ между плоскостью α и нижним основанием куба. (уравнение последнего имеет вид: z = 0).

Нормальный вектор плоскости α: нормальный вектор нижнего основания куба

Проекция сечения на нижнее основание куба — шестиугольник M₁N₁CQ₁R₁A, площадь которого равен

Ответ: б)

Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.

а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.

б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

а) Центр шара равноудален от трех плоскостей граней куба. Множество точек, равноудаленных от двух плоскостей — плоскость (биссектор двугранного угла). (на самом деле есть две такие плоскости, но нас сейчас интересуют только точки внутри куба). Поэтому нужное нам множество потенциальных центров — пересечение трех биссекторов, поэтому оно не может быть больше, чем прямая. Очевидно все точки диагонали куба подходят.

б) Пусть центры шаров лежат на а радиусы шаров Тогда откуда и

Ответ: б)

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро a формулой поэтому при увеличении длины ребра на площадь увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба равно

Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите

Так как середина ребер куба является центром сферы, диаметр которой равен ребру куба, в кубе содержится 1/4 сферы и, соответственно, 1/4 ее поверхности. Имеем:

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро a формулой поэтому при увеличении длины ребра на площадь увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба равно

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

Если каждое ребро куба увеличить на 5, то его площадь поверхности увеличится на 390. Найдите ребро куба.

Пусть длина ребра куба равна l, тогда площадь поверхности куба равна откуда получаем уравнение

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 9. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 81.

Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле откуда имеем:

Тем самым, объём куба равен 36.

Шар, объём которого равен вписан в куб. Найдите объём куба.

Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле откуда имеем:

Тем самым, объём куба равен 210.

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз?

Исходный и полученный куб подобны с коэффициентом 5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Следовательно, при увеличении длины ребра в 5 раз объем куба увеличится в раз.

а) Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

а) Введём систему координат, как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B, D, C₁ имеют координаты соответственно.

Поскольку P лежит на продолжении A₁C, отрезок A₁P можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P имеет координаты

Отрезки C₁B, DB и DC₁ — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC₁P равны, поэтому он правильный.

б) Координаты точки A: Раcстояние от точки P до точки A равно

Ответ:

а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC₁D — правильный.

Пусть Поскольку ABCD — квадрат имеем:

Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

Заметим, что треугольник — прямоугольный, тогда откуда

В треугольнике OMC имеем: так как — верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC − прямоугольный, ∠M = 90°.

Так как BO = OD (C₁O — медиана), и — правильный, то M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC₁, то есть центр описанной окружности.

Так как M — центр описанной окружности треугольника BC₁D и ∠C₁MC = 90°, то проекция точки P — точка M, тогда PB = PC₁ = PD.

Заметим, что по теореме косинусов

Так как значит, — правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) по теореме косинусов

Ответ:

Приведем решение Дениса Чернышева.

а) Найдем длины боковых ребер тетраэдра как длины векторов и :

и Отсюда вычислим

Аналогично вычисляются и .

Найдем длины ребер основания тетраэдра как длины векторов и :

Аналогично вычисляются и Все ребра равны, значит, PDBC₁ — правильный тетраэдр.

б) Найдем длину вектора

Ответ:

Источник