Прямые ребра куба найти углы между ними

Математика для блондинок

Математикой должны заниматься блондинки — они врать не умеют.

Страницы

четверг, 14 марта 2013 г.

Куб и угол между прямыми

Сейчас решим задачу про куб и угол между прямыми. Задача звучит так:

Точка Е — середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми DE и BD1.

Для начала нужно соорудить конструкцию куба и разукрасить её буквами обозначений. Затем попробуем разобраться, чего надобно этим старцам от математики. Рисуем куб и прямые линии.

Куб и прямые линии

Получилось, что одна прямая линия совпадает с диагональю куба, вторая прямая линия проходит через боковую грань куба. Математики такие лини называют скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми определяется (не в смысле математическое определение типа «бла-бла-бла», а когда конкретное дело делается) как угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. Это не я такой умный, это у меня книжка умная есть, там и вычитал.

Возьмем ту прямую, которая на боковой грани и проведем параллельную ей прямую линию, проходящую через вершину D1. В этом случае мы получили две пересекающиеся прямые, для которых уже можно определить угол.

Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Для определения угла нам нужны размеры куба. Без этого математика бессильна. Поскольку, по условию задачи, размеры куба нам не заданы, мы можем сами выбрать любой, благо все три размера у куба одинаковы. Примем длину ребра нашего куба за единицу. Получился куб в собственном соку, то есть в собственных единицах измерения. Весь этот математический фокус заключается в том, что угол между заданными нам прямыми совершенно не зависит от размеров куба. И в большом кубе, и в маленьком кубике углы между этими прямыми будут одинаковы.

Дальше всё просто, как в реанимации. Назначаем пациенту, то есть кубу:

1. Две теоремы Пифагора для двухмерного пространства.
2. Одну теорему Пифагора для трехмерного пространства.
3. Одну теорему косинусов.
4. Одну таблицу косинусов.

Теперь разберемся, к каким местам на теле куба всё это нужно прикладывать.

Два прямоугольных треугольника, диагональ куба, искомый угол в треугольнике

Рассуждаем от конца к началу. По таблице косинусов мы можем найти значение угла в градусах. Значение косинуса угла можно найти по теореме косинусов, если знать размеры сторон синенького треугольника из рисунка выше. По теореме Пифагора для трехмерного пространства мы можем найти диагональ куба — это одна из сторон треугольника. Две другие стороны треугольника можно найти на гранях куба по обычной (двухмерной) теореме Пифагора. А вот для применения теоремы Пифагора нам необходимы числовые размеры куба. Ведь просто слово «ребро» во вторую степень возвести не возможно. Вот для этого мы и приняли в самом начале размер ребра равным единице.

Мы проутюжили наше решение от начала к концу и от конца к началу. Лично у меня оно где-то по середине и срослось, на теореме Пифагора. Что бы там не утверждали наши современные математики, а математических инструментов мощнее тригонометрии и теоремы Пифагора они так и не создали.

Для полного счастья нам нужно ещё рассмотреть теорему косинусов. Ведь тупо записать её могут многие, а вот применять на практике этот калейдоскоп символов нужно ещё уметь. Посмотрите, как буковки в формулах переливаются! Это и есть первозданная красота математики.

Теорема косинусов

Что такое математическая функция арккосинус? Это очень умное выражение, которым нас пугают математики. А фактически это наша голова и таблица косинусов перед глазами. Или специальная кнопочка на калькуляторе. Только вместо команды «Бобик, фас!» ( косинус — найти число по значению угла), нужно выполнять команду «Фас, покусай Бобика!» (арккосинус — найти значение угла по числовому значению косинуса).

Пусть у нас неизвестный угол будет по кличке «гамма», а диагональку куба мы обзовем «а». Отрезок прямой, что расположен на грани куба прямо перед нами, будет именоваться «с», а на грани слева — «b». Вот теперь можно погонять циферки и получить числовое решение задачи.

Источник

Углы между скрещивающимися прямыми в кубе
план-конспект занятия по геометрии (10 класс) по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Интерактивный метод в рамках ФГОС

ВСЕ ,ЧТО ХОЧЕШЬ, СКАЗАТЬ, СПРОСИ!

Пример модели урока с использованием интерактивного метода обучения Класс : 10 в. Тема: «Углы между скрещивающимися прямыми в кубе». Тип урока : формирование умений и навыков.

Цели урока: Дидактическая : научить находить и вычислять угол между скрещивающимися прямыми в кубе; вырабатывать пространственное воображение. Развивающая : а ктивизировать познавательные способности , вырабатывать умение анализировать и сравнивать. Воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие, приучать умению выслушивать других и умению общаться.

Повторение-мать учения. 1.Отвечают два-три ученика вслух. 2.Отвечают друг- другу. Результаты ответа оцениваются учениками. В повторении задействованы все.

Всё, что мы знаем о кубе Дать определение куба. Сформулировать основные свойства куба. Вычислить длину диагонали грани. Вычислить длину диагонали куба.

Всё, что мы знаем про угол между двумя прямыми в пространстве. Дать определение угла между двумя прямыми в пространстве. Дать определение угла между скрещивающимися прямыми. Дать определение перпендикулярности прямых. Сформулировать теорему о трёх перпендикулярах.

Ключ к решению задач. Задача сводится к нахождению угла между пересекающимися прямыми, соответственно параллельные данным. Для этого параллельным переносом спроецировать скрещивающиеся прямые на одну плоскость. Для установления перпендикулярности скрещивающихся прямых использовать теорему о трёх перпендикулярах.

АНАЛИЗ КОНКРЕТНЫХ СИТУАЦИЙ. Работа в группах по четыре человека

Ситуация 1 Найти все пары скрещивающихся прямых в кубе. Прямые- рёбра куба . Найти углы между ними.Ответ: 9 0 o .

Ситуация 2 Найти все пары скрещивающихся прямых в кубе. Одна прямая- ребро куба, другая-диагональ одной из граней. Найти углы между ними. Ответ: 45 o .

Ситуация 3 Найти все пары скрещивающихся прямых в кубе. Одна прямая- ребро куба, другая-диагональ куба. Найти углы между ними. Ответ:

Ситуация 4 Найти все пары скрещивающихся прямых в кубе. Прямые – диагонали граней куба. Найти углы между ними. Ответ: 60 o ;90 o .

Ситуация 5 Найти все пары скрещивающихся прямых в кубе. Одна прямая- диагональ грани, другая-диагональ куба. Найти углы между ними. Ответ :90 o .

Домашнее задание. Чтобы знать путь, надо его пройти. Письменное оформление решения разобранных задач.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними в системе компьютерного черчения КОМПАС. Может быть использована на уроках информатики и ИКТ в 10 классе при изучении темы «Компьютерна.

Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания

Цель урока: сформулировать и доказать свойства еще одного вида углов, связанных с понятием окружности – углов между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания.Задачи урока: .

Практическая работа «Построение углов между плоскостями, между прямой и плоскостью»

Практическая работа по геометрии ,10 класс. Хотя данную работу можно провести при подготовке к ЕГЭ по математике, при решении задач типа С2. Работа содержит 8 заданий на построение угла между прямой и.

Построение угла между плоскостями

Презентация к уроку Построение угла между плоскостями.

Конспект урока, геометрия в 10 классе «Углы между прямыми и плоскостями»

При моделировании урока использованы цифровые образовательные ресурсы из единой коллекции, а также авторские демонстрационные презентации.

координатный метод для нахождения угла между прямой и плоскостью, между плоскостями.

рассмотреть координатный метод с применением уравнения плоскости для решения задач на нахождение углов. Показать преимущество этого метода перед другими и эффективность использования этого метод.

Формулы длины векторов, угла между векторами, расстояния между двумя точками

Формулы длины векторов, угла между векторами, расстояния между двумя точками.

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник