Призма параллелепипед куб пирамида тетраэдр

Призма параллелепипед куб пирамида тетраэдр

Главная Шутки Форум

План занятий


Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида

Многогранники. Выпуклый многогранник. Призма.

Прямая, наклонная и правильная призма. Параллелепипед.

Прямой и прямоугольный параллелепипед, куб. Пирамида.

Тетраэдр. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

Многогранник – это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей ( многоугольников ). Эти многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, их вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник – выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Призма – это многогранник ( рис.79 ), две грани которой ABCDE и abcde ( основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB , BbcC и т.д. ) — параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой ( A a , или B b , или C c и т.д. ). Параллелограммы AabB , BbcC и т.д. называются боковыми гранями; рёбра A a , B b , C c и т.д. называются боковыми рёбрами. Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. На рис.79 показана наклонная призма.

Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда

четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a , b , c связаны соотношением: d 2 = a 2 + b 2 + c 2 . Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань ( основание пирамиды ) – это произвольный многоугольник ( ABCDE , рис.80 ), а остальные грани ( боковые грани ) – треугольники с общей вершиной S , называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO , опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Треугольная пирамида является тетраэдром ( четырёхгранником ), четырёхугольная – пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани ( SF ) называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение abcde , параллельное основанию ABCDE ( рис.81 ) пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани ABCDE и abcde называются основаниями; расстояние Oo между ними – высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота Ff боковой грани ( рис.81 ) называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Copyright © 2004 — 2007 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

Источник

Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида

Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида

Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности

Эти многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, их вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.

Призма – это многогранник, две грани которой ABCDE и A1B1C1D1E1

( основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AA1B1B, BB1C1C и т. д. ) — параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой ( AA1, или BB1, или CC1 и т. д. ). Параллелограммы AA1B1B, BB1C1C и т. д. называются боковыми гранями; рёбра AA1, BB1, CC1 и т. д. называются боковыми рёбрами.

Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания.

В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д.

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. На рисунке показаны прямая и наклонная призмы

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной.

1о. Основания призмы являются равными многоугольниками.
2о. Боковые грани призмы являются параллелограммами.
3о. Боковые ребра призмы равны.

Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда

четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d 2 = a 2+ b 2 + c 2.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Свойства параллелепипеда

1о. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.
2о. Каждая грань параллелепипеда — параллелограмм.
3о. Противолежащие грани параллелепипеда равны.
4о. Параллельные ребра параллелепипеда равны.

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань ( основание пирамиды ) – это произвольный многоугольник ( ABCDE, рис.80 ), а остальные грани ( боковые грани ) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды.

Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Треугольная пирамида является тетраэдром ( четырёхгранником ), четырёхугольная – пятигранником и т. д.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани (SF) называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение abcde, параллельное основанию ABCDE ( рис.81 ) пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани ABCDE и abcde называются основаниями; расстояние Oo между ними – высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота Ff боковой грани

( рис.81 ) называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Свойства правильной пирамиды

1о. Основание правильной пирамиды — правильный многоугольник.
2о. Боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные треугольники.
3о. Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Источник

МНОГОГРАННИКИ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы

Многогранники (объемные геометрические фигуры) : определения, формулы периметра поверхности и площади. Виды: призма, параллелепипед ( в т.ч. прямоугольный параллелепипед , куб), пирамида ( в т.ч. усеченная пирамида).

Призма

  • Призма — многогранник, у которого две грани – равные многоугольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
  • Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная призма; пятиугольник — пятиугольная призма (пентапризма) и т. д.
  • Прямая призма – призма, у которой боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (если нет – наклонная).
  • Правильна призма – призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
  • Высотапризмы – перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания. на плоскость другого.

Формулы для призмы :

Объем призмы: V = So∙h
Площадь поверхности: S = 2∙So + Sбок
Где: V – объем призмы, So – площадь основания, h – высота, Sбок – площади всех боковых граней.

Параллелепипед

Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм.

  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы.
  • Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  • Параллелепипед имеет четыре диагонали.
  • Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  • Основанием параллелепипеда может быть любая грань.
  • Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
  • Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
  • Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
  • Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
  • Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами. Все грани куба равны.

Формулы для параллелепипеда :

Объем параллелепипеда: V = So∙h
Площадь поверхности: S = 2∙So + Sбок
Где: V – объем параллелепипеда, So – площадь основания, h – высота, Sбок – площади всех боковых граней.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда :

Объем прямоугольного параллелепипеда: V = a∙b∙c = So∙ c
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2·(Sa+Sb+Sc) или S= 2· (a·b+ b·c+ a·c)
Диагональ: d =√(a 2 +b 2 +c 2 )
Где: V – объем прямоугольного параллелепипеда, a – длина, b – ширина, с – высота, So – площадь основания, Sa,Sb,Sc – площади соответствующих сторон.

Формулы для куба :

Объем куба: V = a 3
Площадь поверхности куба: S = 6·a 2
Диагональ: d = a√3
Где: V – объем куба, a – длина грани куба.

Пирамида

  • Пирамида — многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
  • По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
  • Вершина пирамиды – общая точка для всех треугольников.
  • Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание.
  • Правильная пирамида – пирамида, у которой основание – правильный многоугольник, высота опускается в центр основания. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется – апофема правильной пирамиды.
  • Правильная треугольная пирамида – это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды – правильный треугольник, а остальные – боковые грани – равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
  • Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани – равносторонние треугольники.
  • Правильная четырехугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — квадрат, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

Формулы для правильной пирамиды :

Объем правильной пирамиды: V = 1/3 · (So · h)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = ½ · Pо· a
Где: V – объем пирамиды, So – площадь основания пирамиды, Sбок – площадь боковой поверхности, Pо — периметр основания правильной пирамиды, h – высота пирамиды. a — апофема правильной пирамиды.

Формулы для правильной треугольной пирамиды :

Объем правильной треугольной пирамиды: V = h·a 2 / (4/√3)
Где: a — сторона правильного треугольника – основания правильной треугольной пирамиды, h — высота правильной треугольной пирамиды

Формулы для правильной четырехугольной пирамиды :

Объем правильной четырехугольной пирамиды: V = 1/3 · h · a 2
Где: a — сторона квадрата – основания правильной четырехугольной пирамиды, h — высота правильной четырехугольной пирамиды.

Объем тетраэдра: V = (√2 / 12) · a 3
Где: V – объем тетраэдра, a – длина ребра тетраэдра.

Усеченная пирамида

  • Усеченная пирамида – часть пирамиды между ее основанием и сечением (сечение параллельно основанию пирамиды и делит ее на две части).
  • Основание пирамиды и сечение – два основания усеченной прамиды.
  • Высота усеченной пирамиды – расстояние между основаниями усеченной пирамиды.
  • Правильная усеченная пирамида – пирамида, которая получена из правильной пирамиды. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Формулы для усеченной пирамиды :

Объем усеченной пирамиды равен разности двух полных пирамид.
Объем правильной усеченной пирамиды:
V = 1/3 · h · (Sосн1 + Sосн2 + √(Sосн1Sосн2))
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
Sбок = ½ (Pосн1 + Pосн2) · a
Где: Sосн1, Sосн2 – площади верхнего и нижнего основания усеченной пирамиды, h – высота усеченной пирамиды, Pосн1, Pосн2 — периметры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, a — апофема правильной усеченной пирамиды.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector