Представить одночлен в виде квадрата или куба другого одночлена

Одночлен и его стандартный вид

Определение одночлена

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.

Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.

Стандартный вид одночлена – представление одночлена в виде произведения, в котором на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент одночлена), а все остальные множители являются степенями различных переменных.

Степень одночлена – это сумма показателей всех переменных, в него входящих.

$x^2\cdot23xy$ — одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);

$-\frac<3><15>a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $\left(-\frac<3><15>\right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);

9 — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;

a — одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.

Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 \cdot x^3, 0\cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -\frac<7><5>ab^3 c^2$) называются подобными.

Приведение одночлена к стандартному виду

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду

1. Определить коэффициент одночлена: перемножить все числовые множители и записать результат первым множителем.
2. Используя свойства степеней, найти общую степень для каждой из переменных одночлена.

Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.

Примеры

Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:

а) $ \frac<1><2>x^5y^4c \cdot (-5xy^2 c^3) = \frac<1> <2>\cdot (-5) \cdot c^ <1+3>\cdot x^ <5+1>\cdot y^ <4+2>= -2,5c^4 x^6 y^6 $

коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16

б) $ -(3m^4)^2 \cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 \cdot (-1)^3 \cdot k^3 \cdot m^ <8+9>\cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $

коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23

в) $ (-2)^3 xy \cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 \cdot 1,5 \cdot x^ <1+8>\cdot y^ <1+2>= -12x^9 y^3 $

Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:

а) $ \frac<1> <2>xy\cdot \frac<1><4>x^2 при x = 2, y = 3 $

$ \frac<1><2>xy \cdot \frac<1><4>x^2 = \frac<1> <2>\cdot \frac<1> <4>\cdot x^<1+2>\cdot y = \frac<1> <8>x^3 y $

Подставляем: $ \frac<1><8>\cdot2^3\cdot3 = 3 $

б) $ (-2a^2 b^3) \cdot \left(\frac<0,5>\right)^2 при a = 73,b = 3 $

$ (-2a^2 b^3) \cdot \left(\frac<0,5>\right)^2 = -2 \cdot \frac<1><2>^2 \cdot \frac \cdot \frac = -\frac<1><2>b $

Подставляем: $ -\frac<1><2>\cdot3 = -1,5 $

Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2\cdot(x^2 )^2\cdot y^2\cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $

Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -\frac<4> <49>a^6 b^9 $

Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = \frac<7> <5>$

Источник

Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.

Одночленом является выражение, содержащее числа, натуральные степени переменных и их произведения, причем оно не должно содержать любых действий с этими числами и переменными.

Одночлен (или моном) — простое выражение в математике, которое рассматривается и используется в элементарной алгебре. Если точнее, произведение, которое состоит из числового множителя и 1-ной либо нескольких переменных, каждая из которых взята в положительной степени.

К примеру, 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2 , b 2 x − одночлены, а выражения − не являются одночленами.

Стандартный вид одночлена — когда одночлен представлен как произведение числового множителя на 1-ом месте и степеней разных переменных.

Стандартным видом одночлена является одночлен как произведение числового множителя, который стоит на 1-ом месте, и степеней разных переменных. Каждый одночлен возможно привести к стандартному виду методом перемножения всех переменных и чисел, которые входят в него.

Приведение одночлена к стандартному виду:

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5­­­­ .

Числовой множитель у одночлена стандартного вида является коэффициентом одночлена, сумма показателей степени переменных — степень одночлена.

Произведение одночленов тоже является одночленом.

Одночлен в некоторой натуральной степени тоже оказывается одночленом.

Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводятся к стандартному виду.

Число 0 является нулевым одночленом.

Подобные одночлены.

2 одночлена, которые приведены к стандартному виду, являются подобными, когда они совпадают либо отличаются лишь числовым коэффициентом.

Сложение и вычитание подобных одночленов является приведением подобных слагаемых.

Одночлены, у которых произведения переменных одинаковы (порядок их может отличаться) называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются и ; и ; и ; 5 и −3; и .

Подобными одночленами не являются и .

Если у подобных одночленов коэффициенты равны, то они являются равными (одинаковыми) одночленами.

Подтвердить это можно, записав одночлены в стандартном виде:

8xy 3 ; xy 3 ; 8y 3 x; 2⋅4xyyy; 8x 3 y => 8xy 3 ; xy 3 ; 8xy 3 ; 8xy 3 ; 8x 3 y;

Если у подобных одночленов коэффициенты оказываются противоположными числами, то такие одночлены являются противоположными.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень.

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень пользуются правилом умножения степеней с одинаковым основанием и правилом возведения степени в степень. При этом получают одночлен, представляемый обычно в стандартном виде.

4x 3 y 2 (-3)x 2 y = 4(-3)x 3 x 2 y 2 y = -12x 5 y 3 ;

((-5)x 3 y 2 ) 3 = (-5) 3 x 3*3 y 2*3 = -125x 9 y 6 .

Для того, чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо умножить их коэффициенты и степени с равными основаниями.

Что бы возвести одночлена в степень, необходимо возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени всех букв на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Для того, чтобы поделить одночлен на одночлен, необходимо поделить коэффициенты делимого на коэффициент делителя, к найденной части дописать множителями все буквы делимого с показателем, который равен разнице показателей этой буквы в делимом и делителе.

Складывая и вычитая многочлены используют правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо все члены многочлена умножить на этот одночлен и одночлены, которые получены, сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо все члены 1-го многочлена домножить на все члены второго многочлена и члены, которые получены, сложить.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо все члены многочлена разделить на этот одночлен и результаты, которые получены, сложить.

Источник

224 Алгебра Алимов 7 класс Кто знает как записать одночлен в виде квадрата другого одночлена

Записать одночлен в виде квадрата другого одночлена:

1) 9а 2 ; 2) 16x 4 ; 3) 25а 2 b 4 ;
1) 81x 6 y 2 ; 5) 36x 10 y 4 ; 6) 1,21а 8 b 4 .

1) 9a 2 = (3a) 2
2) 16x 4 = (4x 2 ) 2
3) 25a 2 b 4 = (5ab 2 ) 2
4) 81x 6 y 2 = (9x 3 y) 2
5) 36x 10 y 4 = (6x 5 y 2 ) 2
6) 1,21a 8 b 4 = (1,1a 4 b 2 ) 2

Даровчики. Помощь нужна с алгеброй. никак решить не могу(((
Доказать, что —
( Подробнее. )

Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения ( Подробнее. )

Источник