Глава 03.1. Плотность распределения отказов (ПРО)
Статистическая оценка ПРО определяется отношением числа объектов 
N(t, t + T), отказавших в интервале наработки [t, t + T] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки T.
Поскольку N ( t, t + T ) = n ( t + T ) — n(t), где n( t + T ) – число объектов, отказавших к моменту наработки T + T, то оценку ПРО можно представить:
где
( t, t + T) – оценка ВО в интервале наработки, т. е. приращение ВО за T.
Оценка ПРО представляет «частоту» отказов, т. е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.
Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки T 
T0 и увеличения объема выборки N
ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа.
Поскольку Q(t) Является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t) 
0.
Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 2.
Как видно из рис. 2, ПРО F(t) Характеризует частоту отказов (или приведенную ВО), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов (T1 , … , tN ), составляющие случайную величину наработки T До отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки Ti присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина F(ti). Напротив, большая наработка Tj была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота F(tj) появления такой наработки на общем фоне будет малой.
Отложим на оси абсцисс некоторую наработку T и бесконечно малый интервал наработки шириной Dt, примыкающий к T.
Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной Dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:
где f(t)dt – элемент ВО объекта в интервале [t, t + dt] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок Dt).
Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [tk, tm ] равна:
что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [tk, tm ].
Показатели, характеризующие безотказность
Для оценки безотказности изделий используют следующие показатели:
P(t) – вероятность безотказной работы за время t;
Tср – средняя наработка до первого отказа (или среднее время безотказной работы);
Tо – средняя наработка на отказ;
T – средняя наработка между отказами;
λ(t) – интенсивность отказов;
λ1(t) – параметр потока отказов – для восстанавливаемых изделий;
ω(t) – средняя частота отказов.
Кроме вышеперечисленных, могут использоваться и другие критерии, оценивающие то или иной фактор в зависимости от особых условий работы изделия.
Показатели безотказности могут вводиться как по отношению ко всем возможным отказам изделия, так и по отношению к какому-либо одному типу отказа.
Очевидно, что изделие работает безотказно, если оно при этом сохранят свои рабочие параметры в установленных пределах в течение рассматриваемого промежутка времени t.
Вероятность безотказной работы отдельного изделия оценивается так:
где T – время от начала работы до отказа;
t – время, для которого определяется вероятность безотказной работы.
Величина Т может быть больше, меньше или равна t. Следовательно 0 ≤ P(t) ≤ 1.
Вероятность безотказной работы – это статистический и относительный показатель сохранения работоспособности однотипных изделий серийного производства, выражающий вероятность того, что в предела заданной наработки отказ изделий не наступает. Для установления значения вероятности безотказной работы серийных изделий используют формулу для среднестатистического значения:
(7.1)
где N – число наблюдаемых изделий (или элементов);
N0 – число отказавших изделий за время t;
Np – число работоспособных изделий к концу времени t испытаний или эксплуатации.
Вероятность безотказной работы является одной из наиболее значимых характеристик надёжности изделия, так как она охватывает все факторы влияющие на надёжность. Для вычисления вероятности безотказной работы используются данные, накапливаемые путём наблюдений за работой при эксплуатации или специальных испытаниях. Чем больше изделий подвергается наблюдениям или испытаниям на надёжность, тем точнее определяется вероятность безотказной работы других однотипных изделий.
Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то оценку вероятности отказа (Q(t)) определяют по формуле:
(7.2)
Распределение отказов во времени характеризуется функцией плотности распределения (t) наработки до отказа. Статистическая оценка плотности распределения имеет вид:
(7.3)
где ∆N(t) – приращение числа отказавших изделий за время ∆t.
В вероятностном смысле плотность распределения наработки до отказа
(7.4)
Вероятности отказов и безотказной работы в функции плотности распределения наработки на отказ выражаются зависимостями:
(7.5)
(7.6)
Рис.7.2.Типичное изменение вероятности безотказной работы изделия во времени.
Относительная безотказность P(t), определенная на основе экспериментальных данных, служит отправной характеристикой при проектировании новой аналогичной техники с повышенной надежностью.
При проектировании методом расчета оценивают возможное значение P(t) будущего изделия. Повышается P(t) от использования более надежных деталей и элементов (блоков, частей), от повышения надежности методов работы техники, от оптимизации структурных схем изделий, а также от использования более эффективных технологий изготовления новых образцов техники.
Расчет среднестатистического времени наработки до отказа ( или среднего времени безотказной работы ) по результатам наблюдений определяют по формуле:
, (7.7)
где N – число элементов или изделий, подвергнутых наблюдениям или испытаниям; t – время безотказной работы i-го элемента (изделия).
Средняя наработка до отказа – это математическое ожидание наработки изделия до первого отказа. Следовательно, среднюю наработку до отказа можно определить по формулам:
— для непрерывной функции распределения надежности
(7.8)
— для дискретной функции надежности
, (7.9)
где 
.
Средняя наработка на отказ –это отношение наработки восстанавливаемого изделия к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки.
Статистическую оценку среднего значения наработки на отказ вычисляют как отношение суммарной наработки за рассматриваемый период испытаний или эксплуатации изделий к суммарному числу отказов этих изделий за тот же период времени:
. (7.10)
Показатель наработки на отказ можно оптимизировать по экономическим критериям. На рис.7.3 показаны принципиальные зависимости затрат:
Зо — затраты на повышение времени наработки на отказ; Зэ — затраты эксплуатационные; Зс — суммарные затраты.
Рис. 7.3. Общая модель экономически обоснованных норм
Средняя наработка между отказами – это математическое ожидание наработки изделия от окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа до возникновения следующего отказа. Статистическую оценку среднего значения наработки между отказами вычисляют как отношение суммарной наработки изделия между отказами рассматриваемый период испытаний или эксплуатации к числу отказов этого (их) объекта(ов) за тот же период:
(7.11)
где m – число отказов за время t.
Интенсивность отказовλ(t) характеризует условную плотность вероятности возникновения отказов невосстанавливаемого изделия за рассматриваемый период времени в случае, если до этого их не наблюдалось
. (7.12)
На практике при установлении статистического значения интенсивности отказов λс(t) пользуются формулой:
, (7.13)
где N(Dt) – число отказавших изделий в интервале времени Dt;
Ncp — среднее число исправно работающих изделий в интервале Dt.
Интенсивность отказовλ(t) показывает, какая часть изделий становится неисправной за единицу времени работы по отношению к среднему числу исправно работающих изделий. Интенсивность отказов используется в качестве одного из основных критериев при оценке надежности изделий. На рис. 7.4. показано характерное изменение интенсивности отказов во времени для большинства промышленных изделий.
Рис. 7.4. Изменение интенсивности отказов во времени эксплуатации
Вероятность безотказной работы, выраженная через интенсивность отказов, имеет вид:
. (7.14)
Это уравнение является одним из основных в теории и практике расчетов показатели надежности.
Параметр потока отказовλ1(t) для восстанавливаемого изделия характеризуют плотность вероятности появления отказа ремонтопригодного объекта для определенного момента времени
, (7.15)
где f(t) – плотность распределения потока отказов за период времени t.
При определении этого показателя статистическим методом имеем
, (7.16)
где n(t) – количество отказов i-го изделия до наработки t;
n — число отказов изделия в интервале времени Dt.
Средняя частота отказов ω(t) показывает отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых или наблюдаемых при условии, что отказавшие элементы изделий заменяются исправными или восстанавливаются, т.е.
. (7.17)
Для качественного анализа безотказности работы изделия обычно принимают, что вероятность безотказной работы в период нормальной эксплуатации приближенно равна Р(t) = 1- λ(t). Дополнительными показателями безотказности служат коэффициенты технических простоев (ηпр) и исправности (ηиспр). Коэффициент технических простоев (иначе говоря коэффициент неисправности), представляет собой отношение продолжительности простоев tпр по причине неисправности техники за определенный промежуток времени к сумме продолжительности фактической работы tф и tпр за тот же период времени:
. (7.18)
Длительность исправной работы машины, характеризуемая коэффициентом исправности, рассчитывается по формуле:
. (7.19)
Необходимо отметить, что в рассмотренных способах численных оценок показателей, связанных с отказами, не учитываются тяжести последствий от различных отказов. В большинстве случаев при определении показателей безотказности надо было бы установить критерий или коэффициент весомости отказов изделия, например, по экономическим последствиям восстановления работоспособности, исчерпанию ресурса и другим характеристикам работоспособности во времени.
Показатели безотказности в зависимости от целей управления качеством определяют на различных стадиях работы технического изделия. Например, наработку на отказ в период приработки изделия определяют для выявления ранних отказов с целью принятия необходимых мер по совершенствованию конструкции и технологии изготовления, исключающих причины появления ранних отказов серийно изготавливаемых изделий.
Во время производства техники показатели ее безотказности определяют через определенные промежутки времени, для контроля их нормируемых значений. На стадии эксплуатации оценивают безотказность с целью прогнозирования ее на интересующее время эксплуатации.