а) Рассмотрим правильный тетраэдр B1AD1C. В нём B1K = B1L = B1M — апофемы боковых граней — равных равносторонних треугольников. Следовательно, боковые ребра пирамиды B1KLM равны. Кроме того, в основании этой пирамиды лежит равносторонний треугольник KLM. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.
так как высота общая.
Объём куба равен 216. Тогда
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
а) Рассмотрим правильный тетраэдр B1AD1C. В нём B1K = B1L = B1M — апофемы боковых граней — равных равносторонних треугольников. Следовательно, боковые ребра пирамиды B1KLM равны. Кроме того, в основании этой пирамиды лежит равносторонний треугольник KLM. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.
так как высота общая.
Объём куба равен 216. Тогда
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) Проведём через точку K прямую, параллельную BD1. Пусть эта прямая пересекает плоскость грани A1B1C1D1 в точке L. Прямая KL лежит в плоскости BB1D1, значит, точка L лежит на диагонали B1D1. Более того,
Прямая C1L пересекает ребро A1B1 в точке P, принадлежащей плоскости α.
Значит,
б) Объём куба ABCDA1B1C1D1 равен 343. Объём тетраэдра PKC1B1 равен одной шестой произведения его измерений:
Значит, объём оставшейся части равен
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Расстояние от точки до прямой , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой .
В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки D₁ до прямой PQ,
где P и Q – середины соответственно
В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки С до прямой ВД1.
Дано: АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. АВ = 1. Найти: Расстояние от точки С до прямой ВД 1 .
1. ∆ВСД 1 – прямоугольный ( по теореме о трёх
перпендикулярах), ∠Д 1 СВ – прямой .
2. СН – высота ∆ВСД 1 , значит СВ – среднее
пропорциональное между ВН и ВД 1 , тогда
СН – расстояние от точки С до прямой ВД 1 , поэтому СН – высота треугольника ВСД 1 . СН = 2·S ∆ВСД 1 : ВД 1 .
∆ Д 1 СВ – прямоугольный, т.к. Д 1 С СВ
по теореме о трёх перпендикулярах .
Расстояние от точки до плоскости .
Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этого точки на плоскость.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.
В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁C.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1–все рёбра равны 1.Найдите расстояние от точки А до плоскости (ВСА1)
Дано: АВСА 1 В 1 С 1 – правильная треугольная призма, все рёбра равны 1. Найдите: Расстояние от точки А до плоскости (ВСА 1 )
Решение: h – расстояние от точки А до плоскости (ВСА 1 ),
поэтому h – высота пирамиды АВСА 1
. Пусть основанием пирамиды будет ∆АВС,
∆ ВСА 1 – равнобедренный, А1К – его высота, тогда
За страницами учебника Расстояние от точки А до плоскости можно вычислить по формуле:
они лежат в плоскости (ВСА 1 ).Рассмотрим
тогда получаем систему уравнений:
Расстояние между прямыми и плоскостями .
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым существует и единственен.
Дано: АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. Все его рёбра равны 1. Найти: расстояние между прямыми АВ 1 и ВС 1 .
следовательно расстояние между скрещивающимися
прямыми ВС 1 и АВ 1 равно расстоянию между
соответствующими плоскостями. Диагональ СА 1
перпендикулярна этим плоскостям.
EF – расстояние между ВС 1 и АВ 1 .
В ∆ АСЕ отрезок ОF ║ АЕ и проходит через середину отрезка АС, следовательно ОF – средняя линия треугольника АСЕ и, значит, ЕF = FC. Аналогично, О 1 Е – средняя линия треугольника А 1 С 1 F
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:
Дано: АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. Все его рёбра равны 1. Найдите расстояние между прямыми АВ 1 и ВС 1 .
SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 1.Найдите расстояние между прямыми АS и ВС.
Дано: SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 1. Найдите: Расстояние между прямыми АS и ВС.
Угол между прямой и плоскостью .
Прямая и плоскость пересекаются , если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости .
Прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Проекцией точкиМна плоскость называется либо сама точка М , если М лежит в плоскости , либо точка пересечения плоскости и прямой, перпендикулярной к плоскости и проходящей через точку М , если точка М не лежит в плоскости .
Проекцией прямойaна плоскость называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость .
Угол между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми : самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.
На векторах построена пирамида. Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC .
На векторах построена пирамида. Найдите угол между прямойADи плоскостьюABC .
Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямойADявляется вектор
Нормальный векторплоскостиАВСперпендикулярен и векторуи вектору, то есть, в качестве нормального вектора плоскостиАВСможно взятьвекторное произведение векторови:
Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:
Задача на доказательство и вычисление .
В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.
а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.
б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
В основании правильной треугольной призмыABCA1B1C1лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. ТочкаN— середина ребраA1C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостьюBAN.
б) Найдите периметр этого сечения.
Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.
Данный материал характеризуется следующим особенностями:
Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
В задачах используются в основном простейшие многогранники.
Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.
Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:
что значит построить сечение многогранника плоскостью;
как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
как задается плоскость;
когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.
Поскольку плоскость определяется:
построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.
Существуеттри основных методапостроения сечений многогранников:
Метод следов. Метод вспомогательных сечений. Комбинированный метод.
Первые два метода являются разновидностямиАксиоматического методапостроения сечений.
Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
высота общая.
