Отрицательное число в кубе будет положительным

Возведение в степень отрицательного числа

Как возвести в степень отрицательное число?

Возведение в степень отрицательного числа можно выполнить, основываясь на определении степени.

По определению степени, n-я степень отрицательного числа -a — это произведение n множителей, каждый из которых равен -a:

Произведение двух отрицательных чисел — положительное число. Произведение любого чётного количества отрицательных чисел — также положительное число. Таким образом, возведение в чётную степень отрицательного числа можно упростить.

Степень с отрицательным основанием и чётным показателем равна степени с основанием, противоположным данному и с тем же показателем:

Произведение трех отрицательных чисел — число отрицательное. Произведение любого нечётного количества отрицательных чисел — также отрицательное число. Следовательно, при возведении отрицательного числа в нечётную степень получим отрицательное число.

Чтобы возвести в нечётную степень отрицательное число, надо поставить знак «минус» и возвести в эту степень число, противоположное данному:

Источник

—>Школа математики для всех, кто учиться и преподает —>

Каталог статей

Степень числа

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
• 4 — основание степени;
• 6 — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

  • Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».


Запись a n читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:
• a 2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a 3 — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
• a 2 — «а во второй степени»;
• a 3 — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

  • Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
  • a 1 = a
  • Любое число в нулевой степени равно единице.
  • a 0 = 1
  • Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
  • 0 n = 0
  • Единица в любой степени равна 1.
  • 1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.
• (-32) 0 = 1
• 0 234 = 0
• 1 4 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

Пример. Возвести в степень.
• 5 3 = 5 • 5 • 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 • 2.5 = 6.25
• (3 ) 4 = 3• 3• 3• 3 = 81
4 4 4 4 4 256

Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

  • При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.

  • Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное.
  • Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
  • a 2 ≥ 0 при любом a.

• 2 • (- 3) 2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
• — 5 • (- 2) 3 = — 5 • (- 8) = 40

Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5) 4 и -5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (- 5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
(- 5) 4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625

В то время как найти -5 4 означает, что пример нужно решать в 2 действия:
1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
5 4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
-5 4 = — 625
Пример. Вычислить: — 6 2 — (- 1) 4
— 6 2 — (- 1) 4 = — 37

1. 6 2 = 6 • 6 = 36
2. -6 2 = — 36
3. (- 1) 4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
4. — (- 1) 4 = — 1
5. — 36 — 1 = — 37

Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

  • В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.
  • Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Cвойства степени

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней

  • При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
  • a m • a n = a m+n, где a — любое число, а m, n — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Примеры.
• Упростить выражение.
b • b 2 • b 3 • b 4 • b 5 = b 1+2+3+4+5 = b 15

• Представить в виде степени.
6 15 • 36 = 6 15 • 6 2 = 6 15+2 = 6 17

• Представить в виде степени.
(0,8) 3 • (0,8) 12 = (0,8) 3+12 = (0,8) 15

  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.
  • Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 3 . Это понятно, если посчитать 3 3 = 27 и 3 2 = 9; 27 + 9 = 36, а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

  • При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • a m • a n = a m-n , где a — любое число, не равное нулю, а m, n — любые натуральные числа такие, что m > n.

Примеры.
• Записать частное в виде степени
(2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2

• Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8 : t = 3 4

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
• Пример. Упростить выражение.
4 5m+6 • 4 m+2 : 4 4m+3 = 4 5m+6+m+2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 — 4m — 3 = 4 2m + 5

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 — 4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать 4 3 = 64 и 4 2 = 16; 64 — 16 = 48, а 4 1 = 4
Будьте внимательны!

Свойство № 3
Возведение степени в степень

  • При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
  • (a n ) m = a n • m , где a — любое число, а m, n — любые натуральные числа.

• Пример.
(a 4 ) 6 = a 4 • 6 = a 24
• Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 32.
По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

  • При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.
  • (a • b) n = a n • b n , где a, b — любые рациональные числа; n — любое натуральное число.

(6 • a 2 • b 3 • c ) 2 = 6 2 • a 2 • 2 • b 3 • 2 • с 1 • 2 = 36 a 4 • b 6 • с 2

(- x 2 • y) 6 = ( (- 1) 6 • x 2 • 6 • y 1 • 6 ) = x 12 • y 6

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n • b n )= (a • b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
• Пример. Вычислить.

2 4 • 5 4 = (2 • 5) 4 = 10 4 = 10 000

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 • 3 2 = 4 3 • 4 2 • 3 2 = 4 3 • (4 • 3) 2 = 64 • 12 2 = 64 • 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 • (-0,25) 20 = 4 • 4 20 • (-0,25) 20 = 4 • (4 • (-0,25)) 20 = 4 • (- 1) 20 = 4 • 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

  • Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
  • (a : b) n = a n : b n , где a, b — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

• Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12

Возведение в степень дроби

  • При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель.


Примеры возведения в степень дроби.

Как возвести в степень смешанное число
Чтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой части, превращая смешанное число в неправильную дробь. После этого возводим в степень и числитель, и знаменатель.
Пример.

Формулу возведения в степень дроби применяют как слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы разделить друг на друга степени одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

• Пример. Найти значение выражения рациональным способом.

Источник

Куб отрицательного числа

Как найти куб отрицательного числа?

Что можно сказать о значении куба любого отрицательного числа?

Чтобы найти куб числа, надо это число взять множителем три раза.

Соответственно, чтобы найти куб отрицательного числа, надо найти произведение трёх множителей, каждый из которых равен этому отрицательному числу.

При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. При умножении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число.

Таким образом, куб любого отрицательного числа является числом отрицательным.

Найти куб отрицательного числа:

(для ускорения вычислений использовали таблицу кубов);

(найти куб дроби можно одним из двух способов);

Куб любого положительного числа равен положительному числу.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector