Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя
векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое
характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.
Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое
равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.
Скалярное произведение векторов формула:
Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта
операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.
Скалярное произведение векторов 
,
, обозначается так: (порядок записи сомножителей не имеет
значения, т.е. 
).
Еще используются такие обозначения: 
, 
, 
.
В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е. 
при каждом 
. Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным
(неопределенным).
Если хотя бы один из 2 векторов или равен нулевому вектору (равен нулю), то 
.
Свойства скалярного произведения векторов.
1. 
— симметричность.
2. 
обозначается 
и зовется скалярный квадрат.
3. Если 
, то 
4. Если и 
и 
и 
, то 
. Обратное утверждение тоже соответствует
5. 
6. 
7. 
Если же векторы и заданы своими координатами: 
, 
, то: скалярное
произведение векторов, формула:
Формула для определения длины вектора:
Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов
Длина вектора 
, заданного своими координатами, равна:
Как определить угол между 2 векторами:
Как найти угол между двумя векторами , , формула:
Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если
же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы
ортогональны.
Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного
произведения двух векторов, заданных своими координатами).
Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте
Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:
Исходя из этого, координаты вектора АВ:
Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.
Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:
а) В двухмерном пространстве (плоскость):
Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:
б) В трехмерном пространстве:
Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле: