Найдите взаимное расположение прямых в кубе

Содержание
  1. ЕГЭ2022 (математика профиль) в ВК Скоро вебинар «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» (Аналитическая геометрия). Жми подробнее. Скрещивающиеся прямые. Расположение прямых в пространстве. Если две прямые в пространстве параллельны или пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Возможен еще один случай взаимного расположения в пространстве, когда прямые не лежат в одной плоскости. Определение.Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Представление о скрещивающихся прямых дают: дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой; детская горка, где одна из скрещивающихся прямых – самая нижняя ступенька лесенки, а вторая – бортик самой горки; телеграфные провода и провода антенны. Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Теорема о скрещивающихся прямых. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Комментарии к этой заметке: Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда! Источник Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми Взаимное расположение двух прямых в пространстве Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице. Фигура Рисунок Определение Две пересекающиеся прямые Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку. Две параллельные прямые Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек Две скрещивающиеся прямые Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые. Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку. Две параллельные прямые Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек Две скрещивающиеся прямые Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые. С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице. Фигура Рисунок Тип утверждения и формулировка Две различные точки Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия. Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой. Две пересекающиеся прямые Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. Две параллельные прямые Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия. Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой. Две пересекающиеся прямые Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. Две параллельные прямые Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. Признак скрещивающихся прямых Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1). Доказательство . Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного». Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено. Угол между скрещивающимися прямыми На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a’ параллельна прямой a , прямая b’ параллельна прямой b. Прямые a’ и b’ пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b . Для того, чтобы найти угол между прямыми AB1 и BC1 , проведем в кубе диагональ боковой грани AD1 и диагональ верхнего основания D1B1 (рис. 4). Замечание . Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости». Источник Геометрия. 10 класс Конспект урока Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве Перечень вопросов, рассматриваемых в теме признаки скрещивающихся прямых; определение углов с сонаправленными сторонами; доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых; доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых. Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. Открытый электронный ресурс: Теоретический материал для самостоятельного изучения Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно. Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1) Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб. Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые. Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас: Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых. Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости). Доказательство.Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2). Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости. 2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α. 3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её. Теорема доказана. Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве: Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых. Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. ДоказательствоРассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3) 1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB. 2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α 3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости. 4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна. Теорема доказана. Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными. Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4) Рисунок 4 – сонаправленные лучи Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5) Доказательство: при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях. Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости- как показано на чертеже. Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B. На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB. 2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1. Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1. 3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1. 4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1. По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1. 5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1. Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами Источник
  2. Признак скрещивающихся прямых.
  3. Теорема о скрещивающихся прямых.
  4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми
  5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
  6. Признак скрещивающихся прямых
  7. Угол между скрещивающимися прямыми
  8. Геометрия. 10 класс

ЕГЭ2022 (математика профиль) в ВК

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Скрещивающиеся прямые. Расположение прямых в пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны или пересекаются, то они лежат в одной плоскости.
Возможен еще один случай взаимного расположения в пространстве, когда прямые не лежат в одной плоскости.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Представление о скрещивающихся прямых дают:

  • дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой;
  • детская горка, где одна из скрещивающихся прямых – самая нижняя ступенька лесенки, а вторая – бортик самой горки;
  • телеграфные провода и провода антенны.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема о скрещивающихся прямых.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Комментарии к этой заметке:

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Источник

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Признак скрещивающихся прямых.
Угол между скрещивающимися прямыми

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура Рисунок Определение
Две пересекающиеся прямые Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.
Две параллельные прямые Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две скрещивающиеся прямые Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.

Две параллельные прямые

Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Две скрещивающиеся прямые

Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.

Фигура Рисунок Тип утверждения и формулировка
Две различные точки Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Две пересекающиеся прямые Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Две параллельные прямые Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.

Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой

Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.

Две пересекающиеся прямые

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Две параллельные прямые

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Доказательство . Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».

Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a’ параллельна прямой a , прямая b’ параллельна прямой b. Прямые a’ и b’ пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .

Для того, чтобы найти угол между прямыми AB1 и BC1 , проведем в кубе диагональ боковой грани AD1 и диагональ верхнего основания D1B1 (рис. 4).

Замечание . Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости».

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. признаки скрещивающихся прямых;
  2. определение углов с сонаправленными сторонами;
  3. доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
  4. доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

  1. Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
  1. Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
  2. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

  1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
    2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
    3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
    Теорема доказана.

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

  1. Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости- как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.

Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1.

4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.

По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector