Найдите угол между скрещивающимися диагоналями двух боковых противоположных граней куба

Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух различных граней куба?

Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух различных граней куба?

Две диагонали граней имеют общую точку — то есть выходят из одной вершины.

В кубе ABCDA1B1C1D1 это могут быть например такие — АС и АD1.

Если соединить теперь С и D1, то CD1 тоже будет диагональю грани.

Ясно, что у всех граней диагонали равны по величине.

Поэтому треугольник ACD1 равносторонний.

То есть все углы у него 60 градусов.

1)Найдите длину диагонали грани куба, если длина диагонали этого куба 4корень из 3 2)Дина ребра куба АВСDA1B1C1D1 равна корень из 6?

1)Найдите длину диагонали грани куба, если длина диагонали этого куба 4корень из 3 2)Дина ребра куба АВСDA1B1C1D1 равна корень из 6.

Найдите угол между диагональю грани и диагональю куба.

СРОЧНО?

В треугольной призме, боковыми гранями которой являются квадраты, найдите угол между пересекающимися диагоналями боковых граней.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 AB = корень из 3 ?

Дан куб ABCDA1B1C1D1 AB = корень из 3 .

Найти угол между диагональю грани и диагональю куба.

Ребро куба равно 4 см?

Найдите диагональ грани и диагональ куба.

Диагональ куба 10 см?

Найдите : 1) его измерения 2) cos угла между диагональю куба и диагональю грани.

Ребро куба равно 3√2 найдите диагональ грани куба ( =?

Ребро куба равно 3√2 найдите диагональ грани куба ( =.

Найдите диагональ куба, диагональ грани которого равна корень из 6?

Найдите диагональ куба, диагональ грани которого равна корень из 6.

Ребро куба равно а?

Найдите расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней.

Найти угол между диагональю куба AC1 и плоскостью грани ABCD?

Найти угол между диагональю куба AC1 и плоскостью грани ABCD.

Диагональ грани куба равна 2√6?

Диагональ грани куба равна 2√6.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух различных граней куба?. Вопрос соответствует категории Геометрия и уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

1. 11. 2 дм это 112 см. 112 + 34 = 146. 4. это не смежные т. К. у смежный сторон сумма 180 градусов ♥ поставь).

A B = 32 КМ B C = 18 КМ A C = 14 км Расстояние между А и B — наибольшее, значит, можно представить, что А находится в крайней левой точке трассы, B — в крайней правой точке трассы. C находится между ними.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторона на синиус угла между ними. Синус 60градусов равен корень из трех делить на два. S = 1 / 2 * 2√7 * 8 * sin60 Дальше сам ).

На стороні АВ точка Д, а на стороні ВС точка О розглянемо трикутники АДС і АОС вони рівні оскільки АС спільна сторона , кути по 90 градусів( тобто за гіпотенузою та прилеглим до неї кутом, за 2 ознакою) оскільки ці трикутники рівні то і всі кути у ни..

Объем параллелепипеда = 25 * 31 * 35 = 27125 (см³).

1. a) если AB = BC, a BD общая сторона , значит AD = DC , получаетсяь ABD = BDC b)если триугольники ровние значит ровние и угли BCD = BAD = 108 a ADB = BDC = 31 2, если 2 сторона триуголника ровни значит ровни и третие BE = DE = 10см если триуголники..

А)AC = AB + BC = 10см + 5см = 15см. Ответ : AC = 15см. Б)AC = AB — BC = 10см — 5см = 5см. Ответ : AC = 5см.

Источник

Задачи повышенной трудности по геометрии (стр. 5 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7

Из (1) и (2) получаем следующую систему: Решив данную систему, находим радиус вписанного шара: .

Задача 2. Ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найдите двугранные углы при основании этой пирамиды.

Решение: Пусть дана пирамида SABCD, (рис. 27, а). Необходимо найти , где К – середина ребра АВ. Рассмотрим осевые сечения SAC и SKM (рис. 27, б).

Из треугольника SAC находим высоту пирамиды: . Знаем, что , так как в основании пирамиды лежит квадрат. Получаем: . С другой стороны, из треугольника SKM высота равна: . Сравнивая правые части равенств, находим искомый угол ; .

Задача 3. Два противоположных ребра единичного куба лежат в основаниях цилиндра, а остальные вершины – на его боковой поверхности. Одна из граней куба образует с основаниями цилиндра угол . Найдите высоту цилиндра.

Решение: Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую АВ и образующую l (рис. 28). Пусть грань ABCD образует с плоскостью нижнего основания угол , тогда . Высота цилиндра состоит из двух отрезков FB и BE. Найдем длины этих отрезков. Из прямоугольного треугольника АВЕ: . Заметим, что в прямоугольном треугольнике OFB: , значит . Итак, .

Ответ: .

Задачи для аудиторной работы:

1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.

2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Через одну из сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отношении m:n, считая от вершины основания. Определить полную поверхность пирамиды.

3. В куб с ребром, равным а, вписан шар. Затем в один из трехгранных углов при вершине куба вписан второй шар, касающийся первого шара. Найдите радиус второго шара.

4. Ребро куба имеет длину а, MN – его диагональ. Найти радиус сферы, которая касается трех ребер куба, выходящих из вершины М, и трех граней, содержащих точку N.

5. В правильную треугольную усеченную пирамиду помещен шар радиуса r, который касается обоих оснований и боковых ребер. Найти стороны оснований, если их отношение равно 1: 2.

6. В правильную треугольную усеченную пирамиду с боковым ребром l можно вписать первый шар, касающийся всех граней, и второй шар, касающийся всех ребер. Определить стороны оснований усеченной пирамиды.

Проектирование и проведение сечений — два наибо­лее распространённых приёма, при помощи которых про­странственная задача сводится к одной или нескольким планиметрическим задачам.

Рассмотрим метод проекти­рования. Как известно, при проектировании сохраняется отно­шение отрезков, расположенных на одной прямой или на па­раллельных прямых. Именно это свойство проектирования обыч­но и используется.

Наиболее эффективно метод проектирования выступает при решении задач, в которых тре­буется определить расстояние или угол между скрещивающимися прямыми.

В основе лежит следующее утвер­ждение: «Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость». Другими словами, если и — две скрещивающи­еся прямые (рис. 29), L — плоскость, перпендикулярная одной из них, например , точка А — проекция прямой на плоскость L, прямая — проекция прямой на плоскость L, то расстояние между прямыми и равно расстоянию от точки А до прямой . При этом общий перпендикуляр между прямыми и проектируется в перпендикуляр, проведённый из точки А на прямую .

Чтобы убедиться в справедливости данного утверждения, можно, например, провести через прямую плоскость , параллельную пря­мой . Тогда прямая есть линия пересечения плоско­стей L и .

Предложенная конструкция позволяет находить и угол между скрещивающимися прямыми: если — угол между прямыми и , а — угол между прямой и плоскостью L (рис. 29, ), то . Таким образом, взяв на прямой l отрезок длиной d и найдя — длину его проекции на плоскость L, получим .

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Найти расстояние между скрещивающимися диа­гоналями двух соседних граней куба с ребром 1.

Решение. Рассмотрим куб . Будем ис­кать расстояние между прямыми и (рис. 30, a). Спроектируем куб на плоскость, проходящую через точ­ку В и перпендикулярную диагонали (рис. 30, б, проекции вершин куба на этом рисунке обозначены так же, как и его соответствующие вершины, но с добавлением «штриха»). Задача сводится к нахождению рассто­яния от точки В’ до прямой . Поскольку плоскость перпендикулярна прямой , то прямоуголь­ник равен прямоугольнику . Но В’ — середина отрезка , следовательно, в прямоугольном треугольнике катеты и В’С’ равны соответственно и 1, . Если B‘M — высота, проведённая к гипотенузе , то .

Задача 2. В основании пирамиды SABC лежит равносто­ронний треугольник АВС, длина стороны которого рав­на . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину угла и рас­стояние между скрещивающимися прямыми, одна из ко­торых проходит через точку S и середину ребра ВС, а другая — через точку С и середину ребра АВ.

Решение: На рисунке 31, а изображена данная пира­мида, D и Е соответственно середины рёбер АВ и ВС.

Спроектируем пирамиду на плоскость, перпендикуляр­ную CD (рис. 31, б): можно считать, что она содержит ребро АВ. При этом CD спроектируется в точку D’, точка Е — в Е’ — середину отрезка B‘D‘.

Очевидно,

Искомое расстояние равно расстоянию от точки D’ до прямой SE‘, т. е. равно высоте в прямоугольном тре­угольнике S‘D‘E‘, проведённой к гипотенузе S‘E‘.

Имеем: Итак, искомое расстояние равно: Поскольку , то можем найти — искомый угол между прямыми SE и CD:

Ответ: ; .

Задачи для аудиторной работы:

1. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани – квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения.

2. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.

3. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

4. В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон оснований и центр симметрии призмы, другое делит отрезок, соединяющий центры оснований, в отношении 1: 3. Зная, что площадь первого сечения Q, найдите площадь второго.

5. Дан прямоугольный параллелепипед высотой 10 см. Через точку М на отрезке АС проведена прямая l, параллельная боковым ребрам. Известно, что расстояние между прямой l и диагоналями грани , грани равно соответственно 4 и 8 см. Найти объем параллелепипеда.

6. В правильном тетраэдре АВСD с ребром 1 точка М – середина АВ. Найти угол и расстояние между прямыми AD и СМ, а также отношение, в котором общий перпендикуляр к прямым делит соответствующие отрезки.

К двум упомянутым ранее приёмам, при помощи кото­рых стереометрические задачи сводятся к плоским (про­ектирование, проведение сечений), можно добавить ещё один — развёртку. Рассмотрим действие метода на примере.

Задача 1. Доказать, что если у тетраэдра суммы плоских углов при трёх вершинах равны 180°, то все его грани — равные треугольники.

Решение. У четвёртой вершины сумма плоских углов равна 180°. Обозначим данный тетраэдр ABCD и сделаем развёртку этого тетраэдра, разрезав его поверхность по рёбрам DA, DB, DC (рис. 32). Поскольку суммы плоских углов при вершинах А, В и С равны 180°, то при развёртке получим треугольник , в котором А, В и С — середины сторон. Следовательно, на самом деле все грани тетраэдра ABCD равны между собой.

Метод развёртки очень удобен при решении задач, в которых требуется найти кратчайший путь между двумя точками по поверхности многогранника, цилиндра или конуса. Например:

Задача 2. Пусть — прямоугольный парал­лелепипед, в котором , AD = 30. Точка М расположена в грани на расстоянии 1 от се­редины АВ и на равных расстояниях от А и В. Точка N принадлежит грани и расположена симме­трично точке М относительно центра параллелепипе­да. Найти длину кратчайшего пути по поверхности па­раллелепипеда между точками М и N.

Решение. Рассмотрим следующие варианты:

1) Путь пересекает и (рис. 33, а). Длина кратчайшего пути в этом случае находится легко. Она равна: 11+30+1=42.

2) Путь последовательно пересекает рёбра . Сделаем развёртку. Для упрощения будем обозна­чать точки на развёртке так же, как и на параллелепипеде (рис. 33, б). По теореме Пифагора:

3) Путь пересекает последовательно ребра Сделаем развертку (рис. 33, в). Длина кратчайшего пути в этом случае будет равной: Именно этот путь оказывается кратчайшим.

Задача 3. В правильной пирамиде MABCD каждое из ребер равно 6. Точки Р и К – середины ребер соответственно АВ и МС. Найдите кратчайший путь по поверхности пирамиды между точками Р и К.

Решение: Расположим грани АМВ и МВС на одной плоскости, развернув их вокруг МВ (рис. 34). Получили ромб АМСВ, где .

Ответ: кратчайший путь между точками Р и К равен 6.

Задачи для аудиторной работы:

1. — куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани . Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину ?

2. Докажите, что если суммы плоских углов при трех вершинах треугольной пирамиды равны , то все грани этой пирамиды – равные треугольники.

3. Развертка поверхности пирамиды – треугольник, у которого к стороне длиной а прилегают углы по . Найдите объем пирамиды.

4. Боковое ребро правильной пирамиды МАВС образует со стороной основания угол в и имеет длину l. Паук начал ползти от вершины А и, побывав на всех боковых гранях, вернулся в эту точку. Какова могла быть наименьшая длина пути паука?

5. На внутренней стенке в центре одной из граней стеклянного сосуда кубической формы виднеется капля меда. А на наружной стенке в противоположной точке уселась муха. Указать и найти кратчайший путь, по которому муха может добежать до медовой капли. Высота сосуда равна 8 см. Толщину стенки сосуда не учитывать.

6. В правильной четырехугольной пирамиде длина бокового ребра равна b, а плоский угол при вершине равен . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, который начинается и заканчивается в вершине основания и пересекает все боковые ребра пирамиды.

Суть метода состоит в том, что рассматриваемый тетраэдр достраивается до параллелепипеда, призмы. Чаще всего используется следующий способ: через каждое ребро тетраэдра проводят плоскость, параллельную противоположному ребру. Получатся три пары параллельных плоскостей, образующих параллелепипед. Ребра исходного тетраэдра являются диагоналями граней получившегося параллелепипеда (рис. 35). При построении чертежа лучше начинать с изображения параллелепипеда.

Задача: Противоположные ребра тетраэдра попарно равны. В основании лежит треугольник со сторонами a, b, c. Найти объем тетраэдра.

Решение: Достроим тетраэдр описанным выше способом до параллелепипеда. В получившемся параллелепипеде диагонали противоположных граней равны. Следовательно, все грани – прямоугольники, а получившийся параллелепипед прямоугольный. Объем данного тетраэдра составляет объёма параллелепипеда (от параллелепипеда отрезаются 4 треугольные пирамиды, объём каждой пирамиды равен объёма параллелепи­педа).

Обозначим рёбра параллелепипеда через х, у и г. Получаем систему уравнений: Сложив эти уравнения, получим Таким образом,

.

Теперь находим объём параллелепипеда, а затем и тетраэдра.

Ответ:

Задачи для аудиторной работы:

1. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник АВС (), ВС = 4, = 3. Угол между диагоналями граней и равен . Найдите объем призмы.

2. Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны а, два других равны b, два оставшихся – с. Найдите косинус угла между ребрами длины а.

3. Противоположные ребра тетраэдра равны а и а, b и b, с и с. Найдите радиус описанного и вписанного шара. Докажите, что их центры совпадают.

4. Доказать, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

V. Задания для самостоятельной работы

1. О треугольнике АВС известно, что . Окружность с центром в А и радиусом, равным высоте, опущенной на ВС, делит площадь треугольника пополам. Найдите наибольший угол треугольника АВС.

2. Через точку М внутри треугольника АВС проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки прямых, заключённые внутри треугольника, равны между собой. Найдите длины этих отрезков, если
стороны треугольника равны а, b и с.

3. В треугольнике, один из углов которго равен разности двух других, длина большей стороны равна 4, а сумма площади описанного около треугольника круга и площади построенного на меньшей стороне квадрата равна 20. Найти длину меньшей стороны треугольника.

4. О равнобедренном треугольнике АВС известно, что ВАС = 120°. Найдите общую хорду окружности, описанной около треугольника АВС, и окружности, про­ходящей через центр вписанной окружности и основания
биссектрис углов А и С, если АС = 1.

5. В треугольнике PQR величина угла QRP равна . Найти расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающееся продолжений сотрон PQ и PR.

6. В треугольнике АВС сторона ВС равна а, радиус вписанной окружности равен r. Определите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, причём одна из них касается сторон ВС и ВА, а другая — ВС и
СА.

1. В окружность радиуса R вписана трапеция. Прямые, проходящие через концы одного основания параллельно боковым сторонам, пересекаются в центре окружности. Боковая сторона видна из центра под углом .
Найдите площадь трапеции.

2. Площадь треугольника, один из углов которого равен сумме двух других, равна площади квадрата, потсроенного на меньшей стороне. Найти длину меньшей стороны треугольника, если длина описанной около него окружности равна 6.

3. В треугольнике АВС помещены три равные ок­ружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника АВС равны r и R.

4. В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти ее длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и .

5. В равностороннем треугольнике АВС сторона равна а. На стороне ВС лежит точка D, а на АВ — точка Е так, что , АЕ = DЕ. Найдите СЕ.

6. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведены биссектриса СL (СL = а) и медиана СМ (СМ = b). Найдите площадь треугольника АВС.

1. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если известны длина а одного из оснований и отрезки b и d, на которые разделена точкой касания одна из боковых сторон (отрезок b примыкает к данному
основанию а).

2. Медиана в треугольнике, выходящая из одной вершины, равна высоте, опущенной из другой вершины, и равна 1. Высота, опущенная из третьей вершины, равна . Найдите площадь треугольника.

3. В окружность радиуса R вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух сторон на три равные части. Радиус второй окружности r. Найдите .

4. На отрезке АВ лежат точки С и D, причём С — между А и D. Точка М взята так, что . Найдите площадь треугольника АМВ,
если известно, что , а площади треугольников АМD и СМВ равны соответственно и .

5. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно а. Докажите, что четыре точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности. Найди­те радиус этой окружности.

6. Докажите, что отрезок общей внешней касательной к двум окружностям, заключённый между общими внутренними касательными, равен длине общей внутренней касательной.

1. Дан квадрат АВСD со стороной 1. Найдите сторону ромба, одна вершина которого совпадает с точкой А, противоположная вершина лежит на прямой ВD, а две оставшиеся — на прямых ВС и СD.

2. Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного треугольника совпадает с верши­ной прямоугольника, а две другие находятся на его сторонах, не содержащих этой вершины. Найдите площадь правильного треугольника.

3. В окружность вписан четырехугольник MNPQ, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке F. Прямая, проходящая через точку F и середину стороны NP, пересекает сторону MQ в точке H. Доказать, что FH – высота треугольника MFQ, и найти ее длину, если PQ = 6 см, NF = 5 см и .

4. АВСD — прямоугольник, в котором АВ = 9, ВС = 7. На стороне СD взята точка М так, что СМ = 3, а на стороне АD — точка N так, что АN = 2,5. Найди­те радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри пятиугольника АВСМN.

5. Найдите наибольший угол треугольника, если из­вестно, что радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника, в два раза меньше наименьшей высоты данного треугольника.

6. В треугольнике АВС биссектриса угла С перпендикулярна медиане, выходящей из вершины В. Центр вписанной окружности лежит на окружности, проходя­щей через точки А, С и центр описанной окружности.
Найдите АВ, если ВС = 1.

1. Точка М удалена от сторон правильного тре­угольника (от прямых, на которых расположены его сто­роны) на расстояния 2, 3 и 6. Найдите сторону правильно­го треугольника, если известно, что его площадь меньше 14.

2. Точка М удалена от сторон угла в 60° на расстояния и (основания перпендикуляров, опущенныхиз М на стороны угла, лежат на сторонах, а не на их продолжениях). Прямая, проходящая через М, пересека­ет стороны угла и отсекает треугольник периметра 12. Найдите площадь этого треугольника.

3. В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к ВC, пересекает сторону AD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника AED, и найти ее длину, если AB = 7см, CE = 3 см и .

4. В окружности с центром О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса ОА и ОВ, точка С — точка на дуге АВ, такая, что АОС = 60° (ВОС = ). Окружность с центром А и радиусом АВ пересекает продолжение ОС за точку С в точке D. Дока­жите, что отрезок СD равен стороне правильного деся­тиугольника, вписанного в окружность. Возьмём теперь точку М, диаметрально противоположную точке С. От­резок МD, увеличенный на своей длины, принимается приближённо равным полуокружности. Оцените погреш­ность этого приближённого равенства.

5. В параллелограмме АВСD острый угол равен . Окружность радиуса r проходит через вершины А, В и С и пересекает прямые АD и СD в точках М и N . Найдите площадь треугольника ВМN.

6. Две точки движутся с постоянными скоростями по разным окружностям, которые лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Направление движения одной точки — по часовой стрелке, другой — против часовой стрелки. В момент начала движения обе точки и центр окружностей лежат на одной прямой. После старта расстояние между точками сначала уменьшалось, а через 7 мин составляло 5 м. Чере некотрое время был зафиксирован другой момент t (t неизвестно), когда расстояние равнялось 5 м, причем в промежутке между этими моментами расстояние ни разу не принимало значение 5 м. Через 10,5 мин после момента t расстояние равнялось 3 м. Площадь ромба, длины диагоналей котрого равны длинам радиусов данных окружностей, равна 2 . Найти тангенс острого угла ромба.

1. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точках D и Е. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную из точки А, если АВ = 5, АС = 2, а точ­ки А, D, Е и С лежат на одной окружности.

2. В окружность вписан четырехугольник MNPQ, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке F. Прямая, проходящая через точку F и середину стороны MN, пересекает сторону PQ в точке H. Доказать, что FH – высота треугольника PFQ, и найти ее длину, если MQ = 7 см, MN = 4 см и .

3. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК : ВК = 1 : 2, а на стороне ВС взята точка L так, что СL : ВL = 2 : 1. Пусть Q — точка пересечения прямых АL и СК. Найдите площадь треугольника АВС,
если площадь треугольника ВQС равна 1.

Источник