Квадратный корень из а в кубе как вычислить

Кубический корень — онлайн калькулятор

Корень 3-й степени или КУБИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ из числа A определяется как такое число B, что B 3 = A. То есть куб числа B равен А. Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел (так, чтобы получился действительный результат).

Результат

Кубический корень из числа равен:

Другие калькуляторы:

Корень n-й степени из числа A есть решение X уравнения x n = A (отметим, что решений может быть несколько или ни одного)

Операция вычисления корня называется «извлечением корня n-й степени» из числа А. Это одна из двух операций, обратных по отношению к возведению в степень, а именно — нахождение основания степени b по известному показателю n и результату возведения в степень a=b n .

Корень нечётной степени из положительного числа — положительное число, однозначно определенное.

Корень нечётной степени из отрицательного числа — отрицательное число, однозначно определенное.

Корень любой натуральной степени из нуля — ноль.

Для того, чтобы упростить любой корень, необходимо разложить подкоренное выражение на простые множители и вынести за знак корня тот множитель, который повторяется равное степени корня число раз.

Видео

Подробно про кубический корень можно узнать из видео:

Примеры

Задание: Извлечь корень 3 степени из числа 27

Решение: Пользуемся калькулятором, результат = 3

Задание: Посчитать кубический корень из 64:

Решение: Пользуемся онлайн расчетом, получается 4

Задание: Посчитать корень третьей степени из числа 8:

Решение: Корень третьей степени из числа 8 равен 2

Источник

Простые и не очень способы того, как вычислить кубический корень

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

  • Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
  • Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
  • И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

В противном случае нужно будет считать столбиком. Алгоритм не самый простой. Но если немного попрактиковаться, то действия легко запомнятся. И вычислить кубический корень больше не будет проблемой.

  1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
  2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
  3. Выполнить вычитание.
  4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
  5. В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
  6. Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
  7. Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

  1. 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
  2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
  3. а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3 2 + х 3 2 + х 3 2 + х 3

Источник

Кубический корень. Извлечение кубического корня

Кубический корень из a , обозначающийся как 3 √a или как a 1/3 — решение уравнения x 3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.

Онлайн калькулятор для расчета кубического корня для положительных и отрицательных чисел.

Алгоритм извлечения кубического корня

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

  1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
  2. Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
  3. Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой a. Вычислите по формуле 300× a 2 × x+30× a × x 2 +x 3 такое число x , что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное x справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
  4. Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле 300 × a 2 × x+30 × a × x 2 +x 3 и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.

Источник

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Источник

Вычисление кубического корня

Кубический корень числа А — это такое число В, которое при возведении в третью степень в результате дает число А. Вычисление кубического корня — более сложная задача, нежели поиск квадратных корней.

Обозначение

Корни чисел ранее обозначались символом Rx, от латинского слова radix, то есть корень. Именно поэтому синонимом арифметических корней стало слово «радикал». Позднее для удобства типографской записи корни стали обозначаться латинской буквой V, а надстрочный знак перед символом указывает на степень корня. Для упрощения обозначения кубических корней в этой статье мы будем использовать слово cube. Это означает, что cube(8) следует читать как «кубический корень из 8».

Алгоритм приблизительных вычислений

Кубический корень положительного или отрицательного числа А — это соответственно положительное или отрицательное В, которое при возведении в куб дает число А. Пусть требуется найти cube(27).

Для поиска корней используется следующий алгоритм рассуждений. Какое число нужно умножить на само себя 3 раза, чтобы получить 27? Посчитаем, что 2 × 2 × 2 = 8, а 3 × 3 × 3 = 27, следовательно, cube(27) = 3. Это простой целочисленный пример. Но что делать, если требуется найти cube(45)? Попробуем тот же алгоритм: 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64. Из этого следует, что кубический корень из 45 — это иррациональное число, которое находится в диапазоне 3 > cube(45) 3 , 27 = 3 3 , a 64 = 4 3 и так далее. Кубические корни любого числа из последовательности кубов являются целыми. Геометрически такие числа иллюстрируются объемом куба, ребро которого равно целочисленному корню числа. Например, число 64 — это объем куба с ребром длиной 4 см.

Кубическая последовательность растет довольно быстро, и в отличие от квадратов чисел, куб может оканчиваться на любую цифру. Так как количество натуральных чисел уходит в бесконечность, то и количество кубов также бесконечно, однако целочисленных значений все же гораздо меньше, чем иррациональных.

Наша программа представляет собой универсальный калькулятор вычисления корней любой степени. Для того, чтобы вычислить значение кубического корня вам потребуется указать заданное число в ячейку «Число(x)», а ячейке «Степень(n)» требуется ввести значение степени. По умолчанию калькулятор выставляет в «Степень(n)» число 3, поэтому вы сразу можете вычислять кубические корни, не устанавливая степень корня.

Пример работы калькулятора

Вычисление ребра куба

Классическая задача на вычисление кубического корня — это определение длины ребра куба, если известен его объем. Для значений объема из кубической последовательности все просто, так как ответ будет записан в виде целого числа. Для всех остальных значений нам пригодится онлайн-калькулятор. Давайте вычислим длины ребер для следующих объемов кубов:

  • Cube(10) = 2,1544;
  • Cube(25) = 2,9240;
  • Cube(50) = 3,6840;
  • Cube(75) = 4,2172;
  • Cube(100) = 4,6416.

Как видите, в диапазоне от 10 до 100 длина ребра изменятся всего на 2,5 пункта.

Заключение

Поиск кубического корня — сложная задача, если вычислять значение требуется для больших или некубических чисел. Для определения значения кубического корня заданной точности используйте наш онлайн-калькулятор — простой инструмент для быстрых вычислений, который идеально подойдет школьникам и студентам.

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector