Куб задачи для егэ

Куб задачи для егэ

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра

7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.

Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:

Площадь полной поверхности: $S_<п.п>=6а^2=2d^2$

Радиус сферы, описанной около куба: $R=/<2>$

Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/<2>$

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$ — высота боковой грани (апофема)

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

  1. Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ — длина стороны.
  2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Источник

Куб задачи для егэ

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Крест состоит из 7 одинаковых кубов, поэтому его объем в 7 раз больше объема одного куба, который равен 1.

Аквариум имеет форму куба со стороной 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.

Объем аквариума равен: см 3 или литров.

Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле откуда имеем:

Тем самым, объём куба равен 36.

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.

Высота отсчённой призмы равна ребру куба, поэтому их объёмы относятся как площади оснований. Отрезок FE — средняя линия треугольника DBC, поэтому треугольники FCE и DCB подобны с коэффициентом подобия 1 : 2, а их площади относятся как 1 : 4. Поскольку квадрата АDCB вдвое больше площади треугольника DCB, площадь АDCB в 8 раз больше площади треугольника FCE.

Тем самым, объём куба в 8 раз больше объёема отсечённой призмы, поэтому он равен 16.

Источник

Куб задачи для егэ

Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в 2 раза больше высоты пирамиды.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через вершины куба, принадлежащие граням SAB и SAC, и вершину пирамиды, перпендикулярна плоскости ASD, где D — середина стороны ВС.

б) Найдите отношение объемов пирамиды и куба.

а) Рассмотрим ребро куба, лежащее в грани SBC. Верхняя грань куба параллельна основанию пирамиды, поэтому пересекает грань SBC по прямой, параллельной BC. Значит, и ребро куба, соединяющее вершины, принадлежащие граням SAB (обозначим M) и SAC (обозначим N) параллельна BC. Плоскость же ASD перпендикулярна BC, так как прямая AD перпендикулярна прямой BC и прямая SD перпендикулярна прямой BC. Значит, плоскость ASD перпендикулярна прямой MN, а вместе с ним (по признаку перпендикулярности плоскостей) и плоскости SMN.

б) Пусть высота пирамиды равна x. Тогда и площадь основания пирамиды равна:

Тогда объем пирамиды равен:

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, содержащей верхнюю грань куба. Это правильный треугольник, в который вписан квадрат так, что одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника, а две другие его вершины лежат на других сторонах треугольника. Без ограничения общности можно считать, что ребро куба равно 1. Тогда сторона этого треугольника равна:

Теперь можно заметить, что плоскость, содержащая верхнюю грань куба отсекла от нашей пирамиды подобную пирамиду с высотой Запишем отношение подобия:

Решая это уравнение, получим, что

Теперь можно вычислить отношение объемов пирамиды и куба. Оно равно:

Ответ:

Объем одного куба в 125 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 5. Площади поверхности подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь поверхности большего куба в 25 раз больше площади поверхности меньшего куба.

Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна Если ребро куба равно a, то диагональ куба дается формулой Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна Если ребро куба равно a, то диагональ куба дается формулой Следовательно, ребро куба равно 1, тогда его объем равен 1.

Куб вписан в шар радиуса Найдите объем куба.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна Если ребро куба равно a, то диагональ куба дается формулой Следовательно, ребро куба равно 13, а его объем равен 2197.

Там корень из двух должен быть

Все ребра куба равны

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунок 1.

Пусть M – середина ребра AB, N — середина BC, P — середина CC1. И пусть ребро куба равно Тогда: Составим уравнение секущей плоскости.

Из первых двух уравнений системы:

Искомое уравнение имеет вид:

Найдем ординату Q, точки пересечения секущей плоскости αи ребра D1C1.

При абсцисса R, точки пересечения α и ребра A1D1, при аппликата S, точки пересечения α и ребра A1A, при

Шестиугольник MNPQRS — искомое сечение.

б) Найдем косинус угла φ между плоскостью α и нижним основанием куба. (уравнение последнего имеет вид: z = 0).

Нормальный вектор плоскости α: нормальный вектор нижнего основания куба

Проекция сечения на нижнее основание куба — шестиугольник M1N1CQ1R1A, площадь которого равен

Ответ: б)

Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.

а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.

б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

а) Центр шара равноудален от трех плоскостей граней куба. Множество точек, равноудаленных от двух плоскостей — плоскость (биссектор двугранного угла). (на самом деле есть две такие плоскости, но нас сейчас интересуют только точки внутри куба). Поэтому нужное нам множество потенциальных центров — пересечение трех биссекторов, поэтому оно не может быть больше, чем прямая. Очевидно все точки диагонали куба подходят.

б) Пусть центры шаров лежат на а радиусы шаров Тогда откуда и

Ответ: б)

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро a формулой поэтому при увеличении длины ребра на площадь увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба равно

Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите

Так как середина ребер куба является центром сферы, диаметр которой равен ребру куба, в кубе содержится 1/4 сферы и, соответственно, 1/4 ее поверхности. Имеем:

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро a формулой поэтому при увеличении длины ребра на площадь увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба равно

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

Если каждое ребро куба увеличить на 5, то его площадь поверхности увеличится на 390. Найдите ребро куба.

Пусть длина ребра куба равна l, тогда площадь поверхности куба равна откуда получаем уравнение

Объем одного куба в 729 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен 9. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 81.

Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле откуда имеем:

Тем самым, объём куба равен 36.

Шар, объём которого равен вписан в куб. Найдите объём куба.

Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой Объём шара вычисляется по формуле откуда имеем:

Тем самым, объём куба равен 210.

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз?

Исходный и полученный куб подобны с коэффициентом 5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Следовательно, при увеличении длины ребра в 5 раз объем куба увеличится в раз.

а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP.

а) Введём систему координат, как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B, D, C1 имеют координаты соответственно.

Поскольку P лежит на продолжении A1C, отрезок A1P можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P имеет координаты

Отрезки C1B, DB и DC1 — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.

б) Координаты точки A: Раcстояние от точки P до точки A равно

Ответ:

а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D — правильный.

Пусть Поскольку ABCD — квадрат имеем:

Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

Заметим, что треугольник — прямоугольный, тогда откуда

В треугольнике OMC имеем: так как — верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC − прямоугольный, ∠M = 90°.

Так как BO = OD (C1O — медиана), и — правильный, то M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.

Так как M — центр описанной окружности треугольника BC1D и ∠C1MC = 90°, то проекция точки P — точка M, тогда PB = PC1 = PD.

Заметим, что по теореме косинусов

Так как значит, — правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) по теореме косинусов

Ответ:

Приведем решение Дениса Чернышева.

а) Найдем длины боковых ребер тетраэдра как длины векторов и :

и Отсюда вычислим

Аналогично вычисляются и .

Найдем длины ребер основания тетраэдра как длины векторов и :

Аналогично вычисляются и Все ребра равны, значит, PDBC1 — правильный тетраэдр.

б) Найдем длину вектора

Ответ:

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector