Куб в десятом измерении

Гиперкуб

В геометрии гиперкуб — это n-мерная аналогия квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Это замкнутая выпуклая фигура, состоящая из групп параллельных линий, расположенных на противоположных краях фигуры, и соединенных друг с другом под прямым углом.

Эта фигура также известная под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек.

Согласно Окфордскому словарю английского языка, слово «tesseract» было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (Charles Howard Hinton) и использовано в его книге «Новая эра мысли» («A New Era of Thought»). Слово было образовано от греческого «τεσσερες ακτινες» («четыре луча»), имеется в виде четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом (tetracube).

n-мерный гиперкуб также называется n-кубом.

Проекция гиперкуба на плоскость

Точка — это гиперкуб размерности 0. Если сдвинуть точку на единицу длины, получится отрезок единичной длины — гиперкуб размерности 1. Далее, если сдвинуть отрезок на единицу длины в направлении перпендикулярном направлению отрезка получится куб — гиперкуб размерности 2. Сдвигая квадрат на единицу длины в направлении перпендикулярном плоскости квадрата, получается куб — гиперкуб размерности 3. Этот процесс может быть обобщен на любое количество измерений. Например, если сдвинуть куб на единицу длины в четвертом измерении, получится тессеракт.

Семейство гиперкубов является одним из немногих правильных многогранников, которые могут быть представлены в любом измерении.

Элементы гиперкуба

Гиперкуб размерности n имеет 2n «сторон» (одномерная линия имеет 2 точки; двухмерный квадрат — 4 стороны; трехмерный куб — 6 граней; четырехмерный тессеракт — 8 ячеек). Количество вершин (точек) гиперкуба равно 2 n (например, для куба — 2 3 вершин).

Количество m-мерных гиперкубов на границе n-куба равно

Например, на границе гиперкуба находятся 8 кубов, 24 квадрата, 32 ребра и 16 вершин.

Элементы гиперкубов

n-куб	Название	Вершина (0-грань)	Ребро (1-грань)	Грань (2-грань)	Ячейка (3-грань)	(4-грань)	(5-грань)	(6-грань)	(7-грань)	(8-грань)
0-куб	Точка	1
1-куб	Отрезок	2	1
2-куб	Квадрат	4	4	1
3-куб	Куб	8	12	6	1
4-куб	Тессеракт	16	32	24	8	1
5-куб	Пентеракт	32	80	80	40	10	1
6-куб	Хексеракт	64	192	240	160	60	12	1
7-куб	Хептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1
8-куб	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-куб	Эненеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Проекция на плоскость

Формирование гиперкуба может быть представлено следующим способом:

• Две точки A и B могут быть соединены, образуя отрезок AB.
• Два параллельных отрезка AB и CD могут быть соединены, образуя квадрат ABCD.
• Два параллельных квадрата ABCD и EFGH могут быть соединены, образуя куб ABCDEFGH.
• Два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могут быть соединены, образуя гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Последнюю структуру нелегко представить, но возможно изобразить ее проекцию на двухмерное или трехмерное пространство. Более того, проекции на двухмерную плоскость могут быть более полезны возможностью перестановки позиций спроецированных вершин. В этом случае можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения элементов внутри тессеракта, но иллюстрируют структуру соединений вершин, как на примерах ниже.

На первой иллюстрации показано, как в принципе образуется тессеракт путем соединения двух кубов. Эта схема похожа на схему создания куба из двух квадратов. На второй схеме показано, что все ребра тессеракта имеют одинаковую длину. Эта схема также заставляют искать соединенные друг с другом кубы. На третьей схеме вершины тессеракта расположены в соответствии с расстояниями вдоль граней относительно нижней точки. Эта схема интересна тем, что она используется как базовая схема для сетевой топологии соединения процессоров при организации параллельных вычислений: расстояние между любыми двумя узлами не превышает 4 длин ребер, и существует много различных путей для уравновешивания нагрузки.

Развертка тессеракта

Развертка гиперкуба

Тессеракт может быть развернут в восемь кубов, подобно тому как куб может быть развернут в шесть квадратов. Многогранник-равертка гиперкуба называется сетью. Существует 261 различных вариантов сетей. Справа показан один из вариантов

Сальвадор Дали «Распятие» (1954)

Гиперкуб в искусстве

Гиперкуб появился в научно-фантастической литературе с 1940 года, когда Роберт Хайнлайн в рассказе «Дом, который построил Тил» («And He Built a Crooked House») описал дом, построенный по форме развертки тессеракта. В рассказе этот Далее этот дом сворачивается, превращаясь в четырехмерный тессеракт. После этого гиперкуб появляется во многих книгах и новеллах.

В фильме «Куб 2: Гиперкуб» рассказывается о восьми людях, запертых в сети гиперкубов.

На картине Сальвадора Дали «Распятие» («Crucifixion (Corpus Hypercubus)», 1954) изображен Иисус распятый на развертке тессеракта. Эту картину можно увидеть в Музее Искусств (Metropolitan Museum of Art) в Нью-Йорке.

Заключение

Гиперкуб — одна из простейших четырехмерных объектов, на примере которого можно увидеть всю сложность и необычность четвертого измерения. И то, что выглядит невозможным в трех измерениях, возможно в четырех, например, невозможные фигур. Так, например, бруски невозможного треугольника в четырех измерениях будут соединены под прямыми углами. И эта фигура будет выглядеть так со всех точек обзора, и не будет искажаться в отличие от реализаций невозможного треугольника в трехмерном пространстве (см. «Невозможные фигуры в реальном мире»).

Источник

Тессеракт и прочие гиперкубы.

Стукнула тут меня мысль нарисовать куб в десятом измерении. Ну точнее проекцию на двухмерный экран. Думал думал думал… Ну теперь когда придумал, все кажется таким простым, но тем не менее думал я напряжно. Да и тему сначала понять надо было.

В общем что такое куб в четвертом измерении.. Будем рассматривать через проекцию на третье.

Начнем с точки. Точка вытягивается в линию Это первое измерение. Линия расползается в квадрат, второе.

Квадрат раздваивается и расходится образуя куб.

А далее таким же методом вытягиваем куб из куба, и соединяем соответствующие точки.

Вот пример каждая точка красного куба соединена с соответствующей точкой синего.

Далее идет пятое (тут я уже не стал возиться с обводкой)

И десятимерный куб

Можно конечно и большие размерности и размеры (у меня тут файл 5000х5000 11мерный куб. вес правда всего 3 метра с небольшим) Но это уже если объявится желающий.

Да вот иногда я пишу подобную белеберду вместо кнопок бабло 🙂

54 thoughts on “ Тессеракт и прочие гиперкубы. ”

дружище ты бы к психологу сходил что ли 🙂
тесеракты какие то выдумываешь.

в пол седьмого утра точно бы не пошел, а вот попозжа может и прогулялся бы

Это ж надо было додуматься:) Хотя выглядит красиво, это да…

А на каком языке и с помощью каких библиотек реализовал это? Можно сделать скринсэйвер и выложить в паблик кстати.

На Делфи. рисовал стандартными процедурами на канве.

привет.
почты не нашел, а в аську по пустяку барабанить не хотеxtncz. Есть пару вопросов ричклику — судя по постам, ты с ними работаешь. Как у них с выплатами, задерживают как и сам бегун, или платят исправно как Зорька? Что нужно для аппрува, тупо дор какой-то общетематический в индексе показать, или что?
Заранее благодарен, пост можешь тереть, а ответить на почту, если не тяжело, ибо у тебя нет подписки)

Платят нормально.
Даты последних 8 платежей
20.10.2009
05.10.2009
17.09.2009
04.09.2009
19.08.2009
20.07.2009
25.06.2009
05.06.2009

Для апрува аккаунта надо показать свою вменяемость и адекватность.

Да, меня пример дора попросили показать. Спросили о трафике, о опыте, о том на каких форумах зареган и какова активность.
Уников на момент регистрации имел только 200 вместо 2к.

Даже обычный гиперкуб 4-х мерный изобразить на плоскости невозможно, видел где-то в виде анимации, но все равно не то:) А то что вы изобразили это получается как бы тень от металлического каркаса таких фигур.

Изобразить на плоскости объект большей мерности конечно невозможно. Не возможно изобразить даже обычный трехмерный куб. Поэтому изображение куба называется проекцией на плоскость.

о чем я и написал в посте словами «Ну точнее проекцию на двухмерный экран.»

Более того когда ты сказал «тень от металлического каркаса» ты сделал проекцию на трехмерность, то есть упростил гиперкуб в этот самый металлический каркас.

Так и я упростил всё до плоского изображения.

Хотя если совсем точно то тут изображенны проекции на плоскость трехмерных изображений, которые получены путем проекции гиперкубов в трехмерность.

Выложи программку что ли 🙂 с исходниками

Да какие исходники.. я программированию не обучен, поэтому думаю любого человека код введет в ступор.

На крайний случай я могу описать алгоритмы в отдельном посте. В конце концов именно в алгоритмах 90% сложности этой программы.

вот это офигеть. жги еще. на самом деле. вот у меня вопрос такой: ты можешь представить это все свое творчество в объеме? просто у меня например с этим всегда были траблы.. начиная с 4-го измерения, 3-х мерное пространство — 3 взаимно-перпендикулярных координатных оси, 4-х мерное пространство 4 оси. Куда ее пристроить-то? Ты я смотрю просто берешь и смещаешь трехмерный куб в разных направлениях, т.е каждая последующая мерность — реализуется виде некоторого движения. Это здорово, но все таки не то. В итоге получаешь просто траекторию движения точек куба, чем больше направлений смещения берешь,тем больше размерность. Однако, навряд ли это именно то, что происходит в действительности. Напиши, что думаешь по этому поводу.

Виноват. Вот перечитал пост свой. Все верно. Натупил слегка. Не о том подумал.

По факту это все проекции на третье измерение.

Думаю представить четвертое геометрическое пространство можно только абстрактно, но не визуально. Так как визуально все упирается в 2 и 3 мерность.

И даже если вспомнить разбитие на плоскости как это было в черчении, то трехмерный объект это просто три плоскости. А четырехмерный значит 4 объемности. (Смотря с каждой из четырех мерностей мы будем видеть трехмерный объект) формально четырехмерный объект будет описан, но чтобы представить его нужно иметь другой мозг.

И каждое новое смещение можно рассматривать как представление новой грани.. То есть мы копируем объект придавая ему еще одну глубину, будто бы мы посмотрели на объект с такого ракурса где видна новая ось. Но эти новые грани будут изначально трехмерными проекциями.
Если отойти от условностей и сделать многомерный куб в третьем измерении, то это будет тот же самые трехмерный куб, потому что для человеческого мозга не существует 4 геометрического измерения… Это как если бы человек из плоскости смотрел на куб, то он видел бы только квадрат.

Можно представить четвертое измерение как плоский срез пространства, имеющий глубину. Но это опять же проекция третьего измерения, где глубину третьего измерения подменяют глубиной четвертого.

Я вообще как то заморочился с перелинковкой сетки сателлитов в 400 штук такою штуку навоял парни долго потом всматривались в итоге сказали что надо лечиться,сейчас эта перелинковка цветет и процветает.
Извини за офтоп!!Но твои фигуры просто мне напомнили это!

Автор? ты что фентези перечитал? ил переиграл малость?

Отвечу на вопросы по очереди.
Автор
Перечитал
Переиграл
🙂

Мне думается что тесеракт- это просто невозможная фигура, как например треугольник из брусков у которого все углы по 90 градусов, просто интересная безделушка. А 4-ое измерение это из научной фантастики, одни лишь теории.

Да фигура невозможная, потому что человек не способен воспринимать 4 геометрическое измерение.

По повожу фантастики.
Когда программисты задают массив, они вполне могут сделать его четырех, пяти и более мерным.

Поэтому надо четко понимать о каком измерении идет речь. В широком смысле под четвертым измерением понимают время.
В узком геометрическом это просто дополнительная «глубина», которую человек не способен воспринять, и поэтому бОльшие мерности представляются проекциями на третье.
Поэтому, да. большие геометрические мерности существуют только теоретически.

«Это как если бы человек из плоскости смотрел на куб, то он видел бы только квадрат.»
А мне почему-то кажется, что если бы человек из плоскости смотрел на куб, то он видел бы его лишь как линию. Он мог бы понять, что это квадрат(не куб, заметьте, для двумерного человека понятие куб абстрактное, как для нас трёхмерных абстрактным является тессеракт) лишь в том случае, если бы ходил вокруг этого квадрата, изменение скорости удлиннения/укорачивания видимой линии служило бы показателем того, что там есть угол.

третье измерение глубина.
На плоскости мы будем видеть ширину и высоту, достаточно чтобы построить квадрат.

Если нарисовать на листе человечка и рядом квадрат, то конечно он его увидит как линию. Но как мы смотрим на плоскость (ведь изображение просто проецируется на сетчатке) и уже потом додумываем объем, так и он имея две оси вполне сможет понять, что перед ним квадрат.

И мне кажется обсуждение ушло куда то не туда.
Еще раз повторюсь это просто геометричекие проекции.

Я имею ввиду, что он живёт на плоскости, понятий «верх\низ» просто нет, как двумерный человек может посмотреть на плоскость сверху? Ведь «сверху» для него является третьим(гипотетическим) измерением. =))

если нет высоты то, тогда есть ширина и глубина. В любом случае есть два измерения а их достаточно для квадрата, на то она и плоскость.

Меня видимо поразило внезапное косноязычие, если я так долго не могу донести свою мысль… Представьте, что вы двумерный человек живущий на плоскости, посмотрите его глазами, как вы выберетесь в третье измерение(посмотрите сверху на плоскость, которая имеет длину и ширину)? Я прекрасно понимаю, что плоскости достаточно чтобы построить квадрат. А вот чтобы его увидеть нужно ещё одно измерение.
«…если бы человек из плоскости смотрел на куб, то он видел бы его лишь как линию. Он мог бы ПОНЯТЬ, что это квадрат», НО не смог бы увидеть.

Так же как и мы видим плоские объекты а не объемные. Но без всяких проблем рассуждаем о объеме.

И разве это
«Если нарисовать на листе человечка и рядом квадрат, то конечно он его увидит как линию. Но как мы смотрим на плоскость (ведь изображение просто проецируется на сетчатке) и уже потом додумываем объем, так и он имея две оси вполне сможет понять, что перед ним квадрат.» я не о том же самом говорил?

Поэтому я и говорил о высоте. он же своими глазами не только вперед-назад смотрит, но и вверх-вниз

тем не менее Penteract и Septeract существуют в виде матеиатических констант.

всё же, нарисовать 4х мерный объект в 3х мерном виде и поместить на 2х мерный экран, всё равно мы увидим не то, даже если предположить существование четвертого измрения

Парень у тебя картинки неправильно сделанные .
А здесь правильные — ru.wikipedia.org/wiki/Гиперкуб

Вы всерьез думаете, что я не видел те картинки?
Мои картинки имеют равные грани, те — нет. Приглядитесь.

класс. молодец. а то народ совсем тупой

Уважаемый Elsper! (Извините, не знаю как правильно к Вам обратиться).
Я безмерно рада, увидев Ваши чертежи. Вы чертите ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ проекции трёхмерных проекций многомерных гиперкубов. И эти трёхмерные проекции многомерных гиперкубов (любых измерений!) можно чертить и во фронтальной, профильной проекциях, и в абсолютно в любых ракурсах. Более того, с помощью трубочек и лески я легко создала сами трёхмерные проекции четырёхмерного, пятимерного и шестимерного гиперкубов, на семимерный у меня не хватает трубочек.
Я написала работу «»Начала» геометрии многомерных измерений», в которой мною выявлен и подробно описан «Универсальный метод построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых n-мерных измерений (3ПГК-n) в любых проекциях и ракурсах». Моя работа — это рукопись, правда, отсканированная, — потому что во время написания моих работ у меня не было компьютера, более того, я и сейчас, имея компьютер, не могу толком научиться чертить чертежи на компьютере — старая я, мне 64 года.
Уважаемый Elsper! Если Вам интересно прочитать или хотя бы просмотреть мою работу (где, кстати, я начертила горизонтальную проекцию трёхмерной проекции ДВЕНАДЦАТИМЕРНОГО гиперкуба), пожалуйста, сообщите мне свой электронный адрес, и я с радостью вышлю Вам свою работу.
С уважением,
Михайлова Людмила Михайловна.

Здравствуйте Людмила Михайловна.
Идея начертания гиперкубов была для меня просто тренировкой для мозгов. Я возвращался к ней еще два раза http://elsper.ru/stereokartinki-giperkuby-stereo-giperkuby/ и http://elsper.ru/2011/02/giperkuby-2/, но за три года уже почти утратил к ней интерес.

К тому же, так как я не рисовал их, а программировал, то мне тоже было нужно разработать универсальный метод построения, с чем я справился. И даже если бы не справился, то все равно думал бы сам, потому, что именно в этом и заключается смысл тренировки. В том, чтобы решить задачу самостоятельно.

Однако, если хотите, я могу сделать ссылку на вашу работу. Интересующиеся смогут ее скачать и прочитать.
Кроме того, вы упомянули трехмерные проекции. Если у вас есть фотографии, то их тоже можно опубликовать. Думаю они заинтересуют всех, кто сюда заходит.
Хотите так?

Здравствуйте, уважаемый Elsper!
Мне очень больно и стыдно признаваться в своей тупости: год назад я купила компьютер, научилась только пользоваться электронной почтой и выходить в интернет, я не могу писать на компьютере математические знаки, формулы, строить таблицы и чертить чертежи — старая я.
До 2011 года я жила в Туркмении. Там же написала свои работы по математике — карандашом, на бумаге, потом эти листы сканировались (т.е. хоть как-то приведены в электронный вид) — это всё, что я могла сделать там, в Туркмении.
С 2011 года я живу на Украине в г.Ивано-Франковске. В квартире я совершенно одна и мне совершенно некому помочь в освоении работы на компьютере.
Вот когда я пишу письмо в своей электронной почте, там на странице есть знак «Прикрепить файл», и я прикрепляю свои работы, — это мне показали. А как вот сейчас, в этом письме, прикрепить свою работу — я не знаю.

Вот поэтому я прошу Вас: напишите мне, пожалуйста, свой электронный адрес на мой электронный адрес: mihlm48@mail.ru , — тогда я смогу выслать Вам свою работу.

Я очень рада: рыская по интернету, я пока увидела — Вы единственный, кто вплотную смог приблизиться к построению горизонтальных проекций трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов! Но Ваши проекции правильны только в тех случаях, где n-мерность НЕЧЁТНАЯ. Например, посмотрите на свой ОКТЕРАКТ (восьмое измерение) — в центре чертежа образовался «кружок пустоты», а в данной проекции октеракта центральная точка на чертеже совмещает 16 вершин.
Слава Богу, научили меня пользоваться скайпом. Вот по скайпу я могу показать Вам свои модели трёхмерных проекций четырёхмерного, пятимерного и шестимерного гиперкубов. Если Вы напишете на мою электронную почту свой электронный адрес, то я сообщу Вам свой «логин» для скайпа.
Конечно, я очень хотела бы, чтобы мои работы были хоть как-то опубликованы (для кого я их писала? — для людей!), но я не знаю как это сделать.

Спасибо, что ответили. Всего Вам самого доброго.
С уважением,
Михайлова Людмила Михайловна.

Программа начального многомерного геометрического моделирования NDL_4D
neoethics.narod.ru/n/neo_school/NDL_4D/index.html

Разработка возникла во многом благодаря и Вашей, Elsper, тематической компиляции, за что особое Вам большое спасибо. :)))

Возможно, в случае знакомства, возникнут мобильные конструктивы по дальнейшему развитию идеи освоения многомерных пространства — искренне будем благодарны за любые интересные мысли в данном направлении.

Приятно, что мои работы служат не только мне. )
Правда сейчас меня интересуют совсем другие вопросы.

Источник