Кубтың көлемі және ауданы. Кубтың қыры
Кубтың көлемі және ауданы осы сабақта қарастырылады. Куб дегеніміз барлық жақтары квадраттар болатын геометриялық фигура:
Кубтың қыры дегеніміз бұл осы квадраттарының бір қабырғасы. Кубтың неше қыры бар? Кубтың 12 қыры бар болады, әрі бұлар бір-біріне тең болады. Мысалы кубтың бір қыры 4 см болса, басқалары да 4 см тең болады. Ал кубтың бір қыры 7 см болса, қалғандары неге тең?
Кубтың көлемінің формуласы
Кубтың көлемі V мына формула арқылы есептелінеді:
V = a 3 , мұндағы a кубтың бір қырының ұзындығы.
Мысалы куб пішінді шақпақ қанттың көлемің есептейік:
Мен шақпақ қанттың өлшемдерін өлшедім. Нәтижесінде биіктігі де, ені де, ұзындығы да 15 мм тең екен (сізде басқаша болуы мүмкін, себебі шақпақ қанттың түрлері өте көп). 15 мм дегеніміз 1,5 см.
Жоғарыдағы формуланы пайдаланайық:
Жауабы, шақпақ қанттың бір данасының көлемі 3,375 см 3
Кубтың ауданы
Кубтың жақтары квадраттар болғандықтан, кубтың толық бетінің ауданы S мына формуламен аңықталады:
S = 6a 2 , мұндағы a кубтың бір қырының ұзындығы.
Жоғарыдағы шақпақ қанттың толық бетінің ауданың есептейік:
Жауабы, шақпақ қанттың бір данасының бетінің толық ауданы 13,5 см 2 .
Комменттер
Текшенің қырын 1 м ұзартқанда, оның көлемі 61 х3 м артты. Бастапқы текшенің ұзындығын анықтаныз.
x 3 + 3x 2 *1 + 3x*1 2 + 1 3 — x 3 = 61
D = (1 2 — 4*1*(-20)) 1/2 (бұл түбір алу)
Куб болғандықтан оның қыры оң болуы керек, яғни x = 4м.
Сіз тексеріп көріңіз. x = 4 болғанды мына теңдік орындала ма: (x + 1) 3 — x 3 = 61?
Текше: а=2х-3А) s = 6а * формуласын қолданып , кубтың толық бетінің ауданын табу өрнегін жазып , ықшамдаңыз Б ) V = a’3 формуласын қолданып , кубтың көлемін табу өрнегін жазып , ықшамдаңыз
V = (2x) 3 + 3 3 — 3*(2x) 2 3 + 3*2x*3 2
Текпеніп кырын 1 м ұзартканда , оның көлемі 61 м^3 артты . Бастапкы текшенің қырынын ұзындығын анықтандар
x 3 + 3x 2 *1 + 3x*1 2 + 1 3 — x 3 = 61
D = (1 2 — 4*1*(-20)) 1/2 (бұл түбір алу)
Куб болғандықтан оның қыры оң болуы керек, яғни x = 4м.
сізден теңдеуді емес бастапқы көлемді сұрады емеспе?
Мен есепті шештім. Жауабын да жаздым. Сол жауап 4 тең. Бұдан басқа не керек? Егер есептің шешімі керек болмаса, бірден жауапты қарасын. Ал егер мұғалім қалай есепті шештің десе, есептің шешімін көрсетсін.
Егер есептің шешімін көрсетпей, бірден жауабын берсек, ертең мұғалім қалай шештің? Қандай теңдеу құрдын десе не деп жауап бересіз? Үй тапсырмаларын да есепті шешпей жауабын бірден бересіз бе?
S=6a2 формуласын қолданып, кубтың толық бетінің ауданын табу өрнегін жазып ықшамдаңыз
Сізде a берілген бе? Егер берілсе бұны S = 6*a 2 формуласына қоя салу керек (есте сақтаныз S = 6*a 2 бұл кубтың толық бетінің ауданың табатын формула). Мысалы сізге дейін Айжан Орынбай есебінде a = 2x — 3 делінген. Бұны жоғарыда ықшамдағанбыз:
Егер a аңықталған болса жазып беріңіз, ықшамдап береміз.
Кубтың көлемі және ауданы. Кубтың қыры
Кубтың көлемі және ауданы осы сабақта қарастырылады. Куб дегеніміз барлық жақтары квадраттар болатын геометриялық фигура:
Кубтың қыры дегеніміз бұл осы квадраттарының бір қабырғасы. Кубтың қыры неше? Кубтың 12 қыры бар болады, әрі бұлар бір-біріне тең болады. Мысалы кубтың бір қыры 4 см болса, басқалары да 4 см тең болады.
Кубтың көлемінің формуласы
Кубтың көлемі V мына формула арқылы есептелінеді:
V = a 3 , мұндағы a кубтың бір қырының ұзындығы.
Мысалы куб пішінді шақпақ қанттың көлемің есептейік:
Мен шақпақ қанттың өлшемдерің өлшедім. Нәтижесінде биіктігі де, еңі де, ұзындығы да 15 мм тең екен (сізде басқаша болуы мүмкін, себебі шақпақ қанттың түрлері өте көп). 15 мм дегеніміз 1,5 см.
Жоғарыдағы формуланы пайдаланайық:
Жауабы, шақпақ қанттың бір данасының көлемі 3,375 см 3
Кубтың ауданы
Кубтың жақтары квадраттар болғандықтан, кубтың толық бетінің ауданы S мына формуламен аңықталады:
S = 6a 2 , мұндағы a кубтың бір қырының ұзындығы.
Жоғарыдағы шақпақ қанттың толық бетінің ауданың есептейік:
Жауабы, шақпақ қанттың бір данасының бетінің толық ауданы 13,5 см 2 .
Призма. Тік және көлбеу призмалар. Куб. Олардың бет аудандары мен көлемдері
Көпжақтар. Олардың аудандары мен көлемдері.
Призма. Тік және көлбеу призмалар. Куб. Олардың бет аудандары мен көлемдері.
1. Тік үшбұрышты призманың табанының қабырғалары 10 см, 17 см және 21 см-ге тең, ал призманың биіктігі 20 см. Призманың көлемін табыңыз.
2. Кубтың диагоналі 
см. Кубтың толық бетінің ауданын табыңыз.
3. Кубтың диагональдық қимасының ауданы 
см 2 . Кубтың көлемін табыңыз.
4. Көлбеу үшбұрышты призманың бүйір қырларының ара қашықтықтары 10 см, 17 см, 21 см, ал бүйір қыры 18 см. Призманың көлемін табыңыз.
5. Дұрыс төртбұрышты призманың диагоналі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 30 0 , ал табанының қабырғасы а. Призманың көлемін табыңыз.
Жауабы: 
6. Тік призманың табанында төбесіндегі бұрыш α болып келетін тең бүйірлі үшбұрыш жатады. Осы үшбұрышқа қарсы жатқан диагоналі 
-ге тең және табан жазықтығымен β бұрыш жасайды. Призманың көлемін табыңыз.
Жауабы: 
7. Тік призманың табаны – тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш. Оның катеті 3 см. Төменгі табанының катеті және жоғарғы табанының осы катетке қарсы жатқан төбесі арқылы жүргізілген қиманың ауданы 7,5 см 2 . Призманың көлемін табыңдар.
8. Алтыбұрышты дұрыс призманың көлемі 6 см 3 . Призманың ең үлкен диагоналі арқылы жүргізілген қиманың ауданы 4 см 2 . Призманың табын қабырғасының және бүйір қырының ұзындықтарын табыңдар.
Жауабы: 
9. Тік бұрышты үшбұрышты призманың табын қабырғалары 58 см, 50 см, 12 см, ал бүйір қыры табанының үлкен биіктігіне тең. Призманың толық бетінің ауданын табыңдар.
10. Кубтың диагоналі 12 см-ге тең. Кубтың көлемін табыңыз.
Жауабы: 
11. Кубтың диагональдық қимасының ауданы 
-қа тең. Кубтың бетінің ауданын табыңыз.
12. Кубтың диагоналі 9 см-ге тең. Оның толық бетінің ауданын табыңыз.
13. Төртбұрышты дұрыс призманың бүйір беті 16 см 2 , ал толық бетінің ауданы 48 см 2 . Призманың биіктігін табыңыз.
14. Қыры 
см тең кубтың ВС және А1Д1 қырлары арқылы жазықтық жүргізілген. АВСДА1В1С1Д1 қимасының ауданын табыңыз.
Жауабы:
15. Қыры 4 см тең куб берілген. АВ қыры және С1С қырының ортасы арқылы қима жазықтығы жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.
Жауабы: 
16. Табан қабырғалары 6 см, 8 см, 10 см, ал биіктігі 8 см үшбұрыш тік призма берілген. Толық бетінің ауданын табыңыз.
17. Үшбұрышты дұрыс призманың табанының ауданы 
тең. Егер призманың биіктігі табанының қабырғасынан 2 есе үлкен болса, онда призманың көлемін табыңыз.
18. Кубтың көлемі 
тең. Кубтың жағына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.
19. Үшбұрышты дұрыс призманың көлемі 
тең. Табанына сырттай сызылған шеңбердің радиусы 2-ге тең. Призманың биіктігін табыңыз.
20. Кубқа сырттай цилиндр сызылған. Кубтың бетінің ауданы S тең болса, онда цилиндрдің толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 
21. Тік бұрышты призманың табанының қабырғалары 10 см, 17 см, 21 см, ал призма биіктігі 18 см. Призманың бүйір қыры мен табанының кіші биіктігінен өтетін қиманың ауданын табыңыз.
22. Тік призманың табанында жатқан үшбұрыштың бір қабырғасы 2 м, ал қалғандары 3 м-ге тең. Призманың бүйір қыры 4 м. Осы призма мен көлемдері бірдей кубтың қырын табыңыз.
Жауабы: 
23. Призманың табаны – радиусы 6 болатын дөңгелекке іштей сызылған дұрыс үшбұрыш, ал бүйір беттері – квадрат. Призманың көлемі неге тең?
24. Дұрыс үшбұрышты призманың бүйір қыры табанының биіктігіне тең. Үшбұрыштың бір төбесінен шығатын биіктік пен бүйір қыры арқылы өтетін қиманың ауданы 75 см 2 . Призманың көлемін табыңыз.
25. Тік призманың табаны – ромб, ал призманың диагоналдары 8 см және 5 см. Призма биіктігі 2 см. Табанының қабырғасын табыңыз.
26. Кубтың толық беті 96 см 2 . Осы кубтың көлемі неге тең?
27. Тік үшбұрышты призманың табаны катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты үшбұрыш. Призманың биіктігі 7 см болсын, онда оның толық бетінің ауданын табыңыз.
28. Үшбұрышты тік призманың табанының қабырғалары 10 см, 17 см, 21 см, ал биіктігі 18 см. Призманың көлемін табыңыз.
29. Үшбұрышты тік призманың барлық қырлары өзара тең. Оның бүйір бетінің ауданы 48 см 2 -ге тең. Биіктігін табыңыз.
30. Егер кубтың әр қырын 1 см-ге арттырса, оның көлемі 91 см 3 -ге артады. Кубтың қыры неге тең?
31. Куб бетінің ауданы 150 см 2 . Көлемі неге тең?
32. Кубтың диагоналі 3 см-ге тең. Кубтың бетінің ауданын табыңыз.
33. Үшбұрышты тік призманың барлық қырлары 
-ге тең. Көлемін табыңыз.
34. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың биіктігі 
, ал табанындағы үшбұры қабырғалары 4-ке тең. Пирамида өлемін табыңыз.
35. Текшенің (кубтың) қырын 2 есе артырсақ, онда оның көлемі неше есе артады?
36. Үшбұрыштың көлбеу призманы бір бүйір ромб және табан жазықтығына перпендикуляр, оның диаагональдары 3 және 4 см. Табаны тең қабырғалы үшбұрыш болса, призма көлемі қандай?
Жауабы: 
37. Кубтың қырын 2 см арттырса, оның көлемі 98 см 3 артады. Кубтың қыры неге тең?
38. Кубтың қыры а-ға тең. Кубтың диагоналінің ұзындығын табыңыз.
Жауабы: 
39. Кубтың қыры а-ға тең. Кубқа сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.
Жауабы: 
40. Кубтың қыры а-ға тең. Диагоналы табан жазықтығына қандай бұрышпен көлбеген.
Жауабы: 
41. Төртбұрышты дұрыс призманың бүйір беті 16 см 2 , ал толық бетінің ауданы 48 см 2 тең. Призманың биіктігін табыңыз.
42. АВСДА1В1С1Д1 кубында А, С1 төбелері арқылы Д1 Д қырының ортасы арқылы қима жүргізілген. Қима ауданы 
тең болса, кубтың қырын табыңыз.
43. Үшбұрышты тік призманың барлық қырлары тең. Бүйір бетінің ауданы 27 м 2 . биіктігін табыңыз.
44. Дұрыс төртбұрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32 м 2 , ал толық бетінің ауданы 40 м 2 . Биіктігін табыңыз.
45. Үшбұрышты тік призманың табан ауданы 4 см 2 , ал бүйір жақтарының аудандары 9 см 2 , 10 см 2 және 17 см 2 . Призманың көлемін табыңыз.
46. Дұрыс төртбұрышты призманың табан ауданы 144 см 2 , ал биіктігі 14 см. Призманың диагоналын табыңыз.
47. Дұрыс үшбұрышты призманың табан қабырғасы мен оған қарсы жатқан қырының ортасы арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен 45 0 бұрыш жасайды. Табан қабырғасы 5 см. Призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 
48. Дұрыс үшбұрышты призманың табын қабырғасы мен оған қарсы жатқан қырының ортасы арқылы өтетін жазықтық табанымен 45 0 бұрыш жасайды. Табан қабырғасы -ге тең. Призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 
49. Үшбұрыштың көлбеу призманың бүйір қырларын қамтитын өзара параллель түзулердің қашықтығы 2 см, 3 см және 4 см, ал бүйір қарлары 6 см. Призманың бүйір бетін табыңыз.
50. Үшбұрышты дұрыс призманың табан қабырғасы мен оған қарсы жатқан қырының ортасы арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен 45 0 бұрыш жасайды. Табан қабырғасы а. Призманың бүйір бетін табыңыз.
Жауабы: 