Куб целого числа целое число

Определение идеального квадрата и идеального куба

Идеальный или полный квадрат — это такое натуральное число, квадратный корень которого является целым числом. Идеальный куб — такое целое число, кубический радикал которого также целое число. В этой статье мы обозначим квадратный корень привычным sqrt, а кубический — необычным cube.

Идеальный квадрат

Итак, чтобы понять, является ли число идеальным квадратом, требуется вычислить его квадратный корень. Как это сделать? Для небольших чисел легко просто задаться вопросом, какое число требуется возвести в квадрат, чтобы получилось заданное? К примеру, 49. Очевидно, что 49 — идеальный квадрат 7 × 7, и это известно нам еще с таблицы умножения. Но что делать с большими числами, к примеру, 1156 — это идеальный квадрат или нет? Рассмотрим простой способ ручного определения «квадратности» числа.

Разложение на квадратные множители

Обычно при разложении на множители используются простые числа — элементы, которые делятся только на себя и на единицу. К простым относятся числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее, последовательность неделимых устремляется в бесконечность. Однако в теории чисел существует множество самых разных последовательностей. Самая известная — это последовательность натуральных чисел, которые используются при счете предметов. Затем идет чет/нечет, простые и совершенные числа и наконец фигурные числа. Фигурные, а именно квадратные числа, нам и нужны для разложения на множители. Квадратная последовательность представляет собой ряд идеальных квадратов. Ее начало выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289.

Первый член последовательности — это единица, которая является квадратом самой себя, 4 — это квадрат двойки, 9 — тройки, 16 — четверки, 25 — пятерки и так далее. При вычислении квадратного корня нам понадобится разложить подкоренное число на квадратные множители, то есть числа из данной последовательности, начиная с наименьшего. Алгоритм вычислений следующий:

  • делим подкоренное число на квадратное до тех пор, пока не получим простое или квадратное частное;
  • представляем подкоренной элемент в виде произведения квадратных чисел;
  • определяем радикалы и вычисляем произведение.

Наше число 1156 разделим вначале на 4. Получим 289. Отлично, 1156 можно представить в виде произведения двух квадратных чисел:

Согласно первому тождественному преобразованию мы можем беспрепятственно взять корни с правой и с левой сторон числового равенства. Получим:

Подкоренное произведение можно представить в виде произведения корней:

Квадратные корни 4 и 289 мы знаем и так — это 2 и 17. Таким образом, радикал 1156 выражается как:

Число 34 — целое, поэтому 1156 считается идеальным квадратом. Давайте проделаем те же действия с 832. Разложим на квадратные множители:

Итак, мы можем представить 832 в виде произведения трех чисел 4 × 16 × 13. Два из них квадратные, но 13 — простое число. Тогда sqrt(832) будет выглядеть как 2 × 4 × sqrt(13) или 8 квадратных корней из 13. Очевидно, что 832 — это не идеальный квадрат, так как его радикал представляет собой иррациональное число.

Кубический корень

Кубические радикалы вычислять сложнее, и нет такого простого способа, при помощи которого было бы легко подсчитать значение корня для достаточно большого числа. Проще всего кубические корни определяются методом оценки. Данный метод также оперирует последовательностью, но в этот раз кубической:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197.

Оценка подразумевает приблизительное значение радикала, которое находится в диапазоне между кубическими числами. К примеру, чему равен кубический корень числа 400? Его нет в нашей последовательности, поэтому мы можем оценить, что значение cube(400) лежит между 7 и 8, так как числа 343 и 512 представляют собой идеальные кубы 7 × 7 × 7 и 8 × 8 × 8. Так как 400 ближе к 343, то и cube(400) будет ближе к 7, следовательно, мы можем предположить, что значение cube(400) приблизительно равно 7,3. Если проверить на калькуляторе, то окажется, что кубический радикал 400 равен 7,368062. Неплохой результат для приблизительных подсчетов.

В целом же определение идеального куба заключается в поиске его значения в последовательности кубические чисел. Если его там нет, то заданное число не является кубом. Так как вручную это определить сложно, проще всего пользоваться нашим калькулятором идеальных кубов и квадратов.

Наша программа позволяет определить, является ли число полным квадратом или кубом. Естественно, что для малых чисел до 1 000 такой калькулятор может не пригодиться, ведь большинство и так помнят начала соответствующих последовательностей. Но что делать с действительно большими числами? Именно для них и разработан наш инструмент. Рассмотрим примеры.

Вычисление полных квадратов

Давайте попробуем узнать, являются ли следующие числа особенными. Для этого введем их в форму калькулятора и протестируем:

  • 795 412 не полный квадрат;
  • 103 041 = 321 × 321;
  • 354 897 не полный квадрат;
  • 443 556 = 666 × 666;
  • 6 241 = 79 × 79.

Таким образом можно проверить любое, сколь угодно большое число.

Источник

Таблица кубов

Таблица кубов или таблица возведения чисел в третью степень. Интерактивная таблица кубов и изображения таблицы в высоком качестве.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859
2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389
3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319
4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649
5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379
6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509
7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039
8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969
9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299

Таблица кубов

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Скачать таблицу кубов

  • Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
  • Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

Источник

Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

Кубические числа выделялись в особый вид фигурных чисел, поскольку куб числа x равен объёму куба с длиной ребра, равной x .

Вообще, фигурные числа – интереснейшая тема . Ставьте лайки этому материалу, если хотите узнать о них больше!

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

  • 729 равно 9 в кубе;
  • 729 равно 3 в шестой степени;
  • 729 равно 27 в квадрате, что очень сильно нравилось пифагорейцам. Например, Платон считал, что количество ночей и дней в году равняется 729 (364, 5 на каждое время суток). Кроме того, он считал, что жизнь царя должна длиться 729 месяцев (около 67 лет).

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

  • 1728 является количеством кубических дюймов в кубическом футе;
  • 1728 – единственный композиториал , являющийся одновременно кубом числа. Композиториал – это факториал ( о нем я достаточно интересно уже писал ), деленный на праймориал – последовательность произведения простых чисел, меньше данного.

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Возвести в куб онлайн

Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

65 2 = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 6 5– это цифра 6 , следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6 (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65 2 = 65 ∙ 65, то

65 2 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 65 2 = 4225

Источник

Оцените статью
Юридический портал
Adblock
detector