- Формулы понижения степени в тригонометрии
- Формулы понижения степени, их доказательство
- Примеры применения формул понижения степени
- Как сделать COS 3 на калькуляторе?
- Как рассчитывается cos?
- Что на самом деле делает Кос?
- Чему равен COS 1?
- Что такое формула sin 3x?
- Какова формула cos 4x?
- Что такое формула sin3X?
- Какова формула cos 4 Theta?
- Что такое формула cos 2 theta?
- Что такое cos угла?
- Какая формула тригонометрии?
- Какова формула греха Кос Тан?
- Почему синус называется синусом?
- Как решить 1 2 cos theta?
- Почему тета cos используется в работе?
- Arccos — это то же самое, что 1 cos?
- Арккос равен 1 cos?
- Что больше из cos 1 и cos 1 степени?
- Какое значение имеет 1 cos theta?
- Какова формула Cos A минус B?
- Какова формула 1 Cos 2x?
- Инженерный калькулятор онлайн с самыми точными расчетами!
- Содержание справки:
- Комплекс операций инженерного калькулятора
- Инструкция по функциям инженерного калькулятора
- Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах
- Как возвести в степень
- Как найти корень кубический
- Как найти корень на калькуляторе
- Как возвести в квадрат
- Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры
- Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов
- Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе
- Десятичный логарифм онлайн
- Как пользоваться памятью на калькуляторе
Формулы понижения степени в тригонометрии
Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.
Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .
Формулы понижения степени, их доказательство
Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.
sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Данные формулы предназначены для понижения степени.
Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .
Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.
Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .
Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:
sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .
Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .
Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:
sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8
Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид
sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .
C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .
Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим
sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4
Примеры применения формул понижения степени
Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.
Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .
Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .
По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .
Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16
Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.
При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .
Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .
Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .
Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.
Как сделать COS 3 на калькуляторе?
Функция косинус в кубе (x) может быть задана как х -> (соз х) 3 . Воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором, чтобы вычислить значение косинусоидального куба угла (альфа). В приведенном ниже калькуляторе косинуса в кубе просто введите значения α, чтобы узнать куб косинуса (cos ^ 3 (α)).
Кроме того, что означает Cos на калькуляторе?
Нажмите кнопку «Cos», которая обычно находится в центре калькулятора. «Cos» — это сокращение от косинус. На вашем калькуляторе должно отображаться «cos (.». Введите величину угла, для которого вы хотите узнать коэффициент косинуса. Например, 45 градусов.
Итак, какова формула cos 3x?
Ответ: Выражение для cos 3x через cos x имеет вид 4 кос 3 х — 3 соз х.
Также нужно знать Какова формула COS 3 Theta? Формула трехкратного тета-cos определяется следующим образом: Кос 3θ = 4 cos 3 θ — 3cos θ
Cos 2x является одним из тригонометрических тождеств двойного угла, поскольку рассматриваемый угол кратен 2, то есть удваивается x. Запишем тождество cos 2x в разных формах: потому что 2x = потому что 2 х — грех 2 x. потому что 2x = 2cos 2 х — 1.
Как рассчитывается cos?
В прямоугольном треугольнике косинус угла равен длина прилегающей стороны (A), деленная на длину гипотенузы (H). … В любом прямоугольном треугольнике косинус угла — это длина прилегающей стороны (A), деленная на длину гипотенузы (H). В формуле он записывается просто как «cos».
Что на самом деле делает Кос?
Синус и косинус — иначе, sin (θ) и cos (θ) — являются функции, показывающие форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины с углом θ, sin (θ) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) — отношение соседней стороны к гипотенузе.
Чему равен COS 1?
Как вы можете видеть ниже, cos – 1 (1) составляет 270 ° или, в радианах, 3Π / 2 . «-1» представляет минимальное значение функции косинуса, когда-либо полученное и происходящее при Π, а затем снова при 3Π, 5Π и т. Д.
Что такое формула sin 3x?
Пояснение: Согласно тригонометрическому тождеству, мы имеем. грех 3x = 3sin x — 4sin 3 x. На переносных условиях, 4 греха 3 x = 3sinx — грех 3x.
Какова формула cos 4x?
Используя формулу сложения косинусов, можно найти косинус суммы и разности двух углов с помощью синусов и косинусов этих двух углов. Следовательно, формула [cos 4x = 8
Что такое формула sin3X?
Цель этой страницы — доказать следующую формулу: sin 3x = 4sin xsin (60 ^
Какова формула cos 4 Theta?
Since cos(4θ)=2cos2(2θ)−1 and cos(2θ)=1−sin2(θ), we have cos(4θ)−4cos(2θ)=2cos2(2θ)−4cos(2θ)−1=2(1−2sin2(θ))2−4(1−2sin2(θ))−1=2−8sin2(θ)+8sin4(θ)−4+8sin2(θ)−1=8sin4(θ)−3.
Что такое формула cos 2 theta?
Формула двойного угла косинуса: cos (2theta) = cos2 (theta) — sin2 (theta). … Косинус 2 тета равен 1 минус 2 синус в квадрате тета, косинус 2 тета равна 2 косинус в квадрате минус 1.
Что такое cos угла?
Косинус угла определяется как синус дополнительного угла. Дополнительный угол равен заданному углу, вычтенному из прямого угла, 90 °. … Cos θ = sin (90 ° — θ). Если записать в радианах, то это тождество становится. cos θ = sin (π / 2 — θ).
Какая формула тригонометрии?
Он говорит, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника равен a 2 + b 2 , сумма квадратов двух других сторон, минус 2ab cos C, удвоенная их произведение, умноженное на косинус противоположного угла. Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.
Какова формула греха Кос Тан?
Значение функции загара для любого угла θ в терминах sin и cos может быть задано по формуле: tan θ = sin θ / cos θ.
Почему синус называется синусом?
Слово синус происходит от латинского sinus, лоно, потому что ранние переводчики приняли арабское слово за аккорд и думали, что это арабское слово означает грудь. Префикс «со-» в косинусе и котангенсе просто означает со-угол, дополнительный угол. Косинус угла — это синус его дополнительного угла.
Как решить 1 2 cos theta?
Но известно, что cos60 ° = 12. Также cos300 ° = 12. ∴θ = 60 ° и θ = 300 °. Итак, θ имеет множество значений, для которых их функция косинуса равна 12.
Почему тета cos используется в работе?
Горизонтальная составляющая находится путем умножения силы F на косинус угла между F и d. В этом смысле косинус тета в уравнении работы относится к причинному фактору — он выбирает часть силы, которая фактически вызывает смещение.
Arccos — это то же самое, что 1 cos?
Арккосинус x определяется как функция обратного косинуса x, когда -1≤x≤1. (Здесь cos – 1 x означает обратный косинус и не означает косинус в степени -1).
Арккос равен 1 cos?
Таким образом, arccos определяется именно так: фиксация одного интервала где cos один-один, вы определяете arccos в этом интервале с помощью того свойства, что arccosx — это число y, такое что cosy = x, другими словами, он возвращает вам значение угла, косинус которого равен x.
Что больше из cos 1 и cos 1 степени?
Разница заключается в том, что в cos 1 угол выражается в радианах, а в cos 1 градус — один градус. 360 градусы — это 2pi радиан, поэтому один градус = 2pi / 360 радиан, то есть 0.01745 радиан. Вот где возникает разница. Таким образом, если вы не пишете степень, она будет считаться в радианах.
Какое значение имеет 1 cos theta?
Ответ: Значение (1 + cos θ) / (1 — cos θ) равно загар 2 θ / (сек θ — 1) 2 . Решаем пошагово. Пояснение: Чтобы оценить: (1 + cos θ) / (1 — cos θ)
Какова формула Cos A минус B?
Какова формула 1 Cos 2x?
Следовательно, 1 + cos2x = 2cos ^ 2 (х)……. Я надеюсь, что это помогает.
Инженерный калькулятор онлайн с самыми точными расчетами!
Почему мы так решили? Наш онлайн калькулятор оперирует числами вплоть до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и достоверно совершить любые вычислительные операции, как простые, так и сложные.
Только корректные расчеты по всем правилам математики!
В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.
Всё для вашего удобства:
- быстрые вычисления и загрузка,
- верные расчеты по всем правилам,
- полный функционал,
- понятный интерфейс,
- адаптация под любой размер устройства
- бесплатно
- не надо ничего устанавливать,
- никакой всплывающей назойливой рекламы,
- подробная инструкция с примерами
Содержание справки:
Комплекс операций инженерного калькулятора
Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.
Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.
Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.
Ввод цифр производится в двух вариантах:
- с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
- с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами
Инструкция по функциям инженерного калькулятора
Для понимания возможностей программы мы даем вам краткую инструкцию, более подробно смотрите в примерах вычислений онлайн. Принцип работы с научным калькулятором такой: вводится число, с которым будет производиться вычисление, затем нажимается кнопка функции или операции, потом, если требуется, то еще цифра, например, степень, в конце — знак равенства.
- [Inv] – обратная функция для sin, cos, tan, переключает интерфейс на другие функции
- [Ln] – натуральный логарифм по основанию «e»
- [ ( ] и [ ) ] — вводит скобки
- [Int] – отображает целую часть десятичного числа
- [Sinh] — гиперболический синус
- [Sin] – синус заданного угла
- [X 2 ] – возведение в квадрат (формула x^2)
- [n!] — вычисляет факториал введенного значения — произведение n последовательных чисел, начиная с единицы до самого введенного числа, например 4!=1*2*3*4, то есть 24
- [Dms] – переводит из десятичного вида в формат в градусы, минуты, секунды.
- [Cosh] — гиперболический косинус
- [Cos] – косинус угла
- [x y ] – возведение икса в степ. игрик (формула x^y)
- [ y √x] – извлечение корня в степени y из икс
- [Pi] – число Пи, выдает значение Pi для расчетов
- [tanh] — гиперболический тангенс
- [tan] – тангенс угла онлайн, tg
- [X 3 ] — помогает возвести в степень 3, в куб (формула x^3)
- [ 3 √x] — извлечь корень кубический
- [F – E] — переключает ввод чисел в экспоненциальном представлении и обратно
- [Exp] — позволяет вводить данные в экспоненциальном представлении.
- [Mod] — позволяет нам вычислить остаток от деления одного числа на другое
- [Log] – рассчитывает десятичный логарифм
- [10^x] – возведение десяти в произвольную степень
- [1/X] — подсчитывает обратную величину
- [e^x] – Возведение числа Эйлера в степень
- [Frac] – отсекает целую часть, оставляет дробную
- [sinh -1 ] – обратный гиперболический синус
- [sin -1 ] – арксинус или обратный синус, arcsin или 1/sin
- [deg] – перевод угла в градусах, минутах и секундах в десятичные доли градуса, подробнее
- [cosh -1 ] — обратный гиперболический косинус
- [cos -1 ] – аркосинус или обрат. косинус arccos или 1/cos
- [2*Pi] – рассчитывает число Пи, помноженное на два
- [tanh -1 ] – обрат. гиперболический тангенс
- [tan -1 ] – арктангенс или обратный тангенс, arctg
Как пользоваться MR MC M+ M- MS
Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах
Как возвести в степень
Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:
12 [x y ] 3 [=]
12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=]
Как найти корень кубический
Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:
729, [ 3 √x] «кубический корень из икс», равенства [=]
Как найти корень на калькуляторе
Задача: Найти квадратный корень 36.
Решение: всё просто, нажимаем так:
36 [ y √x] 2 [=]
36, [ y √x] «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно [=]
При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.
Как возвести в квадрат
Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:
[x y ] «икс в степени игрик», [X 2 ] «икс в квадрате»
Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».
Например: 45 [x y ] 6 [=]
Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625
Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры
Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов
Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами.
1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.
Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:
где Deg – градусы, Rad – измерение в радианах, Grad — в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах.
В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:
Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:
Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО — арксинус , арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh.
Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.
Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе
[Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».
Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:
35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666
Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453
Десятичный логарифм онлайн
Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:
Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:
Решение: два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм — log по основанию 10. В нашем примере 2 – это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100.
Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln].
Как пользоваться памятью на калькуляторе
Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.
Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.
MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.
Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:
После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:
На экране отобразится снова 145.
Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60.
Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.
Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!