Найти производную косинуса двойного угла: $ y = \cos 2x $
Решение
Аргумент косинуса представлен сложной функцией $ u(x) = 2x $. Поэтому применяем вторую формулу, в которой производная $ u'(x) = 2 $. Подставляем:
$$ y’ = (\cos 2x)’ = -\sin x \cdot (2x)’ = -2\sin x $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y’ = -2\sin x $$
Пример 2
Чему равна производная косинуса в квадрате? $ y = \cos^2 x $
Решение
В этом случае косинус представлен в виде степенной функции, производную которой можно найти по формуле: $ (x^p)’ = px^ $. Затем нужно выполнить домножение на производную самого косинуса. Выполняем:
$$ y’=(\cos^2 x)’ = 2\cos x \cdot (\cos x)’ = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x $$
По тригонометрической формуле синуса двойного угла: $ -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $
Записываем окончательный ответ:
$$ y'(x) = -2 \cos x \sin x = -\sin 2x $$
Данный пример аналогичен предыдущему и решается по тем же формулам:
Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x: ( cos x )′ = – sin x .
Доказательство
Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной: .
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства. 1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула: (1) ; 2) Свойство непрерывности функции синус: (2) ; 3) Значение первого замечательного предела: (3) ; 4) Свойство предела от произведения двух функций: Если и , то (4) .
Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение . Для этого применим формулу (1) ; В нашем случае ; . Тогда ; ; ; .
Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3): .
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Тем самым мы получили формулу производной косинуса.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций: y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x и y = cos n x .
Пример 1
Найти производные от cos 2x,cos 3x и cos nx.
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .
Итак, находим производную от функции y = cos nx . Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций: 1) Функции , зависящей от переменной : ; 2) Функции , зависящей от переменной : . Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и : .
Найдем производную от функции по переменной x: . Найдем производную от функции по переменной : . Применяем формулу производной сложной функции. . Подставим : (П1) .
Теперь, в формулу (П1) подставим и : ; .
Пример 2
Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n: y = cos 2 x ; y = cos 3 x ; y = cos n x .
В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n: y = cos n x . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.
Итак, нам нужно найти производную от функции . Перепишем ее в более понятном виде: . Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций: 1) Функции , зависящей от переменной : ; 2) Функции , зависящей от переменной : . Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и : .
Находим производную от функции по переменной x: . Находим производную от функции по переменной : . Применяем правило дифференцирования сложной функции. . Подставим : (П2) .
Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса: . Тогда .
Производные высших порядков
Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом: .
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
. Здесь .
Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид: (5) .
Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.
Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу
Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.
Что такое сложная функция?
Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот «сложнейший» процесс представлен на схеме ниже:
Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а \(x\), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции .
Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса :
В результате получим, ясное дело, \(\cosx\). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» — запаковываем, например, в кубическую функцию.
Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».
Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» — «упаковка в упаковке».
В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :
Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс . Получим:
А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус , а потом в котангенс :
Напиши теперь сам функции, где икс: — сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием \(3\); — сначала в пятую степень, а затем в тангенс; — сначала в логарифм по основанию \(4\), затем в степень \(-2\).
Ответы на это задание посмотри в конце статьи.
А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» \(4\) раза:
Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше — у них может быть и посложнее☺).
«Распаковка» сложной функции
Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть — какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.
Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в \(4\)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию \(2\), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.
То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.
Например, вот такая функция: \(y=tg(\log_2x )\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:
Еще пример: \(y=\cos<(x^3 )>\). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: \(x → x^3 → \cos<(x^3 )>\). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть \(\cos<(x·x·x)>)\), а там в кубе косинус \(x\) (то есть, \(\cosx·\cosx·\cosx\)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».
Последний пример (с важной информацией в нем): \(y=\sin<(2x+5)>\). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: \(x → 2x+5 → \sin<(2x+5)>\). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.
Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных — два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) — тоже простая функция. Например, \(x^7\) – простая функция и \(ctg x\) — тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:
Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:
Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций: \(y=cos<(sinx)>\) \(y=5^\) \(y=arctg<11^x>\) \(y=log_2(1+x)\) Ответы опять в конце статьи.
Внутренняя и внешняя функции
Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.
И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция — это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.
Вот в этом примере: \(y=tg(log_2x )\), функция \(\log_2x\) – внутренняя, а — внешняя.
А в этом: \(y=\cos<(x^3+2x+1)>\), \(x^3+2x+1\) — внутренняя, а — внешняя.
Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось — будем находить производные сложных функций:
Заполни пропуски в таблице:
Производная сложной функции
Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.
И сразу смотри схему разбора «по словам» чтобы понимать, что к чему относится:
Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» — мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?
Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.
Пусть у нас есть функция \(y=\sin(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.
Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!): \((<\sin>)’=\cos\).
Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.
Таким образом, на данный момент имеем:
Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от \(x^3\).
Все, теперь можем писать ответ:
Вот так. Давай еще один пример разберем.
Пусть надо найти производную функции \(y=(\sinx )^3\).
Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: \(x → \sinx → (\sinx )^3\). Значит, в данном примере внутренняя функция это \(\sinx\), а внешняя .
Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» \(\sinx\), то производная внешней будет \(3(\sinx)^2\). То есть, имеем:
Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.
Понятно? Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺
Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).
Разбираем вложенность функций: \(x → x^2-x → \ln(x^2-x)\). Внутренняя: \(x^2-x\). Внешняя: . Из таблицы производных знаем:. То есть производная внешней по внутренней будет: \(\ln(x^2-x)’=\) \(\frac<1>\) . Производная внутренней: \((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1\). В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:
Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:
Что, еще примеров желаешь? Легко.
Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sin<(\cosx)>\). Вложенность функций: \(x → \cosx → \sin<(\cosx)>\) Внутренняя: \(\cosx\) Внешняя: Производная внешней по внутренней: \(\sin<(\cosx )>‘=\cos<\cosx>\) Производная внутренней: \((\cosx )’= -\sinx\) Имеем: \(y’=(\sin<(\cosx)>)’=\cos<\cosx>·(-\sinx )=-\cos <\cosx>·\sinx\)
Замечание: Обрати внимание, что заменить запись \(\cos<\cosx>\) на \(\cos^2x\) НЕЛЬЗЯ, так как \(\cos^2x\) — это комбинация простых функций \(\cos^ 2x=\cosx·\cosx\), а \(\cos<\cosx>\) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.
Еще пример с важным замечанием в нем.
Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt \) Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt\) Внутренняя: \(x^6\) Внешняя: Производная внешней по внутренней: \(\sqrt‘=\) \(\frac<1><2\sqrt>\) Производная внутренней: \((x^6)’= 6x^5\) Имеем: \((\sqrt)’=\) \(\frac<1><2\sqrt>\) \(·6x^5\) И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b] =x^<\frac>\). Тогда \(\sqrt=x^<\frac<6><2>>=x^3\). С учетом этого получаем:
Всё. А теперь, собственно, важное замечание:
Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.
Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^3)\). Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a=c·\log_a<b>\). И тогда функция получается \(y=\ln(x^3 )=3\lnx\). Отлично! Берем производную:
Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!
Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^<\sin(x^4+1)>\). Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin(x^4+1) → 3^<\sin(x^4+1)>\) Внутренняя: \(x^4+1\) Средняя: Внешняя: Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет \(3^<\sin(x^4+1)>·\ln3\). Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, \(\sin(x^4+1)’=\cos(x^4+1)\). И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3\). Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:
Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺
Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg(7^x)\).
Разбираем вложенность функций: \(x \: → \:7^x \: → \:tg(7^x)\). Внутренняя: \(7^x\) Внешняя: \(tg(7^x)\). Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем. Из таблицы производных знаем: . То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет: \(\frac<1><\cos^2(7^x)>\) . Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: \((7^x)’=7^x·\ln7\). И перемножаем результаты:
Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.
Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺
Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>\).
Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:
Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b] =x^<\frac>\) и преобразуем нашу функцию к виду:
Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^<\frac<2><3>>\) При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше. Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\). Внешняя: . Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: . Получаем: . Тогда в нашем случае будет: \(\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>\). Производная внутренней: \((x^5+2x-5)’=5x^4+2\). Общий результат: \(y ‘=(\sqrt[3]<(x^5+2x-5)^2>)’=((x^5+2x-5)^<\frac<2><3>> )’=\frac<2><3>(x^5+2x-5)^<-\frac<1><3>>·(5x^4+2)\).
В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед. Вспоминаем свойство отрицательной степени \(a^<-n>=\) \(\frac<1>\) . Получаем: